十年抛物线高考题

十年抛物线高考题

‎ 抛物线 一、选择题 ‎1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则=‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎2．（2017新课标Ⅰ）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎3．(2016年四川)设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且=2,则直线的斜率的最大值为 A． B． C． D．1‎ ‎4．(2016年全国I)以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点．已知=，=，则的焦点到准线的距离为 A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎5．（2015浙江）如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是 A． B． C． D． ‎ ‎6．（2015四川）设直线与抛物线相交于两点，与圆 相切于点，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎7．（2014新课标1）已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎8．（2014新课标2）设为抛物线C：的焦点，过且倾斜角为30°的直线交于两点， 为坐标原点，则△的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（2014辽宁）已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（2013新课标1）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（2013江西）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则=‎ A．2: B．1:2 C．1: D．1:3‎ ‎12．（2012新课标）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，，则的实轴长为 A、 B、 C、4 D、8‎ ‎13．（2012山东）已知双曲线：的离心率为2．若抛物线 的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 A． 　 B．　 C．　　 D．‎ ‎14．（2011新课标）已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为 A．18 B．24 C．36 D．48‎ 二、填空题 ‎15．(2018全国卷Ⅲ)已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则______．‎ ‎16．（2017新课标Ⅱ）已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．‎ ‎17．（2015陕西）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则= ‎ ‎18．（2014湖南）如图4，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过 ．‎ ‎19．（2013北京）若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 ．‎ ‎20．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．‎ ‎21．（2010浙江）设抛物线的焦点为，点．若线段的中点 在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________．‎ 三、解答题 ‎22．（2018北京）已知抛物线：经过点．过点的直线与抛物线 有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．‎ ‎(1)求直线的斜率的取值范围；‎ ‎(2)设为原点，，，求证：为定值．‎ ‎23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．‎ ‎(1)求的方程；‎ ‎(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎24．（2018浙江）如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线：上存在不同的两点，满足，的中点均在上．‎ ‎(1)设中点为，证明：垂直于轴；‎ ‎(2)若是半椭圆()上的动点，求面积的取值范围．‎ ‎25．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线：，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．‎ ‎(1)证明：坐标原点在圆上；‎ ‎(2)设圆过点，求直线与圆的方程．‎ ‎26．（2017浙江）如图，已知抛物线．点，，抛物线上的点 ‎，过点作直线的垂线，垂足为．‎ ‎（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎27．（2017北京）已知抛物线：过点．过点作直线与抛物线 交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：为线段的中点．‎ ‎28．(2016年全国III)已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.‎ ‎（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎29．（2015新课标1）在直角坐标系中，曲线：与直线交与，两点，‎ ‎（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．‎ ‎30．（2014山东）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有 ‎，当点的横坐标为3时，为正三角形。‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，‎ ‎ （ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎ （ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。‎ ‎31．（2014陕西）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程．‎ ‎32．（2013广东）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．‎ ‎33．（2012新课标）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．‎ ‎（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若、、三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到、距离的比值．‎ ‎34．（2011新课标）在平面直角坐标系中， 已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值．‎