中考数学第一轮复习导学案与圆有关的位置关系

中考数学第一轮复习导学案与圆有关的位置关系

- 1 - 与圆有关的位置关系 ◆ 课前热身 1.如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB＝8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 不可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知⊙O 的半径 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，当 d＝r 时，直线 l 与 ⊙O 的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 3.如图，已知 AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交 ⊙O 于 C，AB＝3cm，PB＝4cm，则 BC＝ . 4.已知⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 5cm 和 3cm，圆心距 020=7cm，则两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 5.若 1O⊙ 与 2O⊙ 相切，且 12 5OO  ， 的半径 1 2r  ，则 的半径 2r 是（ ） A． 3 B． 5 C． 7 D． 3 或 7 【参考答案】 1. A 2. B 3.12 5 4.C 5. D ◆考点聚焦 知识点 直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、 相交弦、切割线定理 大纲要求 1.理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系． 2.能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题，这也是本节的 重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点． 3.能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两 圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系． 考查重点和常考题型 1．判断基本概念、基本定理等的正误。在中考题申常以选择题或填空题的形式考查学生对 基本概念和基本定理的正确理解. - 2 - 2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现， 多见于选择题或 填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。 3．证明直线是圆的切线。证明直线是圆的切线在各省市中考题中多见，重点考查切线的判 断定理及其它圆的一些知识。证明直线是圆的切线可通过两种途径证明。 4．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重点考 查了金等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线 的性质，弦切角等有关圆的基础知识。 ◆备考兵法 1．确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，•涉及点与圆 的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上、外三种 可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决． 2.判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数； 二是根据圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系． 3．证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心 和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（ 2）当 直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，•再证圆心到直线的距离等于半径， 简称“作垂线，证半径．” ◆考点链接 1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到 圆心的距离 d 和半径 r 之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r. 2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ . 对应的圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r. 3. 圆与圆的位置关系共有五种：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；两圆 的圆心距 d 和两圆的半径 R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d R－r，②d R －r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r. 4. 圆的切线 过切点的半径；经过 的一端，并且 这条 的 直线是圆的切线. 5. 从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 相等. - 3 - 6. 三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心 叫 心，是三角形 的交点. 7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 . ◆ 典例精析 例 1（山西省太原）如图 AB 、 AC 是 O⊙ 的两条弦， A ＝30°，过点C 的切线与OB 的 延长线交于点 D ，则 D 的度数为 ． 【解析】本题考查切线的性质、同弧所对圆周角与圆心角的关系，连接 OC， ∵CD 是切线， ∴∠OCD＝90°， ∵∠A＝30°，∴∠COD＝60°，所以∠D＝30°． 【答案】30° 例 2(辽宁本溪)如图所示，AB 是 O⊙ 直径，OD⊥弦 BC 于点 F ，且交 O⊙ 于点 E ，若 AEC ODB   ． （1）判断直线 BD 和 O⊙ 的位置关系，并给出证明； （2）当 10 8AB BC， 时，求 BD 的长． 【答案】（1）直线 和 相切． 证明： ∵ ， AEC ABC   ， ∴ ABC ODB   ．∵ BC ， ∴ 90DBC ODB   °．∴ 90DBC ABC   °． - 4 - 即 90DBO°．∴直线 BD 和 O⊙ 相切． （2）连接 AC ． ∵AB 是直径， ∴ 90ACB°． 在 Rt ABC△ 中， 10 8AB BC， ， ∴ 226AC AB BC   ． ∵直径 10AB  ， ∴ 5OB  ． 由（1）， 和 相切， ∴ 90OBD°．∴ 90ACB OBD    °． 