- 2021-11-11 发布 |
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文档介绍
2020中考数学三轮复习——二次函数压轴题 练习
二次函数压轴题 1. 如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,点的坐标是,为抛物线上的一个动点,过点作轴于点,交直线于点,抛物线的对称轴是直线. (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点在第二象限内,且,求的面积. (3)在(2)的条件下,若为直线上一点,在轴的下方,是否存在点,使是以为腰的等腰三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 2. 如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x–b与y轴交于点B;抛物线L:y=–x2+bx的顶点为C,且L与x轴右交点为D. (1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标; (2)当点C在l下方时,求点C与l距离的最大值; (3)设x0≠0,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在l,a和L上,且y3是y1,y2的平均数,求点(x0,0)与点D间的距离; (4)在L和a 所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数. 3. 如图,抛物线经y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC. (1)求抛物线的解析式及其对称轴; (2)点D、E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值. (3)点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分,求点P的坐标. 4. 如图①,抛物线与轴交于点,与轴交于点,将直线绕点逆时针旋转90°,所得直线与轴交于点. (1)求直线的函数解析式; (2)如图②,若点是直线上方抛物线上的一个动点 ①当点到直线的距离最大时,求点的坐标和最大距离; ②当点到直线的距离为时,求的值. 5. 如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上,抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时,那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线.如图1,已知抛物线C1:y1=x2+x与C2:y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线,点A,B分别是抛物线C1,C2的顶点,抛物线C2经过点D(6,–1). (1)直接写出A,B的坐标和抛物线C2的解析式; (2)抛物线C2上是否存在点E,使得△ABE是直角三角形?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)如图2,点F(–6,3)在抛物线C1上,点M,N分别是抛物线C1,C2上的动点,且点M,N的横坐标相同,记△AFM面积为S1(当点M与点A,F重合时S1=0),△ABN的面积为S2(当点N与点A,B重合时,S2=0),令S=S1+S2,观察图象,当y1≤y2时,写出x的取值范围,并求出在此范围内S的最大值. 6. 已知抛物线经过和两点,与轴交于点,点为第一象限抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,连接,交于点,当时,求出点的坐标; (3)如图2,点的坐标为,点为轴正半轴上一点,,连接,是否存在点,使?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 7. 综合与探究 如图,抛物线经过点A(–2,0),B(4,0)两点,与轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为 .连接AC,BC,DB,DC. (1)求抛物线的函数表达式; (2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时,求的值; (3)在(2)的条件下,若点M是轴上的一个动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 答案 1. (1)点的坐标是,抛物线的对称轴是直线,则点, 所以设函数的表达式为:, 将点C(0,–2)代入得:,解得:, 故抛物线的表达式为:; (2)设直线BC的解析式为y=mx+n, 将点(–4,0)、(0,–2)分别代入得,解得:, 所以直线的表达式为:, 设点,则OD=–x,点,点, ∴PE=, ∵,∴=, 解得:或x=–5(舍去), ∴点, ∴PE=,BD=–4–(–5)=1, ∴; (3)由题意得:在x轴下方,是以为腰的等腰三角形,只存在:的情况,∴BM=BD=1, ∵(–4,0)、(0,–2),∴OB=4,OC=2, ∵∠BOC=90°,∴BC==, ∴, 设M的坐标为(xM,yM), 则, 则, 故点. 2. (1)当x=0吋,y=x﹣b=﹣b,∴B(0,﹣b), ∵AB=8,而A(0,b),∴b﹣(﹣b)=8,∴b=4. ∴L:y=﹣x2+4x,∴L的对称轴x=2, 当x=2时,y=x﹣4=﹣2, ∴L的对称轴与a的交点为(2,﹣2); (2)∵y=﹣(x﹣)2+,∴L的顶点C(,), ∵点C在l下方,∴C与l的距离为b﹣=﹣(b﹣2)2+1≤1, ∴点C与l距离的最大值为1; (3)由題意得,即y1+y2=2y3, 得b+x0﹣b=2(﹣x02+bx0), 解得x0=0或x0=b﹣.