十年抛物线高考题

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十年抛物线高考题

‎ 抛物线 一、选择题 ‎1.(2018全国卷Ⅰ)设抛物线:的焦点为,过点且斜率为的直线与交于,两点,则=‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎2.(2017新课标Ⅰ)已知为抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于、两点,直线与交于、两点,则的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10‎ ‎3.(2016年四川)设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且=2,则直线的斜率的最大值为 A. B. C. D.1‎ ‎4.(2016年全国I)以抛物线的顶点为圆心的圆交于,两点,交的准线于,两点.已知=,=,则的焦点到准线的距离为 A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎5.(2015浙江)如图,设抛物线的焦点为,不经过焦点的直线上有三个不同的点,其中点在抛物线上,点在轴上,则与的面积之比是 A. B. C. D. ‎ ‎6.(2015四川)设直线与抛物线相交于两点,与圆 相切于点,且为线段的中点.若这样的直线恰有4条,则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎7.(2014新课标1)已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个焦点,若,则=‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎8.(2014新课标2)设为抛物线C:的焦点,过且倾斜角为30°的直线交于两点, 为坐标原点,则△的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(2014辽宁)已知点在抛物线C:的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(2013新课标1)为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(2013江西)已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,则=‎ A.2: B.1:2 C.1: D.1:3‎ ‎12.(2012新课标)等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于、两点,,则的实轴长为 A、 B、 C、4 D、8‎ ‎13.(2012山东)已知双曲线:的离心率为2.若抛物线 的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为 A.   B.  C.   D.‎ ‎14.(2011新课标)已知直线过抛物线的焦点,且与的对称轴垂直,与交于,两点,,为的准线上一点,则的面积为 A.18 B.24 C.36 D.48‎ 二、填空题 ‎15.(2018全国卷Ⅲ)已知点和抛物线:,过的焦点且斜率为的直线与交于,两点.若,则______.‎ ‎16.(2017新课标Ⅱ)已知是抛物线:的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则 .‎ ‎17.(2015陕西)若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则= ‎ ‎18.(2014湖南)如图4,正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过 .‎ ‎19.(2013北京)若抛物线的焦点坐标为,则 ,准线方程为 .‎ ‎20.(2012陕西)右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.‎ ‎21.(2010浙江)设抛物线的焦点为,点.若线段的中点 在抛物线上,则到该抛物线准线的距离为_____________.‎ 三、解答题 ‎22.(2018北京)已知抛物线:经过点.过点的直线与抛物线 有两个不同的交点,,且直线交轴于,直线交轴于.‎ ‎(1)求直线的斜率的取值范围;‎ ‎(2)设为原点,,,求证:为定值.‎ ‎23.(2018全国卷Ⅱ)设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.‎ ‎24.(2018浙江)如图,已知点是轴左侧(不含轴)一点,抛物线:上存在不同的两点,满足,的中点均在上.‎ ‎(1)设中点为,证明:垂直于轴;‎ ‎(2)若是半椭圆()上的动点,求面积的取值范围.‎ ‎25.(2017新课标Ⅲ)已知抛物线:,过点的直线交与,两点,圆是以线段为直径的圆.‎ ‎(1)证明:坐标原点在圆上;‎ ‎(2)设圆过点,求直线与圆的方程.‎ ‎26.(2017浙江)如图,已知抛物线.点,,抛物线上的点 ‎,过点作直线的垂线,垂足为.‎ ‎(Ⅰ)求直线斜率的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求的最大值.‎ ‎27.(2017北京)已知抛物线:过点.过点作直线与抛物线 交于不同的两点,,过点作轴的垂线分别与直线,交于点,,其中为原点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:为线段的中点.‎ ‎28.(2016年全国III)已知抛物线C:的焦点为F,平行于x轴的两条直线,分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.‎ ‎(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;‎ ‎(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.‎ ‎29.(2015新课标1)在直角坐标系中,曲线:与直线交与,两点,‎ ‎(Ⅰ)当时,分别求在点和处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由.‎ ‎30.(2014山东)已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有 ‎,当点的横坐标为3时,为正三角形。‎ ‎(Ⅰ)求的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线,且和有且只有一个公共点,‎ ‎ (ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;‎ ‎ (ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由。‎ ‎31.(2014陕西)如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成,的公共点为,其中的离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)过点的直线与分别交于(均异于点),若,求直线的方程.‎ ‎32.(2013广东)已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ)当点为直线上的定点时,求直线的方程;‎ ‎(Ⅲ)当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎33.(2012新课标)设抛物线:的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于、点.‎ ‎(Ⅰ)若,的面积为,求的值及圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若、、三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到、距离的比值.‎ ‎34.(2011新课标)在平面直角坐标系中, 已知点,点在直线上,点满足,,点的轨迹为曲线C.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)为C上动点,为C在点处的切线,求点到距离的最小值.‎
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