中考数学专题新定义和跨学科问题

中考数学专题新定义和跨学科问题

‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）‎ 专题59：新定义和跨学科问题 一、选择题 ‎1. （2012浙江丽水、金华3分）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是【 】‎ ‎　　A．①　　B．②　　C．⑤　　D．⑥‎ ‎【答案】 A。‎ ‎【考点】生活中的轴对称现象。‎ ‎【分析】如图，根据入射线与水平线的夹角等于反射线与水平线的夹角，可求最后落入①球洞。故A。‎ ‎2. （2012福建漳州4分）在公式I=中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为【 】‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】跨学科问题，反比例函数的图象。‎ ‎【分析】∵在公式I=中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系不反比例函 数关系，且R为正数，∴选项D正确。故选D。‎ ‎3. （2012湖北随州4分）定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，3）的点的个数是【 】‎ ‎ A.2 B.1 C. 4 D.3‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】新定义，点的坐标，点到直线的距离。‎ ‎【分析】画出两条相交直线，到l1的距离为2的直线有2条，到l2的距离为3的直线有2条，看所画的这些直线的交点有几个即为所求的点的个数：‎ 如图所示，所求的点有4个。故选C。‎ ‎4. （2012湖南长沙3分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】跨学科问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】设，那么点（3，2）满足这个函数解析式，∴k=3×2=6。∴。故选C。‎ ‎5. （2012湖南益阳4分）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是【 】‎ A．　　B．　　‎ C．　　D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】跨学科问题，函数的图象。‎ ‎【分析】根据在一个标准大气压下水加热到100℃后水温不会继续增加，而是保持100℃不变，据此可以得到函数的图象。故选B。‎ ‎6. （2012贵州六盘水3分）定义：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（﹣m，﹣n）．例如f（2，3）=（3，2），g（﹣1，﹣4）=（1，4）．则g[f（﹣5，6）]等于【 】‎ ‎　 A． （﹣6，5） B． （﹣5，﹣6） C． （6，﹣5） D． （﹣5，6）‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】新定义。‎ ‎【分析】根据新定义先求出f（﹣5，6），然后根据g的定义解答即可：‎ ‎∵根据定义，f（﹣5，6）=（6，﹣5），‎ ‎∴g[f（﹣5，6）]=g（6，﹣5）=（﹣6，5）。故选A。‎ ‎7. （2012山东东营3分）根据下图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为【 】‎ A．　　　　B． C．　 　D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】新定义，求函数值。‎ ‎【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当x=时，在2≤x≤4之间，所以将x的值代入对应的函数即可求得y的值：。故选B。‎ ‎8. （2012山东莱芜3分）对于非零的实数a、b，规定a⊕b＝－．若2⊕(2x－1)＝1，则x＝【 】‎ A． B． C． D．－ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】新定义，解分式方程。‎ ‎【分析】∵a⊕b＝－，2⊕(2x－1)＝1，∴2⊕(2x－1)＝。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 检验，合适。故选A。‎ ‎9. （2012广西钦州3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：‎ ‎①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；‎ ‎②g（x，y）=（﹣x，﹣y），如g（2，3）=（﹣2，﹣3）．‎ 按照以上变换有：f（g（2，3））=f（﹣2，﹣3）=（﹣3，﹣2），那么g（f（﹣6，7））等于【 】‎ A．（7，6） B．（7，﹣6） C．（﹣7，6） D．（﹣7，﹣6）‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】新定义，点的坐标。‎ ‎【分析】由题意应先进行f方式的变换，再进行g方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：‎ ‎∵f（﹣6，7）=（7，﹣6），∴g（f（﹣6，7））=g（7，﹣6）=（﹣7，6）。故选C。‎ ‎10. （2012甘肃兰州4分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是【 】‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】跨学科问题，函数的图象。‎ ‎【分析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变。‎ 因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。‎ 故选C。