2015高考数学题库新附加题空间向量抛物线复合函数的导数
1. 已知边长为6的正方体，为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点，是的中点.
（1）求与平面所成角的余弦值；
（2）设点在线段上，且，试确定的值，使得的长度最短．
E
A
C
D
A
B
A
A
E
A
C
D
A
B
A
A
解：如图建系：可得,,,.
（1）设，,
则；，
设与平面所成角为，则． （5分）
（2）由题知,,,设
，，
当时，的长度取得最小值． （10分）
5. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点B，且．
（1）求棱与BC所成的角的大小；
（第22题）
B
A
C
A1
B1
C1
（2）在棱上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值．
【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
，．
，
故与棱BC所成的角是． ………………………4分
B
A
C
A1
B1
C1
z
x
y
P
（2）设，则．
于是（舍去），
则P为棱的中点，其坐标为． …………6分
设平面的法向量为n1，
则
故n1． ………………………………………………………………………………8分
而平面的法向量是n2=(1,0,0)，则，
故二面角的平面角的余弦值是． ………………………………………10分
6. 已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）求函数的极值．
【解】（1），则.
令，则. ………………………………1分
当时，， 在上为增函数.
当x＞0时，，在上为减函数. ………………………………3分
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0，所以，
函数g(x)在上为减函数. …………………………………………………………4分
当x＞0时，． ……………………………………………………5分
（2）函数的定义域是，
， …………………………………6分
由（1）知，
当时，，
当x＞0时，，
所以，当时，在（－1，0）上为增函数.
当x＞0时，,在上为减函数. …………………………8分
故函数的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为.
故x=0时有极大值0． ……………………………………………………………10分
F
E
C
1
B
1
A
1
C
B
A
（第22题图）
22． (本小题满分10分)
如图，在直三棱柱中，，AB=AC=a，，点E，F分别在棱，上，且，．设．
（1）当=3时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当平面⊥平面时，求的值．
z
y
x
F
E
C
1
B
1
A
1
C
B
A
（第22题图）
22．解：建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）设a=1，则AB=AC=1，3，各点的坐标为,，，．
，．…………2分
∵,，
∴．
∴向量和所成的角为，
∴异面直线与所成角为．…4分
（2）∵，，
∴．
设平面的法向量为，
则，且．
即，且．
令，则．
∴=是平面的一个法向量． ………6分
同理，=是平面的一个法向量． ………8分
∵平面⊥平面，
∴．∴．
解得，．
∴当平面⊥平面时，． ………………………10分
22．已知函数，，求的最大值.
证明：由得，（2分）
令，则，
当时，，在上为增函数；
当x＞0时，，在上为减函数，
所以在x=0处取得极大值，且，（6分）
故（当且仅当时取等号），
所以函数为上的减函数，（8分）
则，即的最大值为0．（10分）
22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知函数，其中a＞0．
(1)若在x=1处取得极值，求a的值；
(2)若的最小值为1，求a的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解：(1) ．
因在处取得极值，故，解得a=1 (经检验)．……………………4分
(2)，因 ，故ax+1＞0，1+x＞0．
当a≥2时，在区间上，递增，的最小值为f(0)=1．
当0
a)
∵ ∴=
∴as2+(m-a)s-m=0
∵(as+m)(s-1)=0 ∴S=-
∴A1(，-2m) …………………………5′
∵ ∴=
∵2at2+(m-4a)t-2m=0 ∴(2at+m)(t-2)=0
∴t=- ∴B1(，-m) …………………………6′
∴的直线方程为y+2m=(x- )…………………………7′
∵直线的斜率为在单调
∴所以集合M中的直线必定相交，…………………………8′
∵直线的横截距为在单调，纵截距为在单调
∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。
3、如图，在三棱锥中，平面⊥平面，,
.
(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
(2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.