由（1）得 ABC ODB   ， ∴ ABC ODB△ ∽△ ．∴ AC BC OB BD ． ∴ 68 5 BD ，解得 20 3BD  ． 【点评】圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的 距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的 切线．在 证明时一定要根据题目已知条件合理选择． 例 3（四川凉山州）如图，在平面直角坐标系中，点 1O 的坐标为( 4 0) ， ，以点 为圆心， 8 为半径的圆与 x 轴交于 AB， 两点，过 A 作直线l 与 x 轴负方向相交成 60°的角，且交 y 轴于C 点，以点 2 (13 5)O ， 为圆心的圆与 x 轴相切于点 D ． （1）求直线 的解析式； - 5 - （2）将 2O⊙ 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左平移，当 第一次与 1O⊙ 外切时，求 平移的时间． 【答案】（1）解：由题意得 | 4| |8| 12OA     ， A 点坐标为( 12 0) ， ． 在 Rt AOC△ 中， 60OAC°， tan 12 tan60 12 3OC OA OAC    ° C 点的坐标为(0 12 3)， ． 设直线l 的解析式为 y kx b， 由l 过 AC、 两点， 得 12 3 0 12 b kb     解得 12 3 3 b k    ，直线l 的解析式为： 3 12 3yx   ． （2）如图，设 2O⊙ 平移t 秒后到 3O⊙ 处与 1O⊙ 第一次外切于点 P ， 与 x 轴相切于 1D 点，连接 1 3 3 1O O O D， ．则 1 3 1 3 8 5 13OO O P PO     ， 31O D x⊥ 轴， O y x C D B A O1 O2 60° l O y x C D B A D1 O1 O2 O3 P 60° l - 6 - 31 5OD， 在 1 3 1Rt O O D△ 中 2 2 2 2 1 1 1 3 3 1 13 5 12O D O O O D     ． 11 4 13 17O D OO OD     ， 1 1 1 1 17 12 5D D O D O D      ， 5 51t   （秒）， 2O⊙ 平移的时间为 5 秒． 【点评】本题为学科内综合题，它综合考查了圆，函数，平面直角坐标系，解直角三角形以 及解方程（组）的相关知识，综合性极强． 例 4（广西河池）如图 1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦， 4OC  ， 60OAC． （1）求∠AOC 的度数； （2）在图 1 中，P 为直径 BA 延长线上的一点，当 CP 与⊙O 相切时，求 PO 的长； （3） 如图 2，一动点 M 从 A 点出发，在⊙O 上按逆时针方向运动，当 MAO CAOSS△ △ 时， 求动点 M 所经过的弧长． 【答案】解：（1）∵ 在△ACO 中， ，OC OA ∴ △ACO 是等边三角形 ∴ ∠AOC 60° （2）∵ CP 与⊙O 相切，OC 是半径． ∴ CP⊥OC ∴ ∠P 90°-∠AOC 30° ∴ PO 2CO 8 . （3）如图 2， ① 作点C 关于直径 AB 的对称点 1M ，连结 1AM ，OM1 ． 易得 1M AO CAOSS ， 1 60AOM - 7 - ∴ 1 4π 460 π180 3AM    ∴ 当点 M 运动到 1M 时， MAO CAOSS△ △ ， 此时点 经过的弧长为 4 π3 ． ② 过点 1M 作 12MM ∥ AB 交⊙O 于点 2M ，连结 2AM ， 2OM ，易得 2M AO CAOSS△ △ ． ∴ 1 1 2 2 60AOM M OM BOM      ∴ 2 4π 82 π33AM    或 2 4π 8120 π180 3AM    ∴ 当点 运动到 2M 时， MAO CAOSS△ △ ，此时点 经过的弧长为 8 π3 ． ③ 过点C 作 3CM ∥ 交⊙O 于点 3M ，连结 3AM ， 3OM ，易得 3M AO CAOSS△ △ ∴ 3 60BOM， ∴ 23 4π 16240 π180 3AM M    或 23 8π 162 π33AM M    ∴ 当点 运动到 3M 时， MAO CAOSS△ △ ，此时点 经过的弧长为 16 π3 ． ④ 当点 运动到C 时，M 与 C 重合， MAO CAOSS△ △ ， 此时点 经过的弧长为 4π 20300 π180 3 或 16π 4π 20 π3 3 3 ． 【点评】运动过程中出现多种情况，在分类讨论时一定要注意不重不漏． ◆ 迎考精炼 一、 选择题 1．（湖北十堰）如图，△ABC 内接于⊙O，连结 OA、OB，若 ∠ABO＝25°，则∠C 的度数为（ ）． A．55° B．60° C．65° D．70° - 8 - 2．（甘肃白银）如图，⊙O 的弦 AB＝6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，则⊙O 的半 径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 3.（浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与 x 轴相切于原点 O，平行于 y 轴的直线 交⊙P 于 M,N 两点．若点 M 的坐标是(2,-1)，则点 N 的坐标是（ ） A．(2,-4) B. (2,-4.5) C.(2,-5) D.(2,-5.5) 4.（湖北襄樊）如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上， DC 切 O 于 C，若 25A ∠ ．则 D∠ 等于（ ） A． 40 B．50 C．60 D． 70 5.（浙江台州）大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距 为 10，则这两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ ． 相 交 D．内含 6.（浙江嘉兴）如图，⊙P 内含于⊙O，⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C，且 AB∥OP． 若阴影部分的面积为 9 ，则弦 AB 的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 二、 填空题 - 9 - 1.(四川成都)如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD 为⊙O 的直径，AD＝6， 那么 BD＝_________． A B C D O 2.(贵州安顺)如图，⊙O 的半径 OA＝10cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短距离 为___________cm。 3．(甘肃定西)如图，在△ABC 中， 5cmAB AC ，cosB 3 5 ．如果⊙O 的半径为 10 cm， 且经过点 B、C，那么线段 AO＝ cm． 4．（ 年湖南怀化）如图， PA 、 PB 分别切⊙ O 于点 A 、 B ，点 E 是⊙ 上一点，且 60AEB ，则 P __ ___度． 5．