中考数学圆试题解析

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中考数学圆试题解析

‎2019中考数学圆试题解析 ‎  以下是查字典数学网为您推荐的2019中考数学圆试题解析,希望本篇文章对您学习有所帮助。‎ ‎2019中考数学圆试题解析 一、选择题 ‎1. (2019江苏常州2分)已知两圆半径分别为7,3,圆心距为4,则这两圆的位置关系为【 】‎ A.外离 B.内切 C.相交 D.内含 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】两圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此,‎ ‎∵两半径之差7-3等于两圆圆心距4,两圆内切。故选B。‎ ‎2. (2019江苏淮安3分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若A=400,则B的度数为【 】‎ A、800 B、600 C、500 D、400‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理,三角形内角和定理。‎ ‎【分析】根据直径所对圆周角不直角的性质,由AB是⊙O的直径,点C在⊙O上得根据三角形内角和定理,由A=400,得B=1800-900-400=500。故选C。‎ ‎3. (2019江苏苏州3分)如图,已知BD是⊙O直径,点A、C在⊙O上, ,AOB=60,则BDC 的度数是【 】‎ A.20 B.25 C.30 D. 40‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系。‎ ‎【分析】利用在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得BDC的度数:‎ ‎∵ ,AOB=60,BDC= AOB=30。故选C。‎ ‎4. (2019江苏宿迁3分)若⊙O1,⊙O2的半径是r1=2, r2=4,圆心距d=5,则这两个圆的位置关系是【 】‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】两圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此,‎ ‎∵r1+r2=6,r2-r1=2,d=5,r2-r1‎ ‎5. (2019江苏泰州3分)如图,△ABC内接于⊙O,ODBC于D,A=50,则OCD的度数是【 】‎ A.40 B.45 C.50 D.60‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆周角定理,垂径定理,三角形内角和定理。‎ ‎【分析】连接OB,‎ ‎∵A和BOC是弧 所对的圆周角和圆心角,且A=50,‎ BOC=2A=100。‎ 又∵ODBC,根据垂径定理,DOC= BOC=50。‎ OCD=1800-900-500=400。故选A。‎ ‎6. (2019江苏无锡3分)已知圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则圆锥的侧面积是【 】‎ A. 20cm2 B. 20cm2 C. 15cm2 D. 15cm2‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】圆锥的计算。‎ ‎【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长母线长2,把相应数值代入即可求解:‎ 圆锥的侧面积=2352=15。故选D。‎ ‎7. (2019江苏无锡3分)已知⊙O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与⊙O的位置关系是【 】‎ A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据直线与圆的位置关系来判定:①相交:d 当OP垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d=2=r,⊙O与l相切;‎ 当OP不垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d=2‎ 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交。故选D。‎ ‎8. (2019江苏无锡3分)如图,以M(﹣5,0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A.B两点,P是⊙M上异于A.B的一动点,直线PA.PB分别交y轴于C.D,以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F,则EF的长【 】‎ A. 等于4 B. 等于4 C. 等于6 D. 随P点 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理,三角形内角和定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】 连接NE,设圆N半径为r,ON=x,则OD=r﹣x,OC=r+x,‎ ‎∵以M(﹣5,0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A.B两点,‎ OA=4+5=9,0B=5﹣4=1。