5.解：取AC中点O,因为AB=BC，所以,
∵平面⊥平面
平面平面=AC,
∴平面PAC
∴…………………………1′
以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为
x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AB=BC=PA=,所以OB=OC=OP=1
从而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),
C(0,1,0),P(0,0,1), ……………………2′
∴
设平面PBC的法向量，
由得方程组
，取…………………………3′
∴
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。…………………………4′
（2）由题意平面PAC的法向量，…………………………5′
设平面PAM的法向量为
∵又因为
∴ 取，…………………………7′
∴
∴
∴ 或 （舍去）
∴B点到AM的最小值为垂直距离。…………………………10′
22．(本小题满分10分)
A
BB
CB
EB
DB
PB
（第22题）
如图，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点．
（1）若PA＝2，求直线AE与PB所成角的余弦值；
（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的长．
A
BB
CB
EB
DB
PB
（第22题）
y
x
z
F
22．解（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，B(，1，0)，
C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，
从而＝(，1，－2)， ＝(0，1，1)．
设直线AE与PB所成角为θ，
则cosθ＝||＝．
即直线AE与PB所成角的余弦值为 ． …………………… 4分
（2）设PA的长为a，则P(0，0，a)，从而＝(，1，－a)，＝(0，2，－a)．
设平面PBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝0，n1·＝0，
所以x＋y－az＝0，2y－az＝0．
令z＝2，则y＝a，x＝a．
所以n1＝(a，a，2)是平面PBC的一个法向量．
因为D，E分别为PB，PC中点，所以D(，，)，E(0，1，)，
则＝(，，)，＝(0，1，)．
设平面ADE的法向量为n2＝(x，y，z)，则n2·＝0，n2·＝0．
所以x＋y＋z＝0，y＋z＝0．
令z＝2，则y＝－a，x＝－a．
所以n2＝(－a，－a，2)是平面ADE的一个法向量． …………………… 8分
因为面ADE⊥面PBC，
所以n1⊥n2，即n1·n2＝(a，a，2)·(－ a，－a，2)＝－a2－a2＋4＝0，
解得a＝，即PA的长为． …………………… 10分
23. （本小题满分10分）
如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，为的中点，在线段上．
（1）若平面，求;
（2）设，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
（第23题）
23. 解：（1）因为直三棱柱中，以点为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.
A
B
C
C1
B1
A1
F
D
x
y
z
因为，所以,
所以.
设则
.
因为⊥平面，所以.
由，得或，
故当⊥平面时，可得或．………………………………………………… 5分
（2）由（1）知平面的法向量为．
设平面的法向量为，则由,得
令得，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值
………………………………………………10分
24. （本小题满分10分）
已知常数，函数.
(1)讨论在区间上的单调性；
(2)若存在两个极值点且，求的取值范围．
24. 解：(1)f′(x)＝－＝.(*)
当a≥1时，f′(x)>0，此时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
当00.
故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，
在区间(x1，＋∞)上单调递增．
综上所述，
当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
当0＜a＜1时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增． 4分
(2)由(*)式知，当a≥1时，f′(x)≥0，
此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0－且x≠－2，
所以－2>－，－2≠－2，
解得a≠.此时，由(*)式易知，x1，x2分别是f(x)的极小值点和极大值点．
而f(x1)＋f(x2)＝ln(1＋ax1)－＋ln(1＋ax2)－＝ln[1＋a(x1＋x2)＋a2x1x2]－
＝ln(2a－1)2－＝ln(2a－1)2＋－2.
令2a－1＝x.由0g(1)＝0.故当0.
综上所述，满足条件的a的取值范围为. ………………………………10分
24. 已知动圆C过点且与直线相切.
（1）求动圆圆心C的轨迹E方程；
（2）设为轨迹E上异于原点O的两个不同点，直线的倾斜角分别为，
且.当变化时，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
24. 解：（1）………………………………………………………………………4分
（2）设OA：（）
,
由，由
下证A、B、Q（-4,4）三点共线：
