初三数学中考复习数形结合问题

初三数学中考复习数形结合问题

第十四讲 数形结合问题 ‎【典型例题1】‎ x C O y A B D ‎1‎ ‎1‎ 如图，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.‎ ‎（1）求抛物线和直线AB的表达式；‎ ‎（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；‎ ‎（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 解：(1)设抛物线的表达式为 。‎ ‎ 把A（3,0）代入表达式，求得。‎ 所以。‎ ‎ 设直线AB的表达式为 。‎ 由求得B点的坐标为 。‎ 把，代入中，解得 。‎ 所以。‎ ‎(2)因为C点坐标为(１,4)，所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2。‎ 所以CD＝4-2＝2。‎ ‎(平方单位)。‎ ‎(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，‎ 则。‎ 由S△PAB=S△CAB，得 。‎ 化简得 。‎ 解得 。‎ 将代入中，‎ 解得P点坐标为。‎ ‎【知识点】‎ 抛物线、直线表达式的求法，在直角坐标系中三角形面积的求法，点的坐标的求法。‎ ‎【基本习题限时训练】‎ ‎1. 已知点A的坐标为（0，3），点B与点A关于原点对称，点P的坐标为（4，3），那么△PAB的面积等于（ ）‎ ‎（A）6；（B）9；（C）12；（D）24。‎ 答案：C。‎ ‎2. 已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），那么这条抛物线的表达式为（ ）‎ ‎（A）；（B）；‎ ‎（C）；（D）。‎ 答案：A。‎ ‎3. 已知直线经过点A（3，3），并与x轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且∠ABC=∠ACB，那么点C的横坐标为（ ）‎ ‎（A）3；（B）4；（C）5；（D）6。‎ 答案：B。‎ ‎【典型例题2】‎ 如图，在平面直角坐标系中，点C（－3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足．‎ ‎（1）求点A、点B的坐标；‎ ‎（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连结AP，设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）∵，∴，.‎ ‎∴，． ‎ ‎∵点，点分别在轴，轴的正半轴上，∴A（1，0），B（0，）．‎ ‎（2）由（1）得AC=4，，．‎ ‎　　 ∴．‎ ‎∴△ABC为直角三角形，． ‎ ‎∴S=（0≤t＜）．‎ ‎ （3）存在，满足条件的的有两个．‎ ‎， ．‎ ‎【知识点】‎ 非负数的概念，函数解析式的求法，相似三角形的判定。‎ ‎【基本习题限时训练】‎ ‎1.已知，那么的值等于（ ）‎ ‎（A）4；（B）-4；（C）；（D）。‎ 答案：D。‎ ‎2. 在直角坐标系中，直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段AB上，且△AOC∽△ABO，那么点C到原点的距离等于（ ）‎ ‎（A）1；（B）；（C）；（D）。‎ 答案：D。‎ ‎3. 在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，点M和点N同时从点B出发，分别沿边BC和BA运动，点M的运动速度为每秒4厘米，点N的运动速度为每秒3厘米，设运动的时间为t，那么当△MNC成为等腰三角形时，t的值等于（ ）‎ ‎（A）；（B）；（C）；（D）。‎ 答案：A。‎ ‎【典型例题3】‎ 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，如果、的长是关于的一元二次方程的两个根，且 ‎ （1）求的值．‎ x y A D B O C ‎ （2）如果为轴上的点，且求经过、两点的直线的表达式，并判断与是否相似？‎ 解：（1）解得。‎ ‎ ，。‎ 在中，由勾股定理，得。‎ ‎。‎ ‎（2）∵点在轴上，，。‎ ‎。‎ ‎。‎ 由已知可知D（6，4）。‎ 设当时有 解得 ‎。‎ 同理时，。‎ 在中，。‎ 在中，∠OAD=90°，OA=4，AD=6。‎ ‎∵，。‎ ‎【知识点】‎ 锐角的三角比，解一元二次方程，直线表达式的求法，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的定义和判定。‎ ‎【基本习题限时训练】‎ ‎1.方程的解是（ ）‎ ‎（A）2或-3；（B）-2或3；（C）1或-6；（D）-1或6。‎ 答案：D。‎ ‎2. 在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=5，那么∠A的正切值等于（ ）‎ ‎（A）；（B）；（C）；（D）。‎ 答案：B。‎ ‎3. 如果菱形的一条对角线与边长都等于6厘米，那么这个菱形的面积等于（ ）‎ ‎（A）；（B）；（C）；（D）。‎ 答案：C。