‎ ‎∵AB是⊙M的直径,APB=90。‎ ‎∵BOD=90,PAB+PBA=90,ODB+OBD=90。‎ ‎∵PBA=OBD,PAB=ODB。‎ ‎∵APB=BOD=90,△OBD∽△OCA。 ,即 ,即r2﹣x2=9。‎ 由垂径定理得:OE=OF,‎ 由勾股定理得:OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9。OE=OF=3,EF=2OE=6。‎ 故选C。‎ ‎9. (2019江苏徐州3分)如图,A、B、C是⊙O上的点,若AOB=700,则ACB的度数为【 】‎ A.700 B.500 C.400 D.350‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】根据同(等)弧所对圆周有是圆心角一半的性质直接得出结果:‎ ACB= AOB= 700=350。故选D。‎ ‎10. (2019江苏扬州3分)已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm,且它们的圆心距为8cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系是【 】‎ A.外切 B.相交 C.内切 D.内含 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】两圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此,‎ ‎∵3+5=8,即两圆圆心距离等于两圆半径之和,两圆外切。故选A。‎ 二、填空题 ‎1. (2019江苏淮安3分)如图,⊙M与⊙N外切,MN=10cm,若⊙M的半径为6cm,⊙N的半径为 ‎▲ cm。‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】两圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此,‎ 由⊙M与⊙N外切,MN=10cm,⊙M的半径为6cm,得⊙N的半径=10cm-6cm=4cm。‎ ‎2. (2019江苏连云港3分)如图,圆周角BAC=55,分别过B,C两点作⊙O的切线,两切线相交与点P,则BPC= ▲ .‎ ‎【答案】70。‎ ‎【考点】切线的性质,圆周角定理。‎ ‎【分析】连接OB,OC,‎ ‎∵PB,PC是⊙O的切线,OBPB,OCPC。‎ PBO=PCO=90,‎ ‎∵BOC=2BAC=255=110,‎ BPC=360PBO-BOC-PCO=360-90-110-90=70。‎ ‎3. (2019江苏南通3分)如图,在⊙O中,AOB=46,则ACB= ▲ .‎ ‎【答案】23。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质,‎ ‎∵AOB和ACB是同⊙O中同弧 所对的圆周角和圆心角,且AOB=46,‎ ACB= AOB= 46=23。‎ ‎4. (2019江苏徐州2分)如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,且CDAB,AC=8,BC=6,则sinABD=‎ ‎【答案】 。‎ ‎【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,勾股定理,锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】∵AB是⊙O的直径,ACB=900。‎ 又∵CDAB,ACD=ABC。‎ 又∵ABD和ACD是同弧所对的圆周角,ABD=ACD。ABD=ABC。‎ 又∵AC=8,BC=6,由勾股定理得AB=10。sinABD=sinABC= 。‎ ‎5. (2019江苏盐城3分)已知 与 的半径分别是方程 的两根,且 ,‎ 若这两个圆相切,则t= ▲ .‎ ‎【答案】2或0。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系,因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径,再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解:∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程 的两根,解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3。‎ ‎①当两圆外切时,圆心距O1O2=t+2=1+3=4,解得t=2;‎ ‎②当两圆内切时,圆心距O1O2=t+2=3-1=2,解得t=0。‎ t为2或0。‎ ‎6. (2019江苏扬州3分)如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B两点,点C在⊙O上,如果ACB=70,那么P的度数是 ▲ .‎ ‎【答案】40。‎ ‎【考点】切线的性质,圆周角定理,多边形内角与外角。