‎ 二、填空题 ‎1. （2012陕西省3分）如图，从点A（0，2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过路径的长为 ▲ ．‎ ‎2. （2012福建南平3分）设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，‎ 则下列结论中正确的是 ▲ ．（填写所有正确结论的序号）‎ ‎①[0）=0；②[x）－x的最小值是0；③[x）－x的最大值是0；④存在实数x，使[x）－x=0.5成立．‎ ‎【答案】④。‎ ‎【考点】新定义，实数的运算。‎ ‎【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案：‎ ‎①[0）=1，故结论错误；‎ ‎②[x）－x＞0，但是取不到0，故结论错误；‎ ‎③[x）－x≤1，即最大值为1，故结论错误；‎ ‎④存在实数x，使[x）－x=0.5成立，例如x=0.5时，故结论正确。‎ 故答案为④。‎ ‎3. （2012福建泉州4分）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P(),(为自然数).‎ ‎（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（）、P（）都是过点P的△ABC 的相似线（其中⊥BC，∥AC），此外还有 ▲ _条. ‎ ‎（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当 ▲ 时，P()截得的三角形面积为△ABC面积的. ‎ ‎【答案】（1）1；（2）或或。‎ ‎【考点】相似三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）如图， “相似线”还有一条，即与BC平行的直线。‎ ‎ （2）如图， “相似线”有三条：，，。‎ ‎ ∵P()截得的三角形面积为△ABC面积的，‎ ‎ ∴△PBD，△APE，△FBP和△ABC的相似比是。‎ ‎ 对于△PBD，有。‎ 对于△APE，有，∴。‎ ‎ 对于△FBP，若点F在BC上，有，即BA=2BF。‎ ‎ 又在Rt△BPF中，∠B=30°，则。∴。‎ ‎ 若点F在AC上，有，即BA=2FA。‎ ‎ 又在Rt△APF中，∠A=60°，则。‎ ‎∴。∴。‎ 综上所述，当或或时，P()截得的三角形面积为△ABC面积的。‎ ‎4. （2012湖北荆门3分）新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】x=3。‎ ‎【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。‎ ‎【分析】根据新定义得：y=x＋m－2， ‎ ‎∵“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2。‎ 则关于x的方程即为，解得：x=3。‎ 检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解。‎ ‎5. （2012湖北荆州3分）新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】x=3。‎ ‎【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。‎ ‎【分析】根据新定义得：y=x＋m－2， ‎ ‎∵“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2。‎ 则关于x的方程即为，解得：x=3。‎ 检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解。‎ ‎6. （2012湖南常德3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如： []=0，[3.14]=3。按此规定 []的值为 ▲ 。‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】新定义，估计无理数的大小。‎ ‎【分析】∵9＜10＜16，∴。∴。‎ ‎7. （2012湖南株洲3分）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】64。‎ ‎【考点】新定义，代数式求值。‎ ‎【分析】将（4，5）•（6，8）中的数字分别替换（x1，y1）•（x2，y2）即可解答：‎ ‎∵（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64。‎ ‎8. （2012四川自贡4分）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD．弧DE、弧EF的圆心依次是A．B．C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 ▲ ．‎ ‎【答案】4π。‎ ‎【考点】新定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，弧长的计算。‎ ‎【分析】弧CD是以点A为圆心，AB=1为半径，∠CAD=1200为圆心角的圆弧，长是；‎ 弧DE是以点B为圆心，BD=2为半径，∠DBE=1200为圆心角的圆弧，长是：；‎ 弧EF是以点C为圆心，CE=3为半径，∠ECF=1200为圆心角的圆弧，长是：。‎ 则曲线CDEF的长是：。‎ ‎9. （2012山东菏泽4分）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ▲ ．‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】新定义，整式的混合运算，解一元一次方程。‎ ‎【分析】根据定义化简，得：，‎ 整理得：，即，解得：。‎ 三、解答题 ‎1. （2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）的“非常距离”，‎ 给出如下定义：‎ ‎ 若∣x1－x2∣≥∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣x1－x2∣；‎ ‎ 若∣x1－x2∣＜∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣y1－y2∣.