直线AB恒过定点Q（-4,4）. …………………………………………………………10分
22．(本小题满分10分)
己知直线与抛物线相交于两点，且）为轴上任意一点，连接并延长与抛物线分别相交于．
（1）设斜率为，求证：为定值；
（2）设直线与轴分别交于，令
N
M
M
，
若构成等比数列，求的值．
22.解：（1），，设A1，B1，
，同理：…5分
（2）A1B1：
，
构成的等比数列，∴而. ………………10分
23．(本小题满分10分)
如图，在三棱柱中，底面为直角三角形，，顶点在底面内的射影是点，且，点是平面内一点．
（1）若是的重心，求直线与平面所成角；
（2）是否存在点，使且平面平面，若存在，求出线段的长度，若不存在，说明理由．
23.解：如图以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz//BC1，以Cz为z轴
（1）T是△ABC1重心
设面ABC1的法向量为
取法向量
设TA1与面ABC1所成角为. ………………5分
（2）T在面ABC1内，，
即.由得
①
设面CAA1C1法向量为
取
设面TA1C1法向量为
取，由平面平面得②
由①②解得,存在点T，TC=. ………10分
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1ABAC1，AB⊥AC，M，N分别是棱CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上．
（1）求直线PN与平面ABC所成的角最大时，线段的长度；
（2）是否存在点P，使平面PMN与平面ABC所成的二面A1
C1
B1
M
C
N
B
A
P
（第22题）
角为，若存在，请指明点P的位置；若不存在，请说明理由．
22．解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），B1（1，0，1），
M（0，1，），N（，，0），，
A1
C1
B1
M
B
A
P
x
y
z
；．……………2分
（1）∵是平面ABC的一个法向量．
∴，
∴当时，取得最大值，此时，
答：当时，取得最大值，此时．………………5分
（2）设存在，，设是平面PMN的一个法向量．
则得令x=3，得y=1+2，z=2-2；
∴， ……………7分
∴，化简得4（*）
∵△＝100－4413＝－108＜0，∴方程（*）无解，
∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º．…………10分
22. 如图，正方体的棱长为，分别在棱和上（含线段端点）．
（1）如果,试证明四点共面；
（2）在（1）的条件下，是否存在一点，使得直线和平面所成角等于？如果存在，确定的位置；如果不存在，试说明理由．
解：（1）共面；（2）与重合时
23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：，F为其焦点，点E的坐标为(2，0)，设M
为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，链接ME，NE并延长分别交
抛物线C与点P，Q．
（1）当MN Ox时，求直线PQ与x轴的交点坐标；
（2）当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：．
【解】（1）抛物线C：的焦点F(1，0) ．
当MN Ox时，直线MN的方程为 ．
将代入抛物线方程，得．
不妨设，，
则直线ME的方程为，
由解得或，于是得．
同理得，所以直线的方程为．
故直线PQ与x轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分
（2）设直线MN的方程为，
并设．
由，
于是①，从而②．
设直线MP的方程为，
由，
所以③，④．
同理⑤，⑥．
由①②③④⑤⑥，得．
即．…………………………………………………………………………10分
22．在平面直角坐标系中，已知定点F（1，0），点在轴上运动，点在轴上，点
为平面内的动点，且满足，．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设点是直线：上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，切点
分别为，，设切线，的斜率分别为，，直线的斜率为，求证：
．
【解】（1）设点，，．
由可知，点是的中点，
所以即所以点，．
所以，． …………3分
由，可得，即．
所以动点的轨迹的方程为．……………5分
（2）设点，
由于过点的直线与轨迹：相切，
联立方程，整理得．…………7分
则，
化简得．
显然，，是关于的方程的两个根，所以．
又，故．
所以命题得证． ……………………………10分
23．已知抛物线，点F为其焦点，点N(3，1)在抛物线C的内部，设点
M是抛物线C上的任意一点，的最小值为4．
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A，B，与y轴交于点P，且，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由．
23．解：（1）抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为l1:x=,点M到l1的距离设为d,
由抛物线定义，所以p=2,
因此抛物线C的方程为y2=4x. ………………………………4分
（2）.
理由如下：设A(x1,y1),B(x2,y2),已知F(1,0)，
由题意知直线l的斜率k存在且不等于0，
设l:y=k(x-1),则P(0，-k),
由知，(1,k)=λ1(x1-1,y1)=λ2(x2-1,y2),
∴k=λ1y1=λ2y2,
∵k≠0,∴ …………………………………6分
将y=k(x-1)代入y2=4x得
y1+y2= ,y1y2=-4.
