2020高考数学三轮冲刺 专题 抛物线练习（含解析）

2020高考数学三轮冲刺 专题 抛物线练习（含解析）

抛物线 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点已知，，则C的焦点到准线的距离为 ‎ A. 2 B. ‎4 C. 6 D. 8‎ ‎（正确答案）B ‎【分析】‎ 画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力转化思想的应用．‎ ‎【解答】‎ 解：设抛物线为，如图：，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：．‎ C的焦点到准线的距离为：4．‎ 故选B．‎ ‎​‎ 14‎ ‎2. 设F为抛物线C：的焦点，曲线与C交于点P，轴，则 ‎ A. B. ‎1 C. D. 2‎ ‎（正确答案）D 解：抛物线C：的焦点F为，‎ 曲线与C交于点P在第一象限，‎ 由轴得：P点横坐标为1，‎ 代入C得：P点纵坐标为2，‎ 故，‎ 故选：D 根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．‎ 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．‎ ‎3. 设抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：把代入得：，解得，‎ 抛物线的焦点坐标为，‎ 抛物线的准线方程为．‎ 故选：A．‎ 求出直线与x轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程．‎ 本题考查了抛物线的性质，属于基础题．‎ ‎4. 点到抛物线准线的距离为1，则a的值为 ‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 4或12‎ ‎（正确答案）C 14‎ 解：抛物线的准线方程为，‎ 点到抛物线y准线的距离为 a ‎4‎ 解得或．‎ 故选C．‎ 求出抛物线的准线方程，根据距离列出方程解出a的值．‎ 本题考查了抛物线的简单性质，准线方程，属于基础题．‎ ‎5. 设抛物线C：的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则 ‎ A. 5 B. ‎6 C. 7 D. 8‎ ‎（正确答案）D 解：抛物线C：的焦点为，过点且斜率为的直线为：，‎ 联立直线与抛物线C：，消去x可得：，‎ 解得，，不妨，，，．‎ 则．‎ 故选：D．‎ 求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．‎ ‎6. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：抛物线中，，，‎ 抛物线的焦点为，‎ 14‎ 设双曲线的方程为，‎ 双曲线的一个焦点为，且渐近线的方程为即，‎ ‎，‎ 解得，舍负，‎ 可得该双曲线的标准方程为： ‎ 故选：B．‎ 根据抛物线方程，算出其焦点为由此设双曲线的方程为，根据基本量的平方关系与渐近线方程的公式，建立关于a、b的方程组解出a、b的值，即可得到该双曲线的标准方程．‎ 本题给出双曲线与已知抛物线有一个焦点重合，在已知渐近线的情况下求双曲线的方程着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．‎ ‎7. 若抛物线上的点到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于 ‎ A. B. ‎1 C. D. 2‎ ‎（正确答案）D 解：由题意，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选D．‎ 根据抛物线的定义及题意可知，得出求得p，可得答案．‎ 本题主要考查了抛物线的定义和性质考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．‎ 14‎ ‎8. 若抛物线的焦点到其准线的距离是2，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C ‎【分析】‎ 本题考查抛物线标准方程及简单性质，利用抛物线的方程，求出p，即可求出结果是基础题．‎ ‎【解答】‎ 解：抛物线的焦点到其准线的距离是2，可得，则．‎ 故选C．‎ ‎9. 已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：由点在抛物线C：的准线上，‎ 即，则，‎ 故抛物线的焦点坐标为：，‎ 则直线AF的斜率，‎ 故选C．‎ 由题意求得抛物线方程，求得焦点坐标，利用直线的斜率公式即可求得直线AF的斜率．‎ 本题考查抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点坐标及准线方程，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎10. 已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则 ‎ A. 1 B. ‎2 C. 4 D. 8‎ ‎（正确答案）A 解：抛物线C：的焦点为，‎ 14‎ 是C上一点，，．‎ ‎，‎ 解得．‎ 故选：A．‎ 利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．‎ 本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．‎ ‎11. 若直线与抛物线交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则 ‎ A. 2 B. C. 2或 D. ‎ ‎（正确答案）A 解：联立直线与抛物线，‎ 消去y，可得，，‎ 判别式，解得．‎ 设，，‎ 则，‎ 由AB中点的横坐标为2，‎ 即有，‎ 解得或舍去，‎ 故选：A．‎ 联立直线与抛物线，消去y，可得x的方程，由判别式大于0，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可求得．‎ 本题考查抛物线的方程的运用，联立直线和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，属于中档题．‎ 14‎ ‎12. 已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：把抛物线方程化为标准方程为：，‎ 抛物线的焦点在y轴的正半轴，，．‎ 抛物线的焦点坐标为．‎ 故选：D．‎ 把抛物线方程化成标准方程，根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标．