‎ ‎【分析】如图,连接OA,OB,‎ ‎∵PA、PB是⊙O的切线,OAAP,OBBP。‎ OAP=OBP=90,‎ 又∵AOB和ACB都对弧 所对的圆心角和圆周角,且ACB=70,‎ AOB=2ACB=140。‎ P=360-(90+90+140)=40。‎ 三、解答题 ‎1.‎ ‎ (2019江苏常州10分)在平面直角坐标系xOy中,已知动点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m0)。以点P为圆心, 为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。‎ ‎(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);‎ ‎(2)连接DB、BE,设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D),连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?‎ ‎(3)连接BC,求DBC-DBE的度数。‎ ‎【答案】解:(1)B(3m,0),E(m,4m)。‎ ‎(2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下:‎ 由(1)知B(3m,0),E(m,4m),‎ ‎∵根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称,‎ D(0,3m)。‎ ‎。△BDE是直角三角形。‎ BE是△BDE的外接圆的直径。‎ 设△BDE的外接圆的圆心为点G,则由B(3m,0),E(m,4m)得G(2m,2m)。‎ 过点G作GIDG于点I,则I(0,2m)。‎ 根据垂径定理,得DI=IQ ,Q(0,m)。‎ BQ=EQ。‎ ‎(3)延长EP交x轴于点H,则EPAB,BH=2m。‎ 根据垂径定理,得AH=BH=2m,AO= m。‎ 根据圆的对称性,OC=OA= m。‎ 又∵OB=3m, , ,‎ 又∵COB=EDB=900,△COB∽△EDB。OBC=DBE。‎ DBC-DBE=DBC-OBC=DBO。‎ 又∵OB=OC,DBO=450。DBC-DBE=450。‎ ‎【考点】直线上点的坐标与方程的关系,勾股定理和逆定理,圆的对称性,平行四边形的性质,中点坐标,圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)过点P 作PHx轴于点H,PFy轴于点F,连接OE,BP。‎ ‎∵点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m0),‎ P(m,m),H(m,0),F(0,m),OH=OF=HP= m。‎ ‎∵PB= , 。‎ OB=3 m。B(3m,0)。‎ ‎∵根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称,D(0,3m)。‎ ‎∵四边形DOPE是平行四边形,PE=OD=3m,HE=4m。E(m,4 m)。‎ ‎(2)由勾股定理和逆定理,易知△BDE是直角三角形,从而根据圆周角定理和垂径定理可得点Q的坐标,从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。‎ ‎(3)求出有关线段的长,可得 ,从而证得△COB∽△EDB,得到OBC=DBE。因此DBC-DBE=DBC-OBC=DBO=450。‎ ‎2. (2019江苏南京8分)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成,如图,在 和扇形 中, 与 、 分别相切于A、B, ,E、F事直线 与 、扇形 的两个交点,EF=24cm,设 的半径为x cm,‎ ‎① 用含x的代数式表示扇形 的半径;‎ ‎② 若 和扇形 两个区域的制作成本分别为0.45元 和0.06元 ,当 的半径为多少时,该玩具成本最小?‎ ‎【答案】解:(1)连接O1A。‎ ‎∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B,‎ O1AO2C,O2E平分CO2D。‎ ‎∵ ,AO2O1= CO2D=30。‎ 在Rt△O1AO2中, ,O1O2=A O1 sinAO2O1 =x sin30 =2x。‎ ‎∵EF=24cm,FO2=EF-EO1-O1O2=24-3x,即扇形O2CD的半径为(24-3x)cm。‎ ‎3. (2019江苏南京10分)如图,A、B为⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合),我们称APB为⊙O上关于A、B的滑动角。‎ ‎(1)已知APB是 上关于点A、B的滑动角。‎ ‎① 若AB为⊙O的直径,则APB=‎ ‎② 若⊙O半径为1,AB= ,求APB的度数 ‎(2)已知 为 外一点,以 为圆心作一个圆与 相交于A、B两点,APB为 上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交 于点M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索APB与MAN、ANB之间的数量关系。‎ ‎【答案】解:(1)①900。