∴=- ×,
∴=k×()=为定值. ………………………………………………10分
23．（本小题满分10分）
已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．
23．解：（1）设动点的坐标为，
由题意有………………2分
化简得．
当时，；当时，．
∴动点的轨迹的方程为和．………………4分
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为，设为，则的方程为．
由，得．
设，则是上述方程的两个实根，
于是．……6分
∵，∴的斜率为．
设，则同理可得．………………7分
∴
．
当且仅当，即时，取最小值．
∴的最小值为．………………………………10分
22．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90º， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点， 求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．
22. （1）因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，
因为 平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，
所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别
为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
所以 ，，，．
所以 ，，
所以，
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为． -----------------------------5分
（2）因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．
设P点坐标为，在平面APC中，，，
所以 平面APC的法向量为，
所以，
解得，或（舍）． 所以． ---------------10分
6.（江苏省如皋中学）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点满足，．学科网
（1）当变化时，证明点的轨迹为抛物线。并求此抛物线方程．（2）如图，在（1）的抛物线中，过点的两直线与抛物线相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，．求证直线恒过某定点．
解：（1）由，得点是线段的中点，又由，所以，因为，即为点到直线的距离，则点到定点的距离等于到定直线的距离，所以点的轨迹为以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，所求点的轨迹的方程 。
(2)设，
设过焦点的直线方程为，代入抛物线 ，
得，则，所以
由，则。设直线方程为，代入抛物线 ，
得，得，则，所以直线恒过定点。
4．设实数a，b满足0≤a≤≤b≤1，证明：2(b－a)≤cosπa－cos πb．
证明：设f(x)＝2x＋cosπx，欲证不等式转化为f(b)≤f(a)．
由于f ′(x)＝2－πsinπx ，f ′′(x)＝－π2cosπx．
当x∈(0，)时，f ′′(x)＝－π2cosπx＜0，当x∈(，1)时，f ′′(x)＝－π2cosπx＞0，
所以f ′(x)在区间[0，]上单调减，在区间[，1]上单调增．
因为f ′(0)＝f ′(1)＝2和f ′()＝2－π＜0，所以存在α和β， 0＜α＜＜β＜1，
使得f ′(α)＝f ′(β)＝0，f ′(x)＜0当且仅当x∈(α，β)．
于是函数f(x)在区间[0，α]和[β，1]上单调增，在区间[α，β]上单调减．
因为f(0)＝f ()＝f (1)＝1，故对于x∈[0，]有f(x)≥1，对于x∈[，1]有f(x)≤1．
特别地， f (b)≤1≤f (a)．
21. 已知，求函数的最小值以及取最小值时所对应的值．
解：由知：
当且仅当=即时取等号，
∴当时
23．已知抛物线，过其对称轴上一点作一直线交抛物线于两点，，求的斜率.
23、解：设直线方程为，，则
由，得，则，，
∴，∴，又，
∴，∴，
∴，∴，
∴. …………………………………………10分
22. 已知边长为6的正方体，为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点，是的中点.
E
A
C
D
A
B
A
A
（1）求与平面所成角的余弦值； （2）设点在线段上，且，试确定的值，使得的长度最短.
E
A
C
D
A
B
A
A
22.解：如图建系：可得,,,.
（1）设，,
则；，
设与平面所成角为，则. （5分）
（2）由题知,,,设
，，
当时，的长度取得最小值. （10分）
23. 动圆M与圆外切,且与直线相切.
(1) 求动圆M圆心的轨迹方程;
(2) 已知斜率为的直线交(1) 中方程的曲线于A,B两个不同的点,定点.求证:直线与轴总围成等腰三角形.
3.解：(1) 由条件易得：圆心的轨迹方程为…………………3分
(2) 由条件可设直线方程为，则由消去得：
所以若设，则有………6分
，同理………………………8分
()
直线的倾斜角互补，即直线与x轴总围成等腰三角形．……………10分
24. 如图(1),矩形的对角线交于点O,.沿AC把△ACD折起,使二面角为直面角,如图(2).
(1) 在图(2)中,点满足,求的值;
(2) 求二面角的余弦值.
4.解：(1) 过点作交于点，，，，，，，又，，，
，……………………2分
点满足，点在上．……………………………………………3分
在直角中，若设，则，由等面积法知，，，………………………………5分
(2) ……………………………………………………………………………10分
三、空间向量
13、如图所示，已知ABCD是正方形，边长为2，PD⊥平面ABCD.
（1）若，①求异面直线PC与BD所成的角，②求二面角的余弦值；
③在PB上是否存在E点，使PC⊥平面ADE，若存在，确定点E位置，若不存在说明理由；
（3）若，记二面角的大小为，若，求的取值范围.
14、如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上
的一点，.（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º；
（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，⊥AP，并证明你的结论.
A
B
C
D
P
A1
B1
C1
D1
C1
x
y
z
13、如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），
A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），（1分）
（1）（2分）
∴ （3分）
∴ ，∴异面直线PC与BD所成的角为60°（4分）
（2）假设在PB上存在E点，使PC⊥平 ADE，记（5分）
（6分）
∴ 若PC⊥平面ADE，则有PC⊥AE，（7分）
即，∴（8分）
又∵面，∴，∴PC⊥平面ADE. （9分）
∴存在E点且E为PB的中点时，PC⊥平面ADE. （10分）
（3）
14、（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),
B1(1,1,1), D1(0,0,2).
所以
又由的一个法向量.
设与所成的角为，
则=，解得.
故当时，直线AP与平面所成角为60º. …………………………5分
（２）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
则.