‎ 本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 已知F是抛物线C：的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点若M为FN的中点，则______．‎ ‎（正确答案）6‎ ‎【分析】‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．‎ ‎【解答】‎ 解：抛物线C：的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点若M为FN的中点，‎ 可知M的横坐标为：1，‎ 则M的纵坐标为：，‎ ‎．‎ 故答案为6．‎ ‎14. 若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是______ ．‎ ‎（正确答案）9‎ 14‎ 解：抛物线的准线为，‎ 点M到焦点的距离为10，‎ 点M到准线的距离为10，‎ 点M到y轴的距离为9．‎ 故答案为：9．‎ 根据抛物线的性质得出M到准线的距离为10，故到y轴的距离为9．‎ 本题考查了抛物线的性质，属于基础题．‎ ‎15. 设抛物线为参数，的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设，AF与BC相交于点若，且的面积为，则p的值为______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：抛物线为参数，的普通方程为：焦点为，如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设，AF与BC相交于点，‎ ‎，，，‎ 的面积为，，‎ 可得．‎ 即：，‎ 14‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ 化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可．‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎16. 抛物线的准线方程是______；该抛物线的焦点为F，点在此抛物线上，且，则______．‎ ‎（正确答案）；2‎ 解：抛物线方程为 ‎ 可得，得，‎ 所以抛物线的焦点为，准线方程为；‎ 点在此抛物线上，‎ 根据抛物线的定义，可得 ‎ 即，解之得 ‎ 故答案为：，2‎ 根据抛物线的标准方程，可得抛物线开口向右，由得，所以抛物线的准线方程为；由抛物线的定义结合点M坐标可得，解之可得的值．‎ 14‎ 本题给出抛物线的标准方程，求它的准线方程和满足的点M的坐标着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共30分）‎ ‎17. 在直角坐标系xOy中，直线l：交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．‎ Ⅰ求；‎ Ⅱ除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．‎ ‎（正确答案）解：Ⅰ将直线l与抛物线方程联立，解得，‎ 关于点P的对称点为N，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的方程为，‎ 与抛物线方程联立，解得 ‎ ‎；‎ Ⅱ由Ⅰ知，‎ 直线MH的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得，‎ ‎，‎ 直线MH与C除点H外没有其它公共点．‎ 14‎ Ⅰ求出P，N，H的坐标，利用，求；‎ Ⅱ直线MH的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得，利用判别式可得结论．‎ 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．‎ ‎18. 已知抛物线C：，过点的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．‎ 证明：坐标原点O在圆M上；‎ 设圆M过点，求直线l与圆M的方程．‎ ‎（正确答案）解：方法一：证明：当直线l的斜率不存在时，则，，‎ 则，，则，‎ ‎，‎ 则坐标原点O在圆M上；‎ 当直线l的斜率存在，设直线l的方程，，，‎ ‎，整理得：，‎ 则，，由，‎ 则，‎ 由，‎ 则，则坐标原点O在圆M上，‎ 综上可知：坐标原点O在圆M上；‎ 方法二：设直线l的方程，‎ ‎，整理得：，‎ 令，，‎ 14‎ 则，‎ 则，则，则，‎ 则，则坐标原点O在圆M上，‎ 坐标原点O在圆M上；‎ 由可知：，，，，‎ 圆M过点，则，，‎ 由，则，‎ 整理得：，解得：，，‎ 当时，直线l的方程为，‎ 则，，‎ 则，半径为丨MP丨，‎ 圆M的方程．‎ 当直线斜率时，直线l的方程为，‎ 同理求得，则半径为丨MP丨，‎ 圆M的方程为，‎ 综上可知：直线l的方程为，圆M的方程 或直线l的方程为，圆M的方程为．‎ 方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得，则坐标原点O在圆M上；‎ 14‎ 方法二：设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得，则坐标原点O在圆M上；‎ 由题意可知：，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径丨MP丨，即可求得圆的方程．‎ 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎19. 设抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，．‎ 求l的方程；‎ 求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ ‎（正确答案）解：方法一：抛物线C：的焦点为，当直线的斜率不存在时，，不满足；‎ 设直线AB的方程为：，设，，‎ 则，整理得：，则，，‎ 由，解得：，则，‎ 直线l的方程，；‎ 方法二：抛物线C：的焦点为，设直线AB的倾斜角为，由抛物线的弦长公式，解得：，‎ ‎，则直线的斜率，‎ 直线l的方程；‎ 过A，B分别向准线作垂线，垂足分别为，，设AB的中点为D，过D作准线l，垂足为D，则 14‎ 由抛物线的定义可知：，，则，‎ 以AB为直径的圆与相切，且该圆的圆心为AB的中点D，‎ 由可知：，，‎ 则，‎ 过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；‎ 方法二：根据抛物线的焦点弦公式，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；‎ 根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．‎ 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．‎ 14‎