相似三角形的判定1

相似三角形的判定1

‎ ‎ ‎27.2.1 相似三角形的判定（1）‎ 一、教学目标 ‎1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．‎ ‎2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．‎ ‎3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．‎ 二、重点、难点 ‎1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．‎ ‎2．难点：三角形相似的预备定理的应用．‎ ‎3．难点的突破方法 ‎（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；‎ ‎（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；‎ ‎（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；‎ ‎（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：‎ 如△ABC∽△A′B′C′的相似比，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；‎ ‎（5）“‎ 10‎ ‎ ‎ 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．‎ 三、例题的意图 本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．‎ 例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．‎ 四、课堂引入 ‎1．复习引入 ‎（1）相似多边形的主要特征是什么？‎ ‎（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．‎ 在△ABC与△A′B′C′中，‎ 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且． ‎ 我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．‎ 反之如果△ABC∽△A′B′C′，‎ 则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且． ‎ ‎（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？‎ ‎2．教材P30的思考，并引导学生探索与证明．‎ ‎3．【归纳】‎ 三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．‎ 五、例题讲解 例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．‎ 10‎ ‎ ‎ ‎（1）写出对应边的比例式；‎ ‎（2）写出所有相等的角；‎ ‎（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．‎ 分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长． ‎ 解：略（AD=3，DC=5）‎ 例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长． ‎ ‎ ‎ 分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长．‎ 解：略（）．‎ 六、课堂练习 ‎1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）‎ A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 ‎ C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 ‎ ‎2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长． （CD= 10）‎ 10‎ ‎ ‎ 七、课后练习 ‎1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式．‎ ‎2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．‎ ‎ ‎ ‎3．如图，DE∥BC，‎ ‎（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；‎ ‎（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．‎ ‎27.2.1 相似三角形的判定（2）‎ 一、教学目标 ‎1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．‎ ‎2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．‎ ‎3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． ‎ 二、重点、难点 1． 重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．‎ 2． 难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；‎ ‎（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．‎ 3． 难点的突破方法 ‎（1）关于三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”‎ 10‎ ‎ ‎ ‎，教科书虽然给出了证明，但不要求学生自己证明，通过教师引导、讲解证明，使学生了解证明的方法，并复习前面所学过的有关知识，加深对判定方法的理解．‎ ‎（2）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．‎ ‎（3）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．‎ ‎（4）判定方法2一定要注意区别“夹角相等” 的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习2就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA条件下三角形的不确定性，来达到加深理解判定方法2的条件的目的的．‎ ‎（5）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似．‎ ‎（6）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1．‎ ‎（7）两对应边成比例中的比例式既可以写成如的形式，也可以写成的形式．‎ ‎（8）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供．‎ 三、例题的意图 本节课安排的两个例题，其中例1是教材P33的例1，此例题是为了巩固刚刚学习过的两种三角形相似的判定方法，（1）是复习巩固“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；（2）是复习巩固“三组对应边的比相等的两个三角形相似” 的判定方法．通过此例题要让学生掌握如何正确的选择三角形相似的判定方法． ‎ 例2是补充的题目，它既运用了三角形相似的判定方法2‎ 10‎ ‎ ‎ ‎，又运用了相似三角形的性质，有一点综合性，由于学生刚开始接触相似三角形的题目，而本节课的内容有较多，故此例题可以选讲．‎ 四、课堂引入 ‎1．复习提问：‎ ‎(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？‎ ‎(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？‎ ‎(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？‎ ‎(4) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？‎ ‎2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？‎ ‎（2）带领学生画图探究；‎ ‎（3）【归纳】 ‎ 三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．‎ ‎3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？‎ ‎（2）教师带领学生探求证明方法．‎ ‎4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：‎ ‎（1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？‎ ‎（2）让学生画图，自主展开探究活动．‎ ‎（3）【归纳】 ‎ 三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．‎ 五、例题讲解 10‎ ‎ ‎ 例1（教材P33例1）‎ 分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边． ‎ 解：略 ‎※例2 （补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．‎ 分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出AD的长．‎ 解：略（AD=）．‎ 六、课堂练习 ‎1．教材P34．2．‎ ‎2．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4cm，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10 cm，A’C’=8 cm，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？ ‎ ‎3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．‎ 10‎ ‎ ‎ 七、课后练习 ‎1．教材P42．1、3．‎ ‎2．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．‎ ‎※3．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，求证：△ADC∽△CDP．‎ ‎27.2.1 相似三角形的判定（3）‎ 一、教学目标 ‎1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．‎ ‎2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．‎ ‎3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．‎ 二、重点、难点 ‎1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”‎ ‎2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．‎ ‎3．难点的突破方法 ‎（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．‎ ‎（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．‎ ‎（3）如果两个三角形是直角三角形， ‎ 10‎ ‎ ‎ 则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．‎ 三、例题的意图 本节课安排了两个例题，例1是教材P35的例2，是一个圆中证相似的题目，这个题目比较简单，可以让学生来分析、让学生说出思维的方法、让学生自己写出证明过程．并让学生掌握遇到等积式，应先将其化为比例式的方法．‎ 例2是一个补充的题目，选择这个题目是希望学生通过这个题的学习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课的学习打基础．‎ 四、课堂引入 ‎1．复习提问：‎ ‎（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？‎ ‎（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．‎ ‎（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题． ‎ 五、例题讲解 ‎ 例1（教材P35例2）．‎ 证明：略（见教材P35例2）．‎ 例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．‎ 分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 10‎ ‎ ‎ 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．‎ 解：略（DF=）．‎ 六、课堂练习 ‎1．教材P36的练习1、2．‎ ‎2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．‎ ‎3．下列说法是否正确，并说明理由．‎ ‎（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；‎ ‎（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．‎ 七、课后练习 ‎1．已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证：．‎ ‎2．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：AC•BC=BE•CD；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．‎ 10‎