‎ ‎②如图,连接AB、OA、OB.‎ 在△AOB中,∵OA=OB=1.AB= ,OA2+OB2=AB2。‎ AOB=90。‎ 当点P在优弧 AB 上时(如图1),APB= AOB=45‎ 当点P在劣弧 AB 上时(如图2),‎ APB= (360AOB)=135。‎ ‎(2)根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况.‎ 第一种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点B在点P与点N之间,如图3,‎ ‎∵MAN=APB+ANB,‎ APB=MAN-ANB。‎ 第二种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点N在点P与点B之间,如图4,‎ ‎∵MAN=APB+ANP=APB+(180ANB),‎ APB=MAN+ANB-180。‎ 第三种情况:点P在⊙O2外,且点M在点P与点A之间,点B在点P与点N之间,如图5,‎ ‎∵APB+ANB+MAN=180,‎ APB=180MAN-ANB。‎ 第四种情况:点P在⊙O2内,如图6,‎ APB=MAN+ANB。‎ ‎【考点】圆周角定理,勾股定理逆定理,三角形内角和定理和外角性质。‎ ‎【分析】(1)①根据直径所对的圆周角等于90即可得APB=900。‎ ‎②根据勾股定理的逆定理可得AOB=90,再分点P在优弧 上;点P在劣弧 上两种情况讨论即可。‎ ‎(2)根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到APB与MAN、ANB之间的数量关系。‎ ‎4. (2019江苏南通8分)如图,⊙O的半径为17cm,弦AB∥CD,AB=30cm,CD=16cm,圆心O位于AB、CD的上方,求AB和CD间的距离.‎ ‎【答案】解:分别作弦AB、CD的弦心距,设垂足为E、F,连接OA,OC。‎ ‎∵AB=30,CD=16,AE= AB=15,CF= CD=8。‎ 又∵⊙O的半径为17,即OA=OC=17。‎ 在Rt△AOE中, 。‎ 在Rt△OCF中, 。‎ EF=OF-OE=15-8=7。‎ 答:AB和CD的距离为7cm。‎ ‎【考点】垂径定理,;勾股定理。‎ ‎【分析】分别作弦AB、CD的弦心距,设垂足为E、F;由于AB∥CD,则E、O、F三点共线,EF即为AB、CD间的距离;由垂径定理,易求得AE、CF的长,可连接OA、ODC在构建的直角三角形中,根据勾股定理即可求出OE、OF的长,也就求出了EF的长,即弦AB、CD间的距离。‎ ‎5. (2019江苏苏州8分)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上 的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为 .‎ ‎⑴当 时,求弦PA、PB的长度;‎ ‎⑵当x为何值时, 的值最大?最大值是多少?‎ ‎【答案】解:(1)∵⊙O与直线l相切于点A,AB为⊙O的直径,ABl。‎ 又∵PCl,AB∥PC. CPA=PAB。‎ ‎∵AB为⊙O的直径,APB=90。‎ PCA=APB.△PCA∽△APB。‎ ‎,即PA2=PCPD。‎ ‎∵PC= ,AB=4, 。‎ 在Rt△APB中,由勾股定理得: 。‎ ‎(2)过O作OEPD,垂足为E。‎ ‎∵PD是⊙O的弦,OFPD,PF=FD。‎ 在矩形OECA中,CE=OA=2,PE=ED=x-2。‎ CD=PC-PD= x-2(x-2)=4-x 。‎ 当 时, 有最大值,最大值是2。‎ ‎【考点】切线的性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,垂径定理,矩形的判定和性质,二次函数的最值。‎ ‎【分析】(1)由直线l与圆相切于点A,且AB为圆的直径,根据切线的性质得到AB垂直于直线l,又PC垂直于直线l,根据垂直于同一条直线的两直线平行,得到AB与PC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似,由相似得比例,将PC及直径AB的长代入求出PA的长,在Rt△APB中,由AB及PA的长,利用勾股定理即可求出PB的长。‎ ‎(2)过O作OE垂直于PD,与PD交于点E,由垂径定理得到E为PD的中点,再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形,根据矩形的对边相等,可得出EC=OA=2,用PC-EC的长表示出PE,根据PD=2PE表示出PD,再由PC-PD表示出CD,代入所求的式子中,整理后得到关于x的二次函数,配方后根据自变量x的范围,利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。‎ ‎6. (2019江苏宿迁10分)如图,在四边形ABCD中,DAE=ABC= 90,CD与以AB为直径的半圆相切于点E,EFAB于点F,EF交BD于点G。设AD=a,BC =b。‎ ‎(1) 求CD的长度(用a,b表示);‎ ‎(2) 求EG的长度(用a,b表示);‎ ‎(3) 试判断EG与FG是否相等,并说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)∵DAE=ABC= 90,DAAB,CBAB。