呼和浩特专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练19等腰三角形试题

呼和浩特专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练19等腰三角形试题

课时训练(十九)　等腰三角形 ‎(限时:45分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.若等腰三角形的一个角为40°,则它的底角度数为 (　　)‎ A.40° B.50°‎ C.60°或70° D.40°或70°‎ ‎2.等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm,则它的周长为 (　　)‎ A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.8 cm或10 cm ‎3.如图K19-1,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论错误的是 (　　)‎ 图K19-1‎ A.△ADE≌△ADC ‎ B.DE=DC C.∠ADE=∠ADC ‎ D.BD=DC ‎4.[2019·天水]如图K19-2,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为 (　　)‎ 图K19-2‎ A.(1,1) ‎ B.(1,‎3‎)‎ C.(‎3‎,1)‎ D.(‎3‎,‎3‎)‎ ‎5.下面四个说法:①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有一边上的高是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的个数是 (　　)‎ A.4个 B.3个 ‎ C.2个 D.1个 ‎6.[2019·青岛]如图K19-3,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠CDE的度 11‎ 数为 (　　)‎ 图K19-3‎ A.35° B.40° C.45° D.50°‎ ‎7.[2019·衢州]“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图K19-4所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动.C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是 (　　)‎ 图K19-4‎ A.60° B.65°‎ C.75° D.80°‎ ‎8.[2019·黄石]如图K19-5,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED= (　　)‎ 图K19-5‎ A.125° B.145°‎ C.175° D.190°‎ ‎9.[2019·黔三州]如图K19-6,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为　　　　. ‎ 图K19-6‎ ‎10.[2019·常德]如图K19-7,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD',且D',D,B三点在同一直线上,则∠ABD的度数是　　　　. ‎ 图K19-7‎ ‎11.[2019·徐州]函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C在x轴上,若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有　　　　个. ‎ 11‎ ‎12.[2019·齐齐哈尔]等腰三角形ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD=‎1‎‎2‎AC,则等腰三角形ABC的底角的度数为　　　　　　　　. ‎ ‎13.[2019·东营]如图K19-8,在平面直角坐标系中,△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形,AC=2,点C与点E关于x轴对称,则点D的坐标是　　　　. ‎ 图K19-8‎ ‎14.[2019·武威]定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的特征值k=　　　　. ‎ ‎15.[2019·呼和浩特14校联考]如图K19-9,P是等边三角形ABC内的一个点,PA=2,PB=2‎3‎,PC=4,则△ABC的边长为　　　　. ‎ 图K19-9‎ ‎16.[2019·无锡]如图K19-10,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD相交于点O.求证:‎ ‎(1)△DBC≌△ECB;‎ ‎(2)OB=OC.‎ 图K19-10‎ 11‎ ‎|拓展提升|‎ ‎17.如图K19-11,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的位置有 (　　)‎ 图K19-11‎ A.2个 B.3个 ‎ C.4个 D.5个 ‎18.[2019·宜宾]如图K19-12,∠EOF的顶点O是边长为2的等边三角形ABC的重心,∠EOF的两边与△ABC的边交于点E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是 (　　)‎ 图K19-12‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎‎2‎‎3‎‎5‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ ‎19.