‎ ‎ 例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P1与点P2的“非常距离”为 ‎∣2－5∣=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x 轴的直线P2Q的交点）。‎ ‎ （1）已知点，B为y轴上的一个动点，‎ ‎ ①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；‎ ‎ ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；‎ ‎ （2）已知C是直线上的一个动点，‎ ‎ ①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；‎ ‎ ②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最 小值及相应的点E和点C的坐标。‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：（1）①（0，－2）或（0，2）。‎ ‎②。‎ ‎（2）①设C坐标为，如图，过点C作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q。‎ ‎ 由“非常距离”的定义知，当OP=DQ时，点C与点D的“非常距离”最小，‎ ‎∴。‎ 两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。‎ ‎∴点C与点D的“非常距离”的最小值距离为，此时。‎ ‎②设直线与x轴和y轴交于点A，B，过点O作直线的垂线交直线于点C，交圆于点E，过点C作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q，过点E作EM⊥x轴于点M，作EN⊥y轴于点N。‎ 易得，OA=4，OB=3，AB=5。‎ 由△OAB∽△MEM，OE=1，得OM=，ON=。∴。‎ 设C坐标为 由“非常距离”的定义知，当MP=NQ时，点C与点E的“非常距离”最小，‎ ‎∴。‎ 两边平方并整理，得，‎ 解得，或（大于，舍去）。‎ ‎∴点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1，此时，。‎ ‎【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。‎ ‎【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。‎ ‎ （2）①解题关键是，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C’点，其与点D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。‎ ‎ ②同①，同时理解当OC垂直于直线时，点C与点E的“非常距离”最小。‎ ‎2. （2012陕西省10分）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．‎ ‎（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；‎ ‎（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；‎ ‎（3）如图，△OAB是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）等腰。‎ ‎ （2）∵抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，‎ ‎ ∴该抛物线的顶点满足（b＞0）。‎ ‎ ∴b=2。‎ ‎ （3）存在。‎ ‎ 如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，‎ ‎ 则四边形ABCD为平行四边形。‎ ‎ 当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形。‎ ‎ 又∵AO=AB， ∴△OAB为等边三角形。‎ ‎ 作AE⊥OB，垂足为E，‎ ‎ ∴，即，∴．‎ ‎ ∴。‎ ‎ 设过点O、C、D三点的抛物线，则 ‎ ，解得，。‎ ‎ ∴所求抛物线的表达式为。‎ ‎【考点】二次函数综合题，新定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中心对称的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形。‎ ‎（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b＞0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值。‎ ‎（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式。‎ ‎3. （2012浙江嘉兴、舟山12分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．‎ ‎（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=　 　；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为　 　度；‎ ‎（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；‎ ‎（4）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．‎ ‎【答案】解：（1） 3；60。‎ ‎（2）∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°。‎ ‎∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°．‎ 在 Rt△AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°。