‎ 又∵AB为⊙O的直径,DA、CB为⊙O的切线。‎ 又∵CD是⊙O的切线,AD=a,BC =b,‎ DE= AD=a,CE= BC =b(切线长定理)。CD= DE+CE= a+b。‎ ‎(2)∵EFAB,CBAB,EF∥CB。△DEG∽△DCB。‎ ‎,即 。 。‎ ‎(3)相等。理由如下:‎ ‎∵EFAB,CBAB,DAAB,DA∥EF∥CB。‎ ‎,且△BGF∽△BDA。 ,即 。 。‎ EG=FG。‎ ‎【考点】切线的判定和性质,切线长定理,平行的判定和性质,平行线分线段成比例定理,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)由已知可得DA、CB和CD都要为⊙O的切线,根据切线长定理即可得出结果。‎ ‎(2)由EFAB,CBAB 可得EF∥CB,从而根据相似三角形的判定和性质可求得EG的长度。‎ ‎(3)由DA∥EF∥CB,根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质可求得FG的长度,与EG的长度比较即可得出结论。‎ ‎7. (2019江苏泰州12分)如图,已知直线l与⊙O相离,OAl于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点 P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.‎ ‎(1)试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由;‎ ‎(2)若PC= ,求⊙O的半径和线段PB的长;‎ ‎(3)若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,求⊙O的半径r的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)AB=AC。理由如下:‎ 连接OB。‎ ‎∵AB切⊙O于B,OAAC,OBA=OAC=90。‎ OBP+ABP=90,ACP+CPB=90。‎ ‎∵OP=OB,OBP=OPB。‎ ‎∵OPB=APC,ACP=ABC。‎ AB=AC。‎ ‎(2)延长AP交⊙O于D,连接BD,‎ 设圆半径为r,则由OA=5得,OP=OB=r,PA=5-r。‎ 又∵PC= ,‎ 由(1)AB=AC得 ,解得:r=3。‎ AB=AC=4。‎ ‎∵PD是直径,PBD=90PAC。‎ ‎∵DPB=CPA,△DPB∽△CPA。 ,即 ,解得 。‎ ‎(3)作线段AC的垂直平分线MN,作OEMN,‎ 则OE= AC= AB= 。‎ 又∵圆O要与直线MN交点,OE= r,‎ r 。‎ 又∵圆O与直线l相离,r5。‎ ‎⊙O的半径r的取值范围为 5.‎ ‎【考点】切线的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,直线与圆的位置关系,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)连接OB,根据切线的性质和垂直得出OBA=OAC=90,推出OBP+ABP=90,‎ ACP+CPB=90,求出ACP=ABC,根据等腰三角形的判定推出即可。‎ ‎(2)延长AP交⊙O于D,连接BD,设圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5-r,根据AB=AC推出 ‎,求出r,证△DPB∽△CPA,得出 ,代入求出PB即可。‎ ‎(3)根据已知得出Q在AC的垂直平分线上,作出线段AC的垂直平分线MN,作OEMN,求出OE ‎8. (2019江苏无锡10分)如图,菱形ABCD的边长为2cm,DAB=60.点P从A点出发,以 ‎ cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.‎ ‎(1)当P异于A.C时,请说明PQ∥BC;‎ ‎(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?‎ ‎【答案】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,且菱形ABCD的边长为2,‎ AB=BC=2,BAC= DAB。‎ 又∵DAB=60,BAC=BCA=30。‎ 如图1,连接BD交AC于O。‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ACBD,OA= AC。‎ OB= AB=1。OA= ,AC=2OA=2 。‎ 运动ts后,AP= t,AO=t, 。‎ 又∵PAQ=CAB,△PAQ∽△CAB.APQ=ACB.‎ PQ∥BC.‎ ‎(2)如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,则PMBC。‎ 在Rt△CPM中,∵PCM=30,PM= 。‎ 由PM=PQ=AQ=t,即 =t,解得t= ,‎ 此时⊙P与边BC有一个公共点。‎ 如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,‎ ‎∵PQB=PAQ+APQ=60‎ ‎△PQB为等边三角形。QB=PQ=AQ=t。t=1。‎ 当 时,⊙P与边BC有2个公共点。