[2019·呼和浩特金马学校二模]如图K19-13,△ABC是等边三角形,AB=‎7‎,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH,CH.当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH=　　　　　. ‎ 图K19-13‎ ‎20.[2019·宜宾]如图K19-14,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A,C,E在同一直线上,AD与BE,BC分别交于点F,M,BE与CD交于点N.下列结论正确的是　　　　(写出所有正确结论的序号). ‎ ‎①AM=BN;②△ABF≌△DNF;③∠FMC+∠FNC=180°;④‎1‎MN=‎1‎AC‎+‎‎1‎CE.‎ 图K19-14‎ 11‎ 11‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.D　2.C　3.D ‎4.B　[解析]过点B作BH⊥AO于H点,‎ ‎∵△OAB是等边三角形,OA=2,‎ ‎∴OH=1,BH=‎3‎.‎ ‎∴点B的坐标为(1,‎3‎).‎ 故选:B.‎ ‎5.C ‎6.C　[解析]∵BD平分∠ABC,AE⊥BD,‎ ‎∴BD是线段AE的垂直平分线,‎ ‎∴AD=ED,‎ ‎∴∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°,‎ ‎∴∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45°,‎ 故选C.‎ ‎7.D　[解析]∵OC=CD=DE,‎ ‎∴∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.‎ ‎∴∠DCE=2∠O,∠EDB=3∠O=75°,‎ ‎∴∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,‎ ‎∴∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°,‎ 故选D.‎ ‎8.C　[解析]连接DF,‎ ‎∵CD⊥AB,F为边AC的中点,‎ ‎∴DF=‎1‎‎2‎AC=CF,‎ 又∵CD=CF,∴CD=DF=CF,‎ ‎∴△CDF是等边三角形,‎ ‎∴∠ACD=60°,‎ ‎∵∠B=50°,‎ ‎∴∠BCD+∠BDC=130°,‎ ‎∵∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,‎ 11‎ ‎∴∠DCE+∠CDE=65°,‎ ‎∴∠CED=115°,‎ ‎∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°.‎ 故选:C.‎ ‎9.34°　[解析]根据题意可得BA=BD.‎ ‎∵∠B=40°,∴∠BAD=∠BDA=70°.‎ ‎∵∠B=40°,∠C=36°,‎ ‎∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°,‎ ‎∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°,‎ 故答案为34°.‎ ‎10.22.5°　[解析]根据题意可知△ABD≌△ACD',‎ ‎∴∠BAC=∠CAD'=45°,AD'=AD,‎ ‎∴∠ADD'=∠AD'D=‎180°-45°‎‎2‎=67.5°,‎ ‎∵D',D,B三点在同一直线上,‎ ‎∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°.‎ ‎11.4　[解析] 作AB的垂直平分线,交x轴于坐标原点,△OAB为等腰三角形;以B为圆心,BA长为半径画圆交x轴于C2,△C2AB为等腰三角形;以A为圆心,AB长为半径画圆,交x轴于C3,C4,则△C3AB,△C4AB为等腰三角形,所以满足条件的点C有4个.‎ ‎12.15°或45°或75°　[解析]分情况讨论:‎ ‎(1)当∠ABC为顶角时,△ABC为等腰直角三角形,如图①;‎ ‎(2)当∠ABC为底角,且∠BAC为锐角时,如图②,BD=‎1‎‎2‎AC=‎1‎‎2‎AB,∴∠BAC=30°,则∠ABC=∠ACB=75°;‎ ‎(3)当∠ABC为底角,且∠BAC为钝角时,如图③,BD=‎1‎‎2‎AC=‎1‎‎2‎AB,∴∠BAD=30°,∠BAC=150°,则∠ABC=∠C=15°.‎ 11‎ ‎∴△ABC的底角的度数为45°或75°或15°.‎ ‎13.‎3‎‎3‎,0　[解析]设CE交x轴于点F,‎ ‎∵△ACE是等边三角形,点C与点E关于x轴对称,‎ ‎∴CE⊥x轴,‎ ‎∴∠CAD=30°,CF=‎1‎‎2‎AC=1,‎ 由勾股定理求得AF=‎3‎.‎ ‎∵DA=DC,∴∠CAD=∠ACD=30°,∴∠CDF=60°.‎ 在Rt△DFC中,∵∠CDF=60°,CF=1,‎ ‎∴DF=‎3‎‎3‎.‎ 易知△ABO与△DCF全等,‎ ‎∴AO=DF=‎3‎‎3‎.‎ ‎∴OD=AF-AO-DF=‎3‎‎-‎3‎‎3‎-‎‎3‎‎3‎=‎3‎‎3‎,‎ 即点D的坐标为‎3‎‎3‎,0.‎ ‎14.‎8‎‎5‎或‎1‎‎4‎　[解析]①当∠A为顶角时,等腰三角形两底角的度数为:‎180°-80°‎‎2‎=50°,‎ ‎∴特征值k=‎80°‎‎50°‎=‎8‎‎5‎;‎ ‎②当∠A为底角时,顶角的度数为:180°-80°-80°=20°,‎ ‎∴特征值k=‎20°‎‎80°‎=‎1‎‎4‎,‎ 故答案为‎8‎‎5‎或‎1‎‎4‎.