‎ ‎∴AB′=2 AB，即。‎ ‎（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′。‎ 又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°。∴∠C′AB′=∠BAC=36°。‎ 而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA。∴AB：BB′=CB：AB。‎ ‎∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′）。‎ 而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1（1+AB），解得，。‎ ‎∵AB＞0，∴。‎ ‎【考点】新定义，旋转的性质，矩形的性质，含300角直角三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，公式法解一元二次方，。‎ ‎【分析】（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′，‎ ‎∴S△AB′C′：S△ABC=，∠B=∠B′。‎ ‎∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°。‎ ‎（2）由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值。‎ ‎（3）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得答案。‎ ‎4. （2012浙江台州14分）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.‎ 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点.‎ ‎（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____,‎ 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______‎ ‎ （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式.‎ ‎（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.‎ ‎①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;‎ ‎②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）2；。‎ ‎ （2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。‎ 当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。‎ ‎ 当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，‎ 则根据定义，d=EB。‎ ‎∵A(4，0)，B(m，n)，AB=2，∴EA=4－m。‎ ‎∴ ‎ ‎。‎ ‎∴。‎ ‎（3）①如图，由（2）知，当点B在⊙O的左半圆时，d=2 ，此时，点M是圆弧M1M2，长2π；‎ ‎ 当点B从B1到B3时，d=2 ，此时，点M是线段M1M3，长为8；‎ ‎ 同理，当点B在⊙O的左半圆时，圆弧M3M4长2π；点B从B2到B4时，线段M1M3=8。‎ ‎ ∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为16+4π。‎ ‎ ②存在。如图，由A(4，0)，D(0，2), 得。‎ ‎ （i）∵M1H1=M2H2=2，‎ ‎ ∴只要AH1=AH2=1, 就有△AOD∽△M1H1A和△AOD∽△M2H2A，此时OH1=5，OH2=3。‎ ‎ ∵点M为线段BC的中点, BC=4，‎ ‎ ∴OH1=5时，m=3；OH2=3时，m=1。‎ ‎ （ii）显然，当点M3与点D重合时，△AOD∽△AH3M3，此时m=－2, 与题设m≥0不符。‎ ‎ （iii）当点M4右侧圆弧上时，连接FM4，其中点F是圆弧的圆心，坐标为（6，0）。‎ ‎ 设OH4=x, 则FH4= x－6。‎ ‎ 又FM4=2，∴。‎ ‎ 若△AOD∽△A H2M2，则,即,‎ ‎ 解得（不合题意，舍去）。此时m=。‎ ‎ 若△AOD∽△M2H2 A，则,即,‎ ‎ 解得（不合题意，舍去）。‎ 此时,点M4在圆弧的另一半上，不合题意，舍去。‎ ‎ 综上所述，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似的m的值为：m=1，m=3，m=。 ‎ ‎【考点】新定义，点到直线的距离，两平行线间的距离，勾股定理，求函数关系式，图形的平移性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据定义，当m=2，n=2时，线段BC与线段OA的距离是点A到BC的距离2。当m=5，n=2时，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长) 可由勾股定理求出：。‎ ‎（2）分2≤m＜4和4≤m≤6两种情况讨论即可。‎ ‎ （3）①由（2）找出点M随线段BC运动所围成的封闭图形即可。‎ ‎ ②由（2）分点M在线段上和圆弧上两种情况讨论即可。‎ ‎5. （2012浙江绍兴10分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。‎ 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。‎ 举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心。‎ 应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数。‎ 探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。‎ ‎6. 