‎ 如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,即 =t t= 。‎ 当1 时,⊙P与边BC有一个公共点。‎ 当点P运动到点C,即t=2时,Q、B重合,⊙P过点B,‎ 此时,⊙P与边BC有一个公共点。‎ 综上所述,当t= 或1 或t=2时,⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点;当 时,⊙P与边BC有2个公共点。‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系,菱形的性质,含30角直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,平行的判定,切线的性质,等边三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)连接BD交AC于O,构建直角三角形AOB.利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB;然后根据相似三角形的对应角相等证得APQ=最后根据平行线的判定定理同位角相等,两直线平行可以证得结论。‎ ‎(2)分⊙P与BC切于点M,⊙P过点B,⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。‎ ‎9. (2019江苏徐州10分)如图,直线 ‎ 与x轴、y轴分别相交于点A、B,与正比例函数 的图象相交于点C、D(点C在点D的左侧),⊙O是以CD长为半径的圆。CE∥x轴,DE∥y轴,CE、DE相交于点E。‎ ‎(1)△CDE是 ▲ 三角形;点C的坐标为 ▲ ,点D的坐标为 ▲ (用含有b的代数式表示);‎ ‎(2)b为何值时,点E在⊙O上?‎ ‎(3)随着b取值逐渐增大,直线 与⊙O有哪些位置关系?求出相应b的取值范围。‎ ‎【答案】解:(1)等腰直角; ; 。‎ ‎(2)当点E在⊙O上时,如图,连接OE。则OE=CD。‎ ‎∵直线 与x轴、y轴相交于点A(-b,0),B(0,b),CE∥x轴,DE∥y轴,‎ ‎△DCE、△BDO是等腰直角三角形。‎ ‎∵整个图形是轴对称图形,‎ OE平分AOB,AOE=BOE=450。‎ ‎∵CE∥x轴,DE∥y轴,‎ 四边形CAOE、OEDB是等腰梯形。‎ OE=AC=BD。‎ ‎∵OE=CD,OE=AC=BD=CD。‎ 过点C作CFx轴,垂足为点F。‎ 则△AFC∽△AOB。 。 。‎ ‎,解得 。‎ 当 时,点E在⊙O上。‎ ‎(3)当⊙O与直线 相切于点G时,‎ 如图 ,连接OG。‎ ‎∵整个图形是轴对称图形,‎ 点O、E、G在对称轴上。‎ GC=GD= CD= OG= AG。AC=CG=GD=DB。AC= AB。‎ 过点C作CHx轴,垂足为点H。 则△AHC∽△AOB。‎ ‎,解得 。‎ 当 时,直线 与⊙O相切;‎ 当 时,直线 与⊙O相离;‎ 当 时,直线 与⊙O相交。‎ ‎【考点】反比例函数和一次函数交点问题,等腰直角三角形的判定和性质,曲线上点的坐标与方程的关系,轴对称图形的性质,等腰梯形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,直线和圆的位置关系。‎ ‎【分析】(1)∵直线 与x轴、y轴相交于点A(-b,0),B(0,b),CE∥x轴,DE∥y轴,‎ ‎△DCE是等腰直角三角形。‎ 解 得, 或 。‎ ‎∵点C在点D的左侧,点C的坐标为 ,点D的坐标为 。‎ ‎(2)连接OE,过点C作CHx轴于点H。由整个图形是轴对称图形,可求得OE=AC=BD=CD。由△AFC∽△AOB可求得 ‎ ,代入CF、BO关于b的关系式求解即得所求。‎ ‎(3)讨论直线 与⊙O相切时,b的取值即可得到直线 与⊙O的位置关系。‎ 当⊙O与直线 相切于点G时,连接OG,过点C作CHx轴于点H。由整个图形是轴对称图形,可求得AC=CG=GD=DB,即AC= AB。由△AHC∽△AOB可求得 ,代入CH、BO关于b的关系式求解即得⊙O与直线 相切时相应b的值。从而得到直线 与⊙O相离和相交时相应b的取值范围。‎ ‎10. (2019江苏盐城10分)如图所示, , , ,点 是以 为直径的半圆 上一动点, 交直线 于点 ,设 .‎ ‎(1)当 时,求 的长;‎ ‎(2)当 时,求线段 的长;‎ ‎(3)若要使点 在线段 的延长线上,则 的取值范围是_________.(直接写出答案)‎ ‎【答案】解: (1)连接 ,在⊙ 中,‎ ‎(2)∵ 为⊙ 的直径, 。‎ ‎(3) 。‎ ‎【考点】圆周角定理,弧长的计算,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)先连接 ,由圆周角定理,可求得 ,又由⊙ 的直径为 ,即可求得其半径,然后由弧长公式,即可求得答案。‎ ‎(2)先证得 ∽ ,然后由相似三角形的对应边成比例,可得 ,从而求得答案。‎ ‎(3)先求得 与 重合时 的度数,则可求得点 在线段 的延长线上时, 的取值范围:‎ 如图,当 与 重合时,‎ ‎∵ 是直径, 。 , , 共线。‎ 在 中 。‎ ‎。 =30。‎ ‎=90- =60。‎ 当 在 的延长线上时,如图,可得 =60。‎ ‎∵0 ,‎ 的取值范围是:60 。