‎ ‎15.2‎7‎　[解析]将△BAP绕B点逆时针旋转60°得△BCM,则BA与BC重合,连接MP,如图,‎ ‎∴BM=BP,MC=PA=2,∠PBM=60°.‎ ‎∴△BPM是等边三角形,‎ ‎∴PM=PB=2‎3‎,‎ 在△MCP中,PC=4,‎ ‎∴PC2=PM2+MC2,且PC=2MC.‎ ‎∴△PCM是直角三角形,且∠CMP=90°,∠CPM=30°.‎ 又∵△PBM是等边三角形,∠BPM=60°,‎ 11‎ ‎∴∠BPC=90°,‎ ‎∴BC2=PB2+PC2=(2‎3‎)2+42=28,‎ ‎∴BC=2‎7‎.‎ 故答案为2‎7‎.‎ ‎16.证明:(1)∵AB=AC,∴∠ECB=∠DBC,‎ 在△DBC与△ECB中,‎BD=CE,‎‎∠DBC=∠ECB,‎BC=CB,‎ ‎∴△DBC≌△ECB(SAS).‎ ‎(2)由(1)知△DBC≌△ECB,‎ ‎∴∠DCB=∠EBC,∴OB=OC.‎ ‎17.B ‎18.C　[解析]连接OB,OC,过点O作ON⊥BC,垂足为N,‎ ‎∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=60°,‎ ‎∵点O为△ABC的重心,‎ ‎∴∠OBC=∠OBA=‎1‎‎2‎∠ABC,∠OCB=‎1‎‎2‎∠ACB.‎ ‎∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°.‎ ‎∴OB=OC,∠BOC=120°,‎ ‎∵ON⊥BC,BC=2,‎ ‎∴BN=NC=1,‎ ‎∴ON=tan∠OBC·BN=‎3‎‎3‎×1=‎3‎‎3‎,‎ ‎∴S△OBC=‎1‎‎2‎BC·ON=‎3‎‎3‎.‎ ‎∵∠EOF=∠BOC=120°,‎ ‎∴∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF,‎ 即∠EOB=∠FOC.‎ 在△EOB和△FOC中,‎‎∠OBE=∠OCF=30°,‎OB=OC,‎‎∠EOB=∠FOC,‎ ‎∴△EOB≌△FOC(ASA).‎ ‎∴S阴影=S△OBC=‎3‎‎3‎.‎ 故选:C.‎ 11‎ ‎19.‎1‎‎3‎　[解析]作AE⊥BH,交BH的延长线于E,作BF⊥AH,交AH的延长线于F,如图.‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴AB=AC,∠BAC=60°,‎ ‎∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°,∠BAH+∠CAH=60°,‎ ‎∴∠ABH=∠CAH,‎ 在△ABE和△CAH中,‎‎∠AEB=∠AHC,‎‎∠ABE=∠CAH,‎AB=CA,‎ ‎∴△ABE≌△CAH,‎ ‎∴BE=AH,AE=CH,‎ 在Rt△AHE中,∠AHE=∠BHD=60°,‎ ‎∴sin∠AHE=AEAH,HE=‎1‎‎2‎AH,‎ ‎∴AE=AH·sin60°=‎3‎‎2‎AH,‎ ‎∴CH=‎3‎‎2‎AH,‎ 在Rt△AHC中,AH2+‎3‎‎2‎AH2=AC2=(‎7‎)2,‎ 解得AH=2(AH=-2舍去),‎ ‎∴BE=2,HE=1,AE=CH=‎3‎,‎ ‎∴BH=BE-HE=2-1=1,‎ 在Rt△BFH中,HF=‎1‎‎2‎BH=‎1‎‎2‎,BF=‎3‎‎2‎,‎ ‎∵BF∥CH,‎ ‎∴△CHD∽△BFD,‎ ‎∴HDFD=CHBF=‎3‎‎3‎‎2‎=2,‎ ‎∴DH=‎2‎‎3‎HF=‎2‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎=‎1‎‎3‎.‎ 故答案为‎1‎‎3‎.‎ ‎20.①③④　[解析]①∵△ABC和△CDE都是等边三角形,‎ ‎∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°,‎ ‎∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,‎ 即∠ACD=∠BCE,‎ 11‎ 在△BCE和△ACD中,‎BC=AC,‎‎∠BCE=∠ACD,‎CE=CD,‎ ‎∴△BCE≌△ACD(SAS),‎ ‎∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,∠CAD=∠CBE,‎ 在△DMC和△ENC中,‎‎∠MDC=∠NEC,‎DC=EC,‎‎∠MCD=∠NCE=60°,‎ ‎∴△DMC≌△ENC(ASA),‎ ‎∴DM=EN,CM=CN,‎ ‎∴AD-DM=BE-EN,即AM=BN,∴①正确;‎ ‎②∵∠ABC=60°=∠BCD,‎ ‎∴AB∥CD,∴∠BAF=∠CDF,‎ ‎∵∠AFB=∠DFN,∴△ABF∽△DNF,找不出全等的条件,∴②不正确;‎ ‎③∵∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°,∠FBC=∠CAF,‎ ‎∴∠AFB+∠ABC+∠BAC=180°,‎ ‎∴∠AFB=60°,∴∠MFN=120°,‎ ‎∵∠MCN=60°,∴∠FMC+∠FNC=180°,∴③正确;‎ ‎④∵CM=CN,∠MCN=60°,‎ ‎∴△MCN是等边三角形,‎ ‎∴∠MNC=60°,‎ ‎∵∠DCE=60°,‎ ‎∴MN∥AE,‎ ‎∴MNAC=DNCD=CD-CNCD,‎ ‎∵CD=CE,MN=CN,‎ ‎∴MNAC=CE-MNCE,‎ ‎∴MNAC=1-MNCE,‎ ‎∴‎1‎AC=‎1‎MN‎-‎‎1‎CE,‎ ‎∴‎1‎MN=‎1‎AC‎+‎‎1‎CE,∴④正确.‎ 故答案为①③④.‎ 11‎