‎ ‎【典型例题4】‎ 如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．‎ B C D P x O y A ‎（1）当a = 1，b=，c = 3时，求点C的坐标；‎ ‎（2）若a、b、c满足了．‎ ‎①求b∶b′的值；‎ ‎②探究四边形OABC的形状，并说明理由．‎ 解：（1）由条件，得，∴点P的坐标为（1，2）。‎ ‎∴点D的坐标为（1，0）。‎ 抛物线F′的表达式为，∴。‎ ‎∴抛物线F′的表达式为。‎ ‎∴C的坐标为（3，0）。‎ ‎（2）①由题意，得点P的横坐标为。‎ ‎∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）． ‎ 根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的表达式为．‎ 又∵抛物线F′经过点D（），∴． ‎ ‎∴．‎ 又∵，∴．‎ ‎∴b:b′=． ‎ ‎②由①得，抛物线F′为．‎ 令y=0，则． ‎ ‎∴．‎ ‎∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．‎ ‎∵，∴ ，‎ ‎∴点P的坐标为（）．‎ 设直线OP的解析式为．‎ ‎∴，∴，∴． ‎ ‎∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．‎ 把代入，得．‎ ‎∴点B的坐标为． ‎ ‎∴BC∥OA，BC =OA。‎ ‎∴四边形OABC是平行四边形．‎ 又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．‎ ‎【知识点】‎ 平移的概念，抛物线的顶点坐标，抛物线的与x轴和y轴的交点坐标，平行四边形和矩形的判定。‎ ‎【基本习题限时训练】‎ ‎1.如果把抛物线进行平移，得到图像的表达式为，那么下列移动方法正确的是（ ）‎ ‎（A）向右平移1个单位，向上平移3个单位；‎ ‎（B）向右平移3个单位，向上平移1个单位；‎ ‎（C）向左平移1个单位，向上平移3个单位；‎ ‎（D）向左平移3个单位，向上平移1个单位。‎ 答案：A。‎ ‎2. 如果二次函数的图像与x轴交于点A和点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，顶点为D，那么∠CBD的度数为（ ）‎ ‎（A）30度；（B）45度；（C）60度；（D）90度。‎ 答案：D。‎ ‎3. 已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，4），点D的坐标为（6，0），那么四边形OABC的形状是（ ）‎ ‎（A）矩形；（B）菱形；（C）平行四边形；（D）梯形。‎ 答案：C。‎ ‎【典型例题5】‎ 已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.‎ 第（2）题 x y B C O D A M N N′‎ ‎（1）填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则 ‎； ‎ ‎（2）如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；‎ ‎（3）在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.‎ 解：（1）. ‎ ‎（2）由题意得点与点′关于轴对称，，‎ 将′的坐标代入得，‎ ‎（不合题意，舍去），. ‎ ‎，点到轴的距离为3.‎ ‎， ，直线的解析式为，‎ 它与轴的交点为点到轴的距离为.‎ ‎. ‎ ‎（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，‎ 把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，‎ 得 。‎ ‎（不舍题意，舍去），。‎ ‎. ‎ 当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，‎ ‎．‎ 与关于原点对称，，‎ 将点坐标代入抛物线解析式得 ，‎ ‎（不合题意，舍去），，． ‎ 存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎【知识点】‎ 抛物线的顶点坐标，图形的运动问题，四边形的面积求法，平行四边形的判定。‎ ‎【基本习题限时训练】‎ ‎1.如果把直线y=2x+6沿y轴翻折，那么所得图形与x轴的交点坐标为（ ）‎ ‎（A）（3，0）；（B）（-3，0）；（C）3；（D）-3。‎ 答案：A。‎ ‎2. 已知直线y=x-4与直线y=-2x+6，那么这两条直线与两条坐标轴所围成的四边形的面积等于（ ）‎ ‎（A）；（B）；（C）；（D）。‎ 答案：B。‎ ‎3. 已知点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，3），如果以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标不可能是（ ）‎ ‎（A）（3，3）；（B）（-3，3）；（C）（2，2）；（D）（-5，-3）。‎ 答案：C。‎