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于
即Q为的中点时，满足题设的要求. ………………………10分
22．（本小题满分10分）
已知点在抛物线：上.
（1）若的三个顶点都在抛物线上，记三边，，所在直线的斜率分别为，，，求的值；
（2）若四边形的四个顶点都在抛物线上，记四边，，，所在直线的斜率分别为，，，，求的值.
22．解：（1）由点在抛物线，得，抛物线：，………3分
设，，
.…7分
(2)另设，则.
22．（本小题满分10分）
如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD．
（1）若PM＝PA，求证：MN⊥AD；
（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度．
C
·
·
P
M
A
B
D
N
(第22题图)
22．（本小题满分10分）
证明：连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．
因为PA＝AB＝，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．
（1）由＝，得N(0，，0)，由＝，得M(，0，)，
所以＝(－，，－)，＝(－1，－1，0)．
因为·＝0．所以MN⊥AD． ………………………………………4分
（2）因为M在PA上，可设＝λ，得M(λ，0，1－λ)．
所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．
设平面MBD的法向量n＝(x，y，z)，
由得
其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取n＝(λ－1，0，λ)．………………………………8分
因为平面ABD的法向量为＝(0，0，1)，
所以cos＝||，即＝，解得λ＝，
从而M(，0，)，N(0，，0)，
所以MN＝＝． ………………………………………10分
22．（本小题满分10分）
如图，在空间直角坐标系A - xyz中，已知斜四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B，D，B1分别在x，y，z轴上，B1A = 3，P是侧棱B1B上的一点，BP = 2PB1 ．
（1）写出点C1，P，D1的坐标；
（2）设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，
求点E的坐标．
22．解：（1）C1（0，3，3），P（1，0，2），
D1（-3，3，3）． ………… 3分
（2）∵C（3，3，0），
∴ =（-2，-3，2），
=（-6，0，3）． ………… 5分
设E（m，n，0），
则 =（m，n - 3，-3）．
∵C1E⊥平面D1PC，
∴ ………… 7分
则
∴，n = 2．
则点E的坐标为（，2，0）．………… 10分
A
y
x
O
B
G
F
F1
17. （本小题15分）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是
否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有
几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
17. 解：（1）由得，
当得，G点的坐标为，
，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，
即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；7分
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个；
若以为直角，则点在以为直径的圆上，而以为直径的圆与抛物线有两个交点。所以以为直角的有两个；
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。………………15分
x
y
P
O
Q
F
(第17题)
17. （本小题15分）已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1).
(Ⅰ) 求抛物线C的方程;
(Ⅱ) 在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P
的直线交C于另一点Q, 满足PF⊥QF, 且
PQ与C在点P处的切线垂直?
若存在, 求出点P的坐标; 若不存在,请说明理由.
(Ⅰ) 解: 设抛物线C的方程是x2 = ay,则, 即a = 4 .
故所求抛物线C的方程为x2 = 4y . …………………(5分)
(Ⅱ) 解:设P(x1, y1), Q(x2, y2) ,
则抛物线C在点P处的切线方程是,
直线PQ的方程是.
将上式代入抛物线C的方程, 得,
故 x1+x2=, x1x2=－8－4y1,所以 x2=－x1 , y2=+y1+4 .
而＝(x1, y1－1), ＝(x2, y2－1),
×＝x1 x2＋(y1－1) (y2－1)＝x1 x2＋y1 y2－(y1＋y2)＋1
＝－4(2+y1)+ y1(+y1+4)－(+2y1+4)+1＝－2y1 －－7
＝(＋2y1＋1)－4(+y1+2)＝(y1＋1)2－＝＝0,
故 y1＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) .
经检验, 符合题意. 所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). ………………(15分)
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点，P是动点，且POA的三边所在直线的斜
率满足kOP+kOA=kPA．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥
BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（2）线段EA上是否存在点F，使EC// 平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．
23．设抛物线C的方程为，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为．
（1）当时，求证：直线恒过定点；
（2）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形．若存在，有几个这样的点；若不存在，说明理由．
22． 过抛物线y2=4x上一点A(1，2)作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，
点C(异于点A)在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足
=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设，求；
A
B
D
x
y
O
E
F
C
P
(第22题图)
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
3. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.
（Ⅰ）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？
P
N
M
A
B
C
（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置.
2．解：直线l的普通方程为：，设椭圆C上的点到直线l距离为.
∴当时，，当时，.
3．解：（1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
平面ABC的一个法向量为则 （*）
于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，
.