1. （2012江苏常州7分）平面上两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=1500（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：‎ ‎（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；‎ ‎（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；‎ ‎（3）到直线AB、CD的距离分别为p、q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）。‎ 设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：‎ ‎（1）画出图形（保留画图痕迹）：‎ ①满足m=1且n=0的点的集合；‎ ②满足m=n的点的集合；‎ ‎（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式。‎ ‎（说明：图中OI长为一个单位长）‎ ‎【答案】解：（1）①如图1中，F1，F2即为所求；‎ ‎ ②如图2中，两条角平分线即为所求。‎ ‎ （2）如图3，过点M作MH⊥AB于点H。则 ‎ 根据定义，MH=m，MO=n。‎ ‎ ∵∠BOD=1500，∠DOM=900（∵l⊥CD），‎ ‎ ∴ ∠HOM=600。‎ ‎ 在Rt△MHO中，，‎ ‎ ∴ ，即，即。‎ ‎ ∴ m与n所满足的关系式为。 ‎ ‎【考点】新定义，作图（复杂作图），含300角直角三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）①以点I为圆心，OI为半径画圆交AB于点E；以点O为圆心，OE为半径画圆交CD于点F1，F2，则F1，F2即为所求。‎ 由作法知，OF1=2OI=2，由∠BOD=1500知∠EOF1=300，根据含300‎ 角直角三角形中300角所对边是斜边一半的性质，得点F1到AB的距离m =1，同时点F1在CD上，即n=0。同理，F2的证明。‎ ②分别作∠BOD和∠BOC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，两角平分线上的点满足m=n，故两条角平分线即为所求。‎ ‎ （2）由已知和锐角三角函数定义即可得出m与n所满足的关系式。‎ ‎7. （2012江苏无锡8分）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．‎ ‎（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；‎ ‎（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．‎ ‎【答案】解：（1）由题意，得|x|+|y|=1。‎ 所有符合条件的点P组成的图形如图所示：‎ ‎（2）∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，‎ 又∵x可取一切实数，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3。‎ ‎∴点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。‎ ‎【考点】新定义，一次函数综合题，绝对值与数轴的关系。‎ ‎【分析】（1）根据新定义知|x|+|y|=1，据此可以画出符合题意的图形。‎ ‎（2）根据新定义知d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1‎ 所对应的点的距离之和，其最小值为3。‎ ‎8. （2012江苏镇江9分）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E。现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：‎ ‎【尝试】‎ ‎（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 ▲ 。‎ ‎（2）判断点A是否在抛物线E上；‎ ‎（3）求n的值。‎ ‎【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为 ▲ 。‎ ‎【应用1】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；‎ ‎【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，求出所有符合条件的t的值。‎ ‎【答案】解：【尝试】（1）（1，－2）。‎ ‎ （2）点A在抛物线E上，理由如下：‎ ‎ 将x=2代入得y=0。‎ ‎ ∴点A在抛物线E上。‎ ‎（3）将（－1，n）代入得 ‎ 。‎ ‎【发现】A（2，0）和B（－1，6）。‎ ‎【应用1】不是。‎ ‎ ∵将x=－1代入，得，‎ ‎ ∴二次函数的图象不经过点B。‎ ‎ ∴二次函数不是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”。‎ ‎【应用2】如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过点D1作D1G⊥x轴于点G，过点C2作C2H⊥y轴于点H，过点B作BM⊥x轴于点M，C2H与BM相交于点T。‎ 易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△NBA，‎ 则，即，得。‎ ‎∴C1（0，）。‎ 易得△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1=。∴D1（3，）。‎ 易得△OAD2∽GAD1，则，‎ 由AG=1，OA=2，GD1=得，得OD2=1。∴D2（0，－1）。‎ 易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1。∴C2（－3，5）。‎ ‎∵抛物线E总过定点A、B，∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。