北京海淀区中考数学二模试题及答案

北京海淀区中考数学二模试题及答案

海淀区九年级第二学期期末练习 ‎ 数 学 2011.06‎ ‎1. 的绝对值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 下列运算正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 如图，中，，过点C的直线DF与的平分线AE平行，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 在6张完全相同的卡片上分别画有线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形和圆各一个图形。从这6张卡片随机地抽取一张卡片，则这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 两个半径不等的圆相切，圆心距为6cm，且大圆半径是小圆半径的2倍，则小圆的半径为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎7. 农科所连续四年在两块环境相同的实验田里种植甲、乙两种不同品种的小麦。亩产量（单位：公斤）统 计如下表。设甲、乙品种四年亩产量的平均数依次为，，四年亩产量的方差依次为，，则下列关系中完全正确的是（ ）‎ 年份 品种 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ 甲 ‎454‎ ‎457‎ ‎462‎ ‎459‎ 乙 ‎454‎ ‎459‎ ‎465‎ ‎458‎ A. ， ‎ B. ，‎ C. ， ‎ D. ， ‎ ‎8. 一个不透明的小方体的的6个面上分别写有数学1，2，3，4，5，6，任意两对面上所写的两个数字之和为7。将这样的几个小方体按照相接触的两个面上的数字之和为8摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如右图所示，已知图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9. 一个正n边形的每个内角都是，则_______.‎ ‎10. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为___________.‎ ‎11. 如图，在扇形中，，C为OA的中点，点D在上，且，则______.‎ ‎12. 某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输。现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每 个0变成01。我们用表示没有经过加密的数字串。这样对进行一次加密就得到一个新的数字串，对再进行一次加密又得到一个新的数学串，依此类推，…，例如：：10，则：1001。若已知：100101101001，则：______，若数字串共有4个数字，则数字串中相邻两个数字相等的数对至少有______对。‎ ‎13. 计算：。‎ ‎14. 解方程：。‎ ‎15. 菱形ABCD中，于E，于F，求证：‎ ‎16. 已知，求代数式的值。‎ ‎17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点。直线经过点A（2，1），‎ 轴于B，连接AO。‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）M是直线上异于A的一点，且在第一象限内。过点M作x轴的垂线，垂足为点N。若的面积与面积相等，求点M的坐标。‎ ‎18. 某校准备组织290名师生进行野外考察活动，行李共有100件。学校计划租用甲、乙两型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人（不含司机）和10件行礼，乙种汽车每辆最多能载30人（不含司机）和20件行礼。设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案。‎ ‎19. 如图，梯形ABCD中，，，，对角线，且，求梯形ABCD的高。‎ ‎20. 已知AB是的直径，C是上一点（不与A、B重合），过点C作的切线CD，过A作CD的垂线，垂足是M点。‎ ‎（1）如图左，若，求证：AM是的切线。‎ ‎（2）如图右，若，，求AC的长。‎ ‎ ‎ ‎21. 某学校从2007年以来，一直坚持开展用眼健康方面的教育，并进行了跟踪治疗。为了调查全校学生的视图变化情况，从中抽取部分学生近几年视图检查的结果做了统计（如图1），并统计了2010年这部分学生的视力分布情况（如表1和图2）。‎ 图1 ‎ ‎ ‎ 图2‎ 表1‎ ‎（1）根据以上图表中提供的信息写出：_________，________，________.‎ ‎（2）由统计图中的信息可知，近几年学生视力为5.0的学生人数和每年与上一年相比，增加最多的是_____年；若全校有3000名学生，请你估计2010年全校学生中视力达到5.0及5.0以上的约有______人。‎ ‎22. 如图，在中，，，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上。‎ ‎（1）若C、D恰好是边AO，OB的中点，求矩形CDEF的面积；‎ ‎（2）若，求矩形CDEF面积的最大值。‎ ‎23. 已知关于x的方程，其中。