（3）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为
，设平面PMN的一个法向量为，.
由得 ，解得.
令于是由
，
解得的延长线上，且.
23.在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足, 过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ．
（1） 求：的值；
（2） 证明：为定值．
23.解：设
焦点F（0,1）
消得
化简整理得
（定值）
（2）抛物线方程为
过抛物线A、B两点的切线方程分别为和
即和
联立解出两切线交点的坐标为
=（定值）
2. 已知抛物线的方程为，直线截抛物线所得弦.
(1) 求的值；
(2) 抛物线上是否存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1) 由解得,
所以，所以.
(2) 由(1)得，,
假设抛物线上存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.
令圆的圆心为，则由得
得，
因为抛物线在点处的切线斜率，
又该切线与垂直，所以
所以
因为，所以.
故存在点且坐标为.
17．(本小题满分16分)
已知抛物线的准线为,焦点为.⊙M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切．
过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交⊙M于另一点,且.
O
l
x
y
A
B
F
·
M
第17题
（1）求⊙M和抛物线的方程；
（2）若为抛物线上的动点,求的最小值；
（3）过上的动点向⊙M作切线,切点为,
求证：直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.
17．解：（Ⅰ）因为,即,所以抛物线C的方程为……… 2分
设⊙M的半径为,则,所以的方程为……………… 5分
（Ⅱ）设,则=……8分
所以当时, 有最小值为2 ……………………………………………………………10分
（Ⅲ）以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦………………… 11分
设点,则,所以⊙Q的方程为…13分
从而直线QS的方程为(*)………………………………………………………………14分
因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为 ……………16分
22.（本小题满分10分）
已知动圆过点且与直线相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.
O
F
x
y
·
·
P
第22题
22.（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为…………4分
证明：设， ∵， ∴ ，∴ 的斜率分别
O
F
x
y
·
·
P
第22题
为，故的方程为，的方程为 …7分
即，两式相减，得，又，
∴ 的横坐标相等，于是………………10分
23.如图，已知抛物线的准线为，为上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，再分别过，两点作的垂线，垂足分别为，．
（1）求证：直线必经过轴上的一个定点，并写出点的坐标；
（2）若，，的面积依次构成等差数列，求此时点的坐标．
A
B
C
D
N
O
x
y
A
B
C
D
N
O
x
y
E
Q
23.解法一：（1）因为抛物线的准线的方程为，所以可设点的坐标分别为，，，则，， 由，得，求导数得，于是，即，
化简得，
同理可得，
所以和是关于的方程
两个实数根，所以，且．
在直线的方程中，
令，
得=为定值，
所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点．……………5分
(2)由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，
因为是抛物线的焦点，所以，所以，
所以
，
又因为，，
所以，，成等差数列，即成等差数列，
即成等差数列，所以，，
所以，，
时，，，
时，，，所以所求点的坐标为．
……………………………………………………………………………10分
解法二：（1）因为已知抛物线的准线的方程为，所以可设点的坐标分别为，，，则，，
设过点与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得，
因为直线与抛物线相切，所以，即，解得，此时两切点横坐标分别为，
在直线的方程中，令得
=为定值，
所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点．……………5分
（2）由（1）知两切线的斜率分别为，则，所以，
连接，则直线斜率为，
又因为直线的斜率，
所以，
所以，又因为，所以，
所以和的面积成等差数列，所以成等差数列，
所以成等差数列，所以，，
所以，，
时，，，
时，，，
所以所求点的坐标为． ………………………………10分
C
A
B
P
B1
C1
A1
第22题图
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中，，，，动点满足，当时，.
（1）求棱的长；
（2）若二面角的大小为，求的值.
解：（1）以点为坐标原点，分别为轴，
建立空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，，， ………………2分
当时，有
解得，即棱的长为. ………………4分
（2）设平面的一个法向量为，
则由，得，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，………………6分
又平面与轴垂直，所以平面的一个法向量为，
因二面角的平面角的大小为，
所以，结合，解得. ………………10分
22．（本小题满分10分） 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BA⊥AC，AB＝AC＝A1B＝2，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B．（1）求异面直线AA1与BC所成角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使AP＝，并求出二面角P－AB－A1的平面角的余弦值．
22．解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0, 2, 0)，B(2, 0 , 0)，A1(0,－2, 2)，B1(4, 0 , 2)．从而，＝(0,－2, 2)，＝＝(－2, 2, 0)．
记与的夹角为θ，则有cosθ＝＝＝－.