‎ 当抛物线经过A、B、C1时，将C1（0，）代入得；‎ 当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3，）代入得；‎ 当抛物线经过A、B、C2时，将C2（－3，5）代入得；‎ 当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，－1）代入 得。‎ ‎∴满足条件的所有t值为，，，。‎ ‎【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。‎ ‎【分析】【尝试】（1）当t=2时，抛物线为，∴抛物线的顶点坐标为（1，－2）。‎ ‎ （2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。‎ ‎ （3）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－1，n）代入函数关系式即可求得n的值。‎ ‎【发现】由（1）可得。‎ ‎【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。‎ ‎【应用2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。‎ ‎9. （2012福建厦门10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，连结AB. 如果点P 在直线y＝x－1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“邻近点”．‎ ‎（1）判断点Ｃ( ， ) 是否是线段AB的“邻近点”，并说明理由；‎ ‎（2）若点Q (m，n)是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）点Ｃ(，) 是线段AB的“邻近点”。理由如下：‎ ‎∵－1＝，∴点Ｃ(，)在直线y＝x－1上.。‎ ‎∵点A的纵坐标与点B的纵坐标相同，∴ AB∥x轴。‎ ‎∴Ｃ(，) 到线段AB的距离是3－＝。‎ ‎∵＜1，∴Ｃ(，)是线段AB的“邻近点”。‎ ‎（2）∵点Q(m，n)是线段AB的“邻近点”，∴点Q(m，n)在直线y＝x－1上。‎ ‎∴ n＝m－1。‎ ‎① 当m≥4时， n＝m－1≥3。‎ 又AB∥x轴，∴此时点Q(m，n)到线段AB的距离是n－3。‎ ‎∴0≤n－3＜1。∴4≤m＜5。‎ ‎② 当m＜4时， n＝m－1＜3。‎ 又AB∥x轴，∴ 此时点Q(m，n)到线段AB的距离是3－n。‎ ‎∴0≤3－n＜1。∴3＜m＜4。‎ 综上所述， 3＜m＜5。‎ ‎【考点】一次函数综合题，新定义，直线上点的坐标与方程的关系，点到直线的距离。‎ ‎【分析】（1）验证点Ｃ(，)满足“邻近点”的条件即可。‎ ‎（2）分m≥4和m＜4讨论即可。‎ ‎10. （2012湖北宜昌7分）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．‎ ‎（1）求这个反比例函数的表达式；‎ ‎（2）当R=10Ω时，电流能是4A吗？为什么？‎ ‎【答案】解：（1）∵电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，∴设I=（k≠0）。‎ ‎ 把（4，9）代入得：k=4×9=36。‎ ‎∴这个反比例函数的表达式I=。‎ ‎（2）∵当R=10Ω时，I=3.6≠4，∴电流不可能是4A。‎ ‎【考点】跨学科问题，反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）根据）电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设出I=（k≠0）后把（4，9）代入求得k值即可。‎ ‎（2）将R=10Ω代入上题求得的函数关系式后求得电流的值与4比较即可。‎ ‎11. （2012湖北武汉10分）已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6．‎ ‎(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；‎ ‎(2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点 的三角形为格点三角形．‎ ‎①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明)；‎ ‎②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需 证明)．‎ ‎【答案】解：（1）①如图A，过点M作MN∥BC交AC于点N，‎ ‎ 则△AMN∽△ABC，‎ ‎∵M为AB中点，∴MN是△ABC 的中位线。‎ ‎∵BC＝6，∴MN=3。‎ ‎②如图B，过点M作∠AMN=∠ACB交AC于点N，‎ 则△AMN∽△ACB，∴。‎ ‎∵BC=6，AC= ，AM=，∴，解得MN=。‎ 综上所述，线段MN的长为3或。‎ ‎（2）①如图所示：‎ ‎②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。‎ ‎12. （2012湖北孝感8分）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．‎ 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到 中点四边形EFGH．‎ ‎(1)这个中点四边形EFGH的形状是 ；(2)证明你的结论．‎ ‎【答案】解：（1）平行四边形．‎ ‎（2）证明：连接AC，‎ ‎∵E是AB的中点，F是BC的中点，‎ ‎∴EF∥AC，EF=AC。‎ 同理HG∥AC，HG=AC。 ‎ ‎∴EF∥HG，EF=HG。∴四边形EFGH是平行四边形。‎ ‎【考点】新定义，三角形中位线定理，平行四边形的判定。‎ ‎【分析】（1）根据四边形的形状及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形。‎ ‎（2）连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，从而可判断出四边形EFGH的形状。