‎ ‎（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）设方程的两个实数根分别为，，其中，若，求y与m的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式成立的的取值范围。‎ ‎24. 在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，等边三角形OAB的一个顶点为A（2，0），另一个顶点B在第一象限内。‎ ‎（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形，那么我们称这样的四边形为“筝形”。点Q在（1）的抛物线上，且以O、A、B、Q为顶点的四边形是“筝形，求点Q的坐标；‎ ‎（3）设的外接圆，试判断（2）中的点Q与的位置关系，并通过计算说明理由。‎ ‎25. 已知，以AC为边在外作等腰，其中。‎ ‎(1)如图1，若，，四边形ABCD是平行四边形，则______；‎ ‎(2)如图2，若，是等边三角形，，。求BD的长；‎ ‎(3)如图3，若为锐角，作于H。当时，是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。‎ 海淀区九年级第二学期期末练习 数 学 参考答案及评分标准 2011.6‎ 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 ‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分） ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A ‎ ‎ D C B C D D C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎5‎ ‎30°‎ ‎101‎ ‎ 4‎ 注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分 ‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13.解：原式+2 …….……………………..4分 ‎ . …….……………………..5分 ‎14.解：方程两边同时乘以方程可化为：‎ ‎ ， …….……………………..2分 即 . ‎ ‎∴ . …….……………………..4分 经检验：是原方程的解. ∴原方程的解是. ………………..5分 ‎15. 证明：∵AE⊥BC于E， AF⊥CD于F，‎ ‎∴, …….……………………..1分 ‎∵菱形ABCD,‎ ‎∴AB=AD, . …….……………………..3分 在Rt△EBA和Rt△FDA中,‎ ‎∴△EBA≌△FDA. …….……………………..4分 ‎∴AE=AF. …….……………………..5分 ‎16.解：∵= …….……………………..1分 ‎ , …….……………………..2分 又∵, ∴. ………………..3分 将代入上式，得 ‎ ‎∴当时，代数式的值为3. …….……………………..5分 ‎17．解：（1）∵ 直线经过点，‎ ‎∴ . …….……………………..1分 ‎∴ . …….……………………..2分 ‎（2）∵ M是直线上异于A的动点，且在第一象限内．‎ ‎∴ 设M（，），且.‎ 由MN⊥x轴，轴得,‎ MN=，ON=，=1，.‎ ‎∵ 的面积和的面积相等，‎ ‎∴ . …….……………………..3分 解得：，（不合题意，舍）. …….……………………..4分 ‎∴ M（1，2）. …….……………………..5分 ‎18．解：（1）由租用甲种汽车辆，则租用乙种汽车()辆. …….……………………..1分 由题意得： …….……………………..3分 解得：. …….……………………..4分 即共有2种租车方案： 第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；‎ 第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆． …….……………………..5分 ‎19．解：作DE//AC,交BC的延长线于点E,作DF⊥BE,垂足为F. …….……………………..1分 ‎ ∵AD//BC, ‎ ‎∴四边形ACED为平行四边形.‎ ‎∴AD=CE=3，BE=BC+CE=8. …….……………………..2分 ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴DE⊥BD.‎ ‎∴△BDE为直角三角形 ，‎ ‎∵∠DBC=30°，BE=8,‎ ‎∴ …….……………………..4分 在直角三角形BDF中∠DBC=30°,‎ ‎∴. …….……………………..5分 ‎20．（1）证明：连结OC.‎ ‎∵CD是的切线，‎ ‎∴OC⊥CD.‎ ‎∴. …….……………………..1分 ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵AM⊥CD,‎ ‎∴.‎ ‎∴在四边形OAMC中 . ‎ ‎∵OA为的半径,‎ ‎∴是的切线 . …….……………………..2分 ‎（2）连结OC,BC.‎ ‎∵CD是的切线，‎ ‎∴OC⊥CD.‎ ‎∴.‎ ‎∵AM⊥CD,‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ ‎ ∴.‎ ‎∵OA= OC,‎ ‎∴. 即. …….……………………..3分 ‎ 易知， ∴. …….……………………..4分 ‎ ∴. 即. ∴. …….……………………..5分 ‎21．解：（1）800，400，40； …….