‎ ‎11. (2019江苏扬州10分)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AD垂直于过点C的切线,垂足为D.‎ ‎(1)求证:AC平分BAD;‎ ‎(2)若AC= ,CD=2,求⊙O的直径.‎ ‎【答案】解:(1)如图:连接OC。‎ ‎∵DC切⊙O于C,ADCD。‎ ADC=OCF=90。AD∥OC。‎ DAC=OCA。‎ ‎∵OA=OC,OAC=OCA。‎ DAC=OAC,即AC平分BAD。‎ ‎(2)连接BC。‎ 在Rt△ADC中,AC= ,CD=2,AD=4。‎ ‎∵AB是直径,ACB=90ADC。‎ ‎∵OAC=OCA,△ADC∽△ACB。‎ ‎,即 。‎ AB=5。‎ ‎【考点】切线的性质,平行的判定和性质,等腰三角形的性质,角平分线的判定,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)连接OC,根据切线的性质判断出AD∥OC,得到DAC=OCA,再根据OA=OC得到OAC=OCA,可得AC平分BAD。‎ ‎(2)连接BC,得到△ADC∽△ACB,根据相似三角形的性质即可求出AB的长。‎ ‎12. (2019江苏镇江6分)如图,AB是⊙O的直径,DFAB于点D,交弦AC于点E,FC=FE。‎ ‎(1)求证:FC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为5, ,求弦AC的长。‎ ‎【答案】解:(1)连接OC,‎ ‎∵FC=FE,FCE=FEC(等边对等角)。‎ ‎∵OA=OC,OAC=OCA(等边对等角)。‎ 又∵FEC=AED(对项角相等),‎ FCE=AED(等量代换)。‎ 又∵DFAB,OAC+AED=900(直角三角形两锐角互余)。‎ OCA+FCE =900(等量代换),即OCF =900。‎ OCCF(垂直定义)。‎ 又∵OC是⊙O的半径,FC是⊙O的切线(切线的定义)。‎ ‎(2)连接BC。‎ ‎∵AB是⊙O的直径,ACB=900(直径所对圆周角是直角)。‎ ‎∵OB=OC。OBC=OCB(等边对等角)。‎ ‎∵OCB=ACB-ACO=900-ACO=OCF-ACO ‎=FCE,‎ OBC=FCE。‎ 又∵ , 。‎ 又∵⊙O的半径为5,AB=10。‎ 在Rt△ABC中,‎ 唐宋或更早之前,针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目,其相应传授者称为“博士”,这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者,又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋,乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者;而后者则于西晋武帝时代即已设立了,主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问,其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席,也是当朝打眼的学官。至明清两代,只设国子监(国子学)一科的“助教”,其身价不谓显赫,也称得上朝廷要员。至此,无论是“博士”“讲师”,还是“教授”“助教”,其今日教师应具有的基本概念都具有了。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质,对项角的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,锐角三角函数定义,勾股定理。‎ 一般说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋(唐初学者,四门博士)《春秋谷梁传疏》曰:“师者教人以不及,故谓师为师资也”。这儿的“师资”,其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云:“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形,但仍说不上是名副其实的“教师”,因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。‎ ‎【分析】(1)要证FC是⊙O的切线,只要FC垂直于过C点的半径,所以作辅助线OC。由已知条件,根据等腰三角形的等边对等角性质,直角三角形两锐角互余的关系,经过等量代换即可得到。‎ 观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问:“雨下得怎样?”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿歌:“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的,尖尖的,硬硬的,像医生用的手术刀―样,给大树开刀治病。通过联想,幼儿能够生动形象地描述观察对象。‎ ‎(2)构造直角三角形ABC,由等量代换得到OBC=FCE,从而得到 ,应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。‎
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