又由异面直线AA1与BC所成角的范围为（0，π），可得异面直线AA1与BC所成的角为60º.
………………4分
（2）记平面PAB和平面ABA1的法向量分别为m和n，则由题设可令m＝(x, y, z)，且有平面ABA1的法向量为n＝(0,2,0).设＝λ＝(－2λ, 2λ, 0)，则P(4－2λ, 2λ, 2)．
于是AP＝＝，解得λ＝或λ＝．
又可知λ∈(0, 1)，则λ＝舍去，故有λ＝．从而，P为棱B1C1的中点，则坐标为P(3, 1, 2)．
由平面PAB的法向量为m，故m⊥且m⊥.
由m·＝0，即(x, y, z)·(3, 1 ,2)＝0，解得3x＋y＋2z＝0； ①
由m·＝0，即(x, y, z)·(－1,－1,－2)＝0，解得－x－y－2z＝0，②
解方程①、②可得，x＝0，y＋2z＝0，令y＝－2，z＝1，
则有m＝(0,－2, 1) .
记平面PAB和平面ABA1所成的角为β，则cosβ＝＝＝＝－.
故二面角P－AB－A1的平面角的余弦值是． ………………10分
23．（本小题满分10分）
已知点，，动点满足．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为．问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．(1)设，则，，，
由，得，化简得.
故动点的轨迹的方程. …………………………………………………………5分
(2)直线方程为，设， ，．
过点的切线方程设为，代入，得，
由，得，所以过点的切线方程为，……7分
同理过点的切线方程为．所以直线MN的方程为，………9分
又//，所以，得，而，
故点的坐标为． ……………………………………………………………………10分
23．如图，A、B、C是抛物线上三个不同的动点，直线AB过点，直线BC过点，求证：直线AC过一定点，并求该定点坐标．
23．解：当时，，
∴直线AB方程为．
∵，∴直线AB方程为．
当时也符合． ………………………………4分
同理：直线BC：，直线AC：．
∵直线AB过，∴．
∵直线BC过，∴．
∴． ……………………………………………………8分
∴．即．
令得．所以直线AC过一定点．……………………………………10分
（第22题）
22． (本小题满分10分)
如图，三棱锥P－ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，
AC⊥BC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，连结CD．
（1）若，求异面直线PA与CD所成角的余弦
值的大小；
（2）若二面角A－PB－C的余弦值的大小为，求PA．
22．解：连结OC．
∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC．从而PO⊥AB，PO⊥OC．
∵AC=BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB．且． ……………2分
如图，建立空间直角坐标系．
（1），．
，，，
，． …………4分
从而， ．
∵，
∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为． ……………………………6分
（2）设，则．∵ PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．
从而是平面PAB的一个法向量．
不妨设平面PBC的一个法向量为，
∵，， ∴
不妨令x=1，则y=1，，则． ………………………8分
由已知，得，化简，得．
∴． …………………………………10分
22．已知斜率为的直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A、B两点。设线段AB的中点为M
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若时，点M到直线（为常数，）的距离总不小于，求的取值范围
22. 斜率为1的直线与抛物线交于不同两点，求线段中点的轨迹方程．
22． 解：设直线方程：，
将代入,得,……2分
所以……6分
，,……9分
线段中点的轨迹方程为：.……10分
（第23题图）
23．如图，在四棱锥中，已知底面，，，，异面直线和所成角等于．
(1)求直线和平面所成角的正弦值的大小；
(2)在棱是否存在一点，使二面角的余弦值为?若存在，指出在棱上的位置；若不存在，说明理由．
23．解：以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设,则．
∵，，
∴．∴， ．
又，异面直线和所成角等于，
∴，即，解得． …………………2分
(1)．设平面的一个法向量为，则由 得 …………………………4分
取，∵，
∴直线和平面所成角的正弦值为． …………………………………6分
(2)假设存在．设，且，则，．
设平面的一个法向量为，
则由 得 ………………………………………8分
取，又平面的法向量，
由，得，解得或(不合题意)．
所以存在这样的点，为的靠近的三等分点． ………………………10分
22．过直线上的动点作抛物线的两切线，为切点．
（1）若切线的斜率分别为，求证：为定值；
（2）求证：直线过定点．
22．（1）设过作抛物线的切线的斜率为，则切线的方程为，
与方程联立，消去，得.
因为直线与抛物线相切，所以，
即. 由题意知，此方程两根为，所以(定值).
（2）设，由，得.
所以在点处的切线斜率为：，因此，切线方程为：.