……………………..3分 ‎（2）2010，1800. …….……………………..5分 注：本题一空一分 ‎22．解：（1）如图，当C、D是边AO,OB的中点时，‎ 点E、F都在边AB上，且.‎ ‎∵OA=OB=8，‎ ‎∴OC=AC=OD=4.‎ ‎ ∵,‎ ‎∴. …….……………………..1分 在中，‎ ‎ ∵,∴.‎ ‎∴. …….……………………..2分 ‎（2）设.过F作于H. 在中，‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴. …….……………………..3分 ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎ ∴‎ ‎∴.‎ ‎∵是等腰直角三角形,‎ ‎∴.∴.∴.‎ ‎∴. …….……………………..4分 易知,‎ ‎ ∴当时，矩形CDEF面积的最大值为. …….……………………..5分 ‎23．解：（1）由题意可知,∵， …….……………………..1分 ‎ 即 ‎∴方程总有两个不相等的实数根. …….……………………..2分 ‎（2）由求根公式，得 ‎．‎ ‎∴ 或． …….……………………..3分 ‎∵ m＞0，‎ ‎∴ ． ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ． …….……………………..4分 ‎∴ ‎ 即为所求． ‎ ‎ …….……………………..5分 ‎（3）在同一平面直角坐标系中 分别画出 与的图象. …….……………………..6分 由图象可得，由图象可得 当时，． …….……………………..7分 ‎24．解：过B作BC⊥x轴于C.‎ ‎∵ 等边三角形的一个顶点为，‎ ‎∴ OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°.‎ ‎∴ BC=.‎ ‎∴ B. …….……………………..1分 设经过O、A、B三点的抛物线的 解析式为：.‎ 将A（2，0）代入得：，‎ 解得.‎ ‎∴经过O、A、B三点的抛物线的解析式为 ‎.‎ 即. …….……………………..2分 ‎（2）依题意分为三种情况：‎ ‎（ⅰ） 当以OA、OB为边时，‎ ‎∵ OA=OB，‎ ‎∴ 过O作OQ⊥AB交抛物线于Q.‎ 则四边形OAQB是筝形，且∠QOA=30°.‎ ‎ 作QD⊥轴于D，QD=OD,‎ 设Q，则.‎ 解得：.‎ ‎∴Q. …….……………………..3分 ‎（ⅱ） 当以OA、AB为边时，由对称性可知Q . …….……………………..4分 ‎（ⅲ） 当以OB、AB为边时，抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形. …….…………..5分 ‎∴Q或.‎ ‎（3）点Q在内.‎ 由等边三角形性质可知的外接圆圆心是（2）中BC与OQ的交点，‎ 当Q时，‎ ‎∵MC∥QD, ‎ ‎∴△OMC∽△OQD. ‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ =.‎ 又,‎ ‎∵<,‎ ‎∴Q在内. …….……………………..6分 当Q时，由对称性可知点Q在内.‎ 综述，点Q在内. …….……………………..7分 ‎25．解：（1）45； …….……………………..2分 ‎（2）如图2，以A为顶点AB为边在外作=60°，并在AE上取AE=AB，连结BE和CE.‎ ‎∵是等边三角形,‎ ‎∴AD=AC，=60°.‎ ‎∵=60°,‎ ‎∴+=+.‎ 即=.‎ ‎∴≌. …….……………………..3分 ‎∴EC=BD.‎ ‎∵=60°，AE=AB=3,‎ ‎∴是等边三角形，‎ ‎∴=60°, EB= 3， …….……………………..4分 ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵，EB=3，BC=4,‎ ‎∴EC=5.‎ ‎∴BD=5. ‎ ‎ …….……………………..5分 ‎（3）=2成立. …….……………………..6分 ‎ 以下证明：‎ 如图３，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连结EA，EC. 并取BE的中点K，连结AK.‎ ‎ ∵于H，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵BE∥AH,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵，BE=2AH,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴EC=BD.‎ ‎ ∵K为BE的中点，BE=2AH,‎ ‎ ∴BK=AH.‎ ‎ ∵BK∥AH，‎ ‎ ∴四边形AKBH为平行四边形.‎ ‎ 又∵,‎ ‎ ∴四边形AKBH为矩形.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴AK是BE的垂直平分线.‎ ‎ ∴AB=AE.‎ ‎ ∵AB=AE，EC=BD，AC=AD,‎ ‎ ∴≌. …….……………………..7分 ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ ‎ 即.‎ ‎ ∵，为锐角,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵AB=AE,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴=2.‎ ‎ ∴=2. …….……………………..8分