成都中考数学探索真题总结

成都中考数学探索真题总结

探索性试题综合 ‎1.（2015年成都27）已知分别为四边形和的对角线，点在内，。（1）如图①，当四边形和均为正方形时，连接。（1)求证：∽；2）若，求的长。（2）如图②，当四边形和均为矩形，且时，若，求的值；（3）如图③，当四边形和均为菱形，且时，‎ 设，试探究三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程）‎ ‎2.（16年成都27）如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．（1）求证：BD=AC；（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．‎ ‎①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长；‎ ‎②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．‎ ‎3．（15年张家界）阅读下列材料，并解决相关的问题．‎ 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为,依次类推，排在第位的数称为第项，记为.‎ 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）.如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中，公比为.‎ 则：（1）等比数列3，6，12，…的公比为 ，第4项是 ．‎ ‎（2）如果一个数列，，，，…是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：‎ ‎，，，…… .‎ 所以:， ，‎ ‎，‎ 由此可得: （用和的代数式表示）.‎ ‎4．（2015•湘潭）阅读材料：用配方法求最值．‎ 已知x，y为非负实数，‎ ‎∵x+y﹣2≥0‎ ‎∴x+y≥2，当且仅当“x=y”时，等号成立．‎ 示例：当x＞0时，求y=x++4的最小值．‎ 解：+4=6，当x=，即x=1时，y的最小值为6．‎ ‎（1）尝试：当x＞0时，求y=的最小值．‎ ‎（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？‎ ‎5.（2015•咸宁）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．‎ 理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；‎ ‎（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；‎ ‎（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．‎ ‎6．（2015•随州）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．‎ ‎【发现证明】‎ 小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．‎ ‎【类比引申】‎ 如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　 关系时，仍有EF=BE+FD．‎ ‎【探究应用】‎ 如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）‎ ‎7.（2015•岳阳）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．‎ ‎（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：　 　．‎ ‎（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．‎ ‎　‎ ‎8. (2015年丹东市)在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，‎ ‎∠MPN90°.（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°<α<45°）.‎ 如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；‎ 如图2，在旋转过程中，当∠DOM15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；‎ 如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BDm·BP时，请直接写出PE与PF的数量关系. ‎ 图1 图2 图3‎ 9. ‎ (15山东德州) ‎ ‎（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点为上一点， ．‎ 求证：AD·BC=AP·BP．‎ ‎（2）探究 如图2，在四边形ABCD中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．‎ ‎（3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题：‎ 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5， 点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，‎ 图1‎ A P B C D 图2‎ P A C B D 图3‎ P D A C B 第23题图 DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．‎ ‎10.（2015年浙江舟山）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.‎ ‎（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；‎ ‎（2）问题探究：①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；‎ ‎②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠B的平分线方向平移得到，连结. 小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段的长）？‎ ‎（3）应用拓展：‎ 如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，.试探究BC，CD，BD的数量关系.‎ ‎11.（15年浙江台州）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点。（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求的长；（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，连结AD，AE，分别交FG于点M，N。求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；‎ ‎（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；‎ ‎（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H。若H是DN的中点，试探究S△AMF，S△BEN和S四边形MNHG的数量关系，并说明理由。‎ ‎【作业】‎ ‎1.（15年湖北鄂州）问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点 ‎(1)初步尝试：如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：‎ 思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立.‎ 思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立.‎ 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)‎ ‎(2)类比探究：如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值.(3)延伸拓展：如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示 (直接写出结果，不必写解答过程).‎ ‎2. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF,BE是△ABC的中线, AF⊥BE , 垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设,,.‎ ‎ 特例探索 ‎（1）如图1，当∠=45°，时，= ， ；‎ ‎ 如图2，当∠=30°，时， = ， ；‎ ‎ 归纳证明 ‎ （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；‎ ‎ 拓展应用 ‎ （3）如图4，在□ABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，BE⊥EG, AD= ,AB=3.‎ 求AF的长. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．(2016年山东烟台)（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．‎ 如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： =；‎ ‎【结论应用】‎ ‎（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为　　　　　　；‎ ‎【联系拓展】‎ ‎（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．‎ ‎4．（16年江苏淮安）问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．‎ 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，从而得出结论：AC+BC=CD．‎ 简单应用：‎ ‎（1）在图①中，若AC=，BC=2，则CD=　　　　　　．‎ ‎（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上， =，若AB=13，BC=12，求CD的长．‎ 拓展规律：‎ ‎（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）‎ ‎（4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是　　　　　　．‎