由，化简可得，.
同理，得在点处的切线方程为.
因为两切线的交点为，故,.
所以两点在直线上，即直线的方程为：.
当时,，所以直线经过定点.
22.(本小题满分10分)
如图,已知抛物线的焦点为过的直线与抛物线交于两点,为抛物线的准线与轴的交点.
第22题图
（1）若求直线的斜率；（2）求的最大值.
22．⑴因为抛物线焦点为，．
当轴时，，，此时，与矛盾，……………2分
所以设直线的方程为，代入，得，
则，， ①所以，所以，②…4分
因为，所以，将①②代入并整理得，，
所以.………………………………………………………………………………6分
⑵因为，所以，当且仅当，即时，取等，所以，所以的最大值为.……………………10分
22. （本小题满分10分）
如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面，．
（1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；
（第22题）
（2）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
22. 解：（1)∵侧面底面，作于点，∴平面.
又，且各棱长都相等，∴，，.
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，
则 解得.
由．
而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为． …………5分
（2）∵，而 ∴
又∵，∴点的坐标为．
假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴．
∵，为平面的法向量，
∴由，得．
又平面，故存在点，使，其坐标为，即恰好为点．
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中，已知，，．
（第22题图）
A
B
C
A1
B1
C1
（1）求异面直线与夹角的余弦值；
（2）求二面角平面角的余弦值．
22．如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．
（第22题图）
A
B
C
A1
B1
C1
则，，，，所以，，
，．
（1）因为，
所以异面直线与夹角的余弦值为．
…………………………4分
（2）设平面的法向量为，
则 即
取平面的一个法向量为；
设平面的法向量为，则 即
取平面的一个法向量为；
则，
所以二面角平面角的余弦值为． …………………………10分
23.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物 的准线方程为 过点M(0,-2)作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O).直线过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N.
（1）求抛物线的方程;
（2）试问: 的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。
23．（1）由题设知，，即
所以抛物线的方程为…………………………………………………………2分
（2）．……………………………………5分
所以直线的方程为． ……………………………………………… 6分
设直线方程为，得，
所以．…………………………………………… 7分
得．………………………… 8分
所以,
故为定值2．……………………………10分
22C
B
A
D
E
第22题图
． 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，，
，90°．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求二面角的余弦值．
【解】设BE的中点为O，连结AO，DO，
由于AB=AE，BO=OE，
所以AO⊥BE，同理．
又因为平面ABE⊥平面BCDE，平面平面BCDE=BE，所以AO⊥平面BCDE，
由题意，，所以．
解法一：（1）不妨设，以O为坐标原点，
C
B
A
D
E
第22题图
O
xE
yE
zE
建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，则 ，，，
，． ………………3分
所以，，
因为，
所以与的夹角为120°，
所以异面直线AB与DE所成角为60°．………………………………………5分
（2）设平面ACE的法向量为，
因为，，
所以，，所以，且，取，得，
所以，，又平面的法向量为，
设二面角的平面角为，由，
因此，二面角的余弦值为． ……………………………10分
解法二：（1）不妨设，以B为原点，建立如图所示空间直角坐标系B-xyz，
C
B
A
D
E
第22题图
O
xE
yE
zE
则，，则，，，…3分
则，，
因为，
所以与的夹角为120°，
所以异面直线AB与DE所成角为60°． …………………………………5分
（2）设平面ACE的法向量为，，，
所以， ，解得
设平面的法向量为，，，
所以， ，解得
设二面角的平面角为，则，
因此，二面角的余弦值为． ……………………………10分
22．如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，
均在抛物线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）若的平分线垂直于轴，证明直线的斜率为定值．
P
A
B
O
解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为
因为点在抛物线上,所以，得．……………………3分
故所求抛物线的方程是 ． ……………………4分
（II）由题：，所以……………………6分
，所以，
所以． ……………………8分
……………………10分
18. 已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且．
（1）求的方程；
（2）过的直线与相交于、两点，若的垂直平分线与相交于、两点，且、、、四点在同一圆上，求的方程．
【解析】 （1）设，代入得．
所以，．
由题设得．解得或．
所以的方程为．
（2）依题意知与坐标轴不垂直，故可设的方程为（）．
代入得．
设，，则，．
故的中点为．．
又的斜率为，所以的方程为．
将上式代入，并整理得．
设，，则，．
故的中点为．．
由于垂直平分，故、、、四点在同一圆上等价于，
从而，
即．
化简得，解得或．
所求直线的方程为：或．