‎ ‎13. （2012湖南张家界8分）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是=ad﹣bc．例如：=1×4﹣2×3=﹣2，=（﹣2）×5﹣4×3=﹣22．‎ ‎（1）按照这个规定，请你计算的值；‎ ‎（2）按照这个规定，请你计算：当x2﹣4x+4=0时，的值．‎ ‎【答案】解：（1）=5×8﹣7×6=﹣2。‎ ‎（2）由x2﹣4x+4=0得（x﹣2）2=4，∴x=2。‎ ‎∴=3×1﹣4×1=﹣1。‎ ‎【考点】新定义，实数的运算，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）根据符号的意义得到5×8﹣7×6，再进行实数的运算即可。‎ ‎ （2）解方程x2﹣4x+4=0得x=2，代入 ，然后根据符号的意义得到3×1﹣4×1，再进行实数的运算。‎ ‎14. （2012湖南郴州10分）阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且 A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d= ．‎ ‎  例：求点P（1，2）到直线的距离d时，先将化为5x－12y－2=0，再由上述距离公式求得d= ．‎ 解答下列问题：‎ 如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线上的一点M（3，2）．‎ ‎（1）求点M到直线AB的距离．‎ ‎（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）将化为4x＋3y＋12=0，，由上述距离公式得：‎ ‎ d= 。‎ ‎ ∴点M到直线AB的距离为6。‎ ‎（2）存在。‎ ‎ 设P（x，），则点P到直线AB的距离为：‎ ‎ d= 。‎ ‎ 由图象，知点P到直线AB的距离最小时x＞0，＞0，‎ ‎ ∴d= 。‎ ‎ ∴当时，d最小，为。‎ ‎ 当时，，∴P（，）。‎ ‎ 又在中，令x=0，则y=－4。∴B（0，－4）。‎ ‎ 令y=0，则x=－3。∴A（－3，0）。‎ ‎ ∴AB==5。‎ ‎ ∴△PAB面积的最小值为 。‎ ‎【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）按例求解即可。‎ ‎ （2）用二次函数的最值，求出点P到直线AB的距离最小值，即可求出答案。‎ ‎15. （2012湖南张家界8分）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是=ad﹣bc．例如：=1×4﹣2×3=﹣2，=（﹣2）×5﹣4×3=﹣22．‎ ‎（1）按照这个规定，请你计算的值；‎ ‎（2）按照这个规定，请你计算：当x2﹣4x+4=0时，的值．‎ ‎【答案】解：（1）=5×8﹣7×6=﹣2。‎ ‎（2）由x2﹣4x+4=0得（x﹣2）2=4，∴x=2。‎ ‎∴=3×1﹣4×1=﹣1。‎ ‎【考点】新定义，实数的运算，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）根据符号的意义得到5×8﹣7×6，再进行实数的运算即可。‎ ‎ （2）解方程x2﹣4x+4=0得x=2，代入 ，然后根据符号的意义得到3×1﹣4×1，再进行实数的运算。‎ ‎16. （2012贵州铜仁10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角的余切定义，解下列问题：‎ ‎（1）ctan30°= ；‎ ‎（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，∴BC=AB，‎ ‎∴。‎ ‎∴ctan30°。‎ ‎（2）∵tanA=，∴设BC=3a，AC=4 a，则AB=5 a。‎ ‎∴ctanA=。‎ ‎【考点】新定义，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出BC和AC与AB的关系，根据余切求解即可。‎ ‎（2）根据tanA=，求出BC和AC，根据余切求解即可。‎ ‎17. （2012甘肃兰州10分）如图，定义：若双曲线 (k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线 (k＞0)的对径．‎ ‎(1)求双曲线的对径．‎ ‎(2)若双曲线 (k＞0)的对径是，求k的值．‎ ‎(3)仿照上述定义，定义双曲线 (k＜0)的对径．‎ ‎【答案】解：如图，过A点作AC⊥x轴于C， ‎ ‎（1）解方程组，得，‎ ‎∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)。‎ ‎∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝。∴AB＝2OA＝2，‎ ‎∴双曲线的对径是2。‎ ‎（2）∵双曲线的对径为，即AB＝，OA＝5。‎ ‎∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5。∴点A坐标为(5，5)。‎ 把A(5，5)代入双曲线 (k＞0)得k＝5×5＝25，即k的值为25。‎ ‎（3）若双曲线 (k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线 (k＜0)的对径。‎ ‎【考点】新定义，反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。‎ ‎【分析】过A点作AC⊥x轴于C，‎ ‎（1）解方程组，可得到A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)，即OC＝AC＝1，由勾股定理可求AB，于是得到双曲线的对径。‎ ‎ （2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为，即AB＝，OA＝‎ ‎5，根据OA＝OC＝AC，则OC＝AC＝5，得到点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线 (k＞0)即可得到k的值；‎ ‎（3）双曲线 (k＜0)的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线（k＜0)的对径。‎