（广西崇左）如图，正方形 ABCD中， E 是 BC 边上一点，以 E 为圆心. EC 为半径的 - 10 - 半圆与以 A 为圆心， AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB 的值为 ． 6.（山东威海）如图，⊙O1 和⊙O2 的半径为 1 和 3，连接 O1O2，交⊙O2 于点 P，O1O2=8，若将 ⊙O1 绕点 P 按顺时针方向旋转 360°，则⊙O1 与⊙O2 共相切_______次． 7.（ 年黑龙江大兴安岭）已知相切两圆的半径分别为 cm5 和 cm4 ，这两个圆的圆心距 是 ． 三、 解答题 1.(四川内江)如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC 与 BD 相交于点 E、F 在 AC 上，AB＝ AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC. 求证：（1）CD⊥DF； （2）BC＝2CD 2.（湖北仙桃）如图，AB 为⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，过 O 点作 AB 的垂线交 AD 于点 E，交 BD 的延长线于点 C，F 为 CE 上一点，且 FD＝FE． (1)请探究 FD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O 的半径为 2，BD＝ 3 ，求 BC 的长． D C E B A - 11 - 3.（湖南衡阳）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 BC＝2cm，∠ABC＝60º． （1）求⊙O 的直径； （2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1cm/s 的速度 从 B 点出发沿 BC 方向运动，设运动时间为 )20)((  tst ，连结 EF，当 t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 4．（甘肃兰州）如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心 O，且与小圆相交于点 A.与大圆相交于点 B．小圆的切线 AC 与大圆相交于点 D，且 CO 平分∠ACB． (1)试判断 BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段 AC.AD.BC 之间的数量关系，并说明理由； (3)若 8cm 10cmAB BC， ，求大圆与小圆围成的圆 环的面积．（结果保留 π ） - 12 - 参考答案： 一、选择题 1.C 2.A 3.B 4.A 5.A 6. C 二、填空题 1.3 3 2.6 3.5 4.A 5. 3 5 6.3 7. cm1 或 cm9 三、解答题 1.证：（1）设∠DFC＝θ ，则∠BAD＝2θ 在△ABD 中，∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB ∠ABD＝12（180°-∠BAD）＝90°-θ 又∠FCD＝∠ABD＝90°-θ ∴∠FCD+∠DFC＝90° ∴CD⊥DF （2）过 F 作 FG⊥BC 于 G 在△FGC 和△FDC 中 ，∠FCG＝∠ADB＝∠ABD＝∠FCD ∠FGC＝∠FDC＝90°,FC＝FC ∴△FGC≌△FDC ∴GC＝CD 且∠GFC＝∠DFC 又∠BFC＝2∠DFC ∴∠GFB＝∠GFC ∴BC＝2GC， ∴BC＝2CD. 2.解：（1）FD 与⊙O 相切，理由如下： 连接 OD.∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠3+∠A＝90°.∵FE＝FD， ∴∠1＝∠2.又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，又∵OA＝OD，∴∠A＝∠4. ∴∠1+∠4＝90°，∴FD 与⊙O 相切. （2）∵⊙O 的半径为 2，∴OB＝2，AB＝4，又∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°.∵OC⊥AB，∴∠ADB＝∠BOC＝90°，又∵∠B＝∠B，∴Rt△ABD∽Rt△CBO ∴ AB CB BD BO ，即 4 23 CB ，∴ 83 3BC  . 3.解：（1）∵AB 是⊙O 的直径（已知） - 13 - ∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC＝60º（已知） ∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于 180º） ∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O 的直径为 4cm． （2）如图（1）CD 切⊙O 于点 C，连结 OC，则 OC＝OB＝1/2·AB＝2cm． ∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD＝90º（垂直的定义） ∵∠BAC＝ 30º（已求） ∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） ∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º（三角形的内角和等于 180º） ∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） ∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm） ∴当 BD 长为 2cm，CD 与⊙O 相切． （3）根据题意得： BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm； 如图（2）当 EF⊥BC 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF∽△BAC ∴BE：BA＝BF：BC 即：（4－2t）： 4＝t：2 解得：t＝1 如图 10（3）当 EF⊥BA 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF∽△BCA ∴BE：BC＝BF：BA 即：（4－2t）： 2＝t：4 解得：t＝1.6 ∴当 t＝1s 或 t＝1.6s 时，△BEF 为直角三角形． 4.解：（1） BC 所在直线与小圆相切， 理由如下：过圆心O 作OE BC ，垂足为 E ， AC 是小圆的切线， AB 经过圆心O ， OA AC ，又 CO 平分 ACB OE BC， ． OE OA． BC 所在直线是小圆的切线． - 14 - （2）AC+AD=BC。理由如下：连接OD ． AC 切小圆O 于点 A ， BC 切小圆O 于点 E ， CE CA． 在 Rt OAD△ 与 Rt OEB△ 中， 90OA OE OD OB OAD OEB     ， ， ， Rt RtOAD OEB △ ≌ △ （HL）， EB AD ． BC CE EB， BC AC AD   ．（ 3） 90BAC， 8 10 6AB BC AC   ， ， ． BC AC AD， 4AD BC AC    ． 圆环的面积 )( 2222 OAODOAODS   又 2 2 2OD OA AD， 22 164 cmS  