但x0≠0,取x0=b﹣, 对于L,当y=0时,0=﹣x2+bx,即0=﹣x(x﹣b),解得x1=0,x2=b, ∵b>0,∴右交点D(b,0). ∴点(x0,0)与点D间的距离为b﹣(b﹣)=. (4)①当b=2019时,抛物线解析式L:y=﹣x2+2019x, 直线解析式a:y=x﹣2019, 联立上述两个解析式可得:x1=﹣1,x2=2019, ∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值,且﹣1和2019之间(包括﹣1和﹣2019),共有2021个整数; ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分:线段和抛物线, ∴线段和抛物线上各有2021个整数点,∴总计4042个点, ∵这两段图象交点有2个点重复重复,∴美点”的个数:4042﹣2=4040(个); ②当b=2019.5时, 抛物线解析式L:y=﹣x2+2019.5x, 直线解析式a:y=x﹣2019.5, 联立上述两个解析式可得:x1=﹣1,x2=2019.5, ∴当x取整数时,在一次函数y=x﹣2019.5上,y取不到整数值,因此在该图象上“美点”为0, 在二次函数y=x+2019.5x图象上,当x为偶数时,函数值y可取整数, 可知﹣1到2019.5之间有1009个偶数,并且在﹣1和2019.5之间还有整数0,验证后可知0也符合, 条件,因此“美点”共有1010个. 故b=2019时“美点”的个数为4040个,b=2019.5时“美点”的个数为1010个. 3. (1)∵OB=OC, ∴点B(3,0), 则抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a, 故-3a=3,解得:a=-1, 故抛物线的表达式为:y=-x2+2x+3,对称轴为x=1. (2)ACDE的周长=AC+DE+CD+AE,其中AC、DE=1是常数, 故CD+AE最小时,周长最小, 取点C关于函数对称点C(2,3),则CD=C′D, 取点A′(-1,1),则A′D=AE, 故:CD+AE=A′D+DC′,则当A′、D、C′三点共线时,CD+AE=A′D+DC′最小,周长也最小, 四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AEA′D+DC′A′C′. (3)如图,设直线CP交x轴于点E, 直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分, 又∵S△PCB∶S△PCAEB×(yC-yP)∶AE×(yC-yP)=BE∶AE, 则BE∶AE=3∶5或5∶3, 则AE或, 即:点E的坐标为(,0)或(,0), 将点E、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+3, 解得:k=-6或-2, 故直线CP的表达式为:y=-2x+3或y=-6x+3, 联立并解得:x=4或8(不合题意值已舍去), 故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45). 4. (1)当时,则点的坐标为, 当时,,解得,,则点的坐标为,点的坐标为, ∴,∴, ∵将直线绕点逆时针旋转得到直线, ∴,∴, ∴,∴,∴点的坐标为, 设直线的函数解析式为 ,得, 即直线的函数解析式为; (2)作轴交直线于点,如图①所示, 设点的坐标为,则点的坐标为, ∴, ∴轴, ∴轴, ∴, 作于点,则, ∴, ∴当时,取得最大值,此时点P的坐标为, 即当点到直线的距离最大时,点的坐标是,最大距离是; ②当点到直线的距离为时,如图②所示, 则,解得:, 则的坐标为,的坐标为, 当的坐标为,则,∴; 当的坐标为,则, ∴; 由上可得,的值是或. 5. (1)C1顶点在C2上,C2顶点也在C1上, 由抛物线C1:y1=x2+x可得A(–2,–1), 将A(–2,–1),D(6,–1)代入y2=ax2+x+c 得,解得 , ∴y2=–x2+x+2,∴B(2,3); (2)易得直线AB的解析式:y=x+1, ①若B为直角的顶点,BE⊥AB,kBE•kAB=–1, ∴kBE=–1,则直线BE的解析式为y=–x+5. 联立, 解得或,此时E(6,–1); ②若A为直角顶点,AE⊥AB,kAE•kAB=–1, ∴kAE=–1,则直线AE的解析式为y=–x–3, 联立, 解得或, 此时E(10,–13); ③若E为直角顶点,设E(m,–m2+m+2) 由AE⊥BE得kBE•kAE=–1, 即, 解得m=2或–2(不符合题意均舍去), ∴存在,∴E(6,–1)或E(10,–13); (3)∵y1≤y2,观察图形可得:x的取值范围为–2≤x≤2, 设M(t,t2+t),N(t,−t2+t+2),且–2≤t≤2, 易求直线AF的解析式:y=–x–3, 过M作x轴的平行线MQ交AF于Q, 由yQ=yM,得Q(t2−t−3,t2+t), S1=|QM|•|yF–yA|=t2+4t+6, 设AB交MN于点P,易知P坐标为(t,t+1), S2=|PN|•|xA–xB|=2–t2, S=S1+S2=4t+8, 当t=2时,S的最大值为16. 6. (1)将和代入得: , 解得:, ∴抛物线的解析式为:. (2)如图,作轴,垂足为, ∵, ∴,, ∵, ∴, ∵,, ∴, ∴,, ∴, ∴直线为:, 由得:. (3)设交轴于点,如图, ∵,, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴直线为:, 由得:,, ∵点在第一象限, ∴. 7. (1)抛物线经过点A(–2,0),B(4,0), ∴,解得, ∴抛物线的函数表达式为; (2)作直线DE⊥轴于点E,交BC于点G,作CF⊥DE,垂足为F, ∵点A的坐标为(–2,0),∴OA=2, 由,得,∴点C的坐标为(0,6),∴OC=6, ∴S△OAC=, ∵S△BCD=S△AOC,∴S△BCD=, 设直线BC的函数表达式为, 由B,C两点的坐标得,解得, ∴直线BC的函数表达式为, ∴点G的坐标为, ∴, ∵点B的坐标为(4,0),∴OB=4, ∵S△BCD=S△CDG+S△BDG= , ∴S△BCD=, ∴, 解得(舍),, ∴的值为3; (3)存在,如下图所示,以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图, 以BD为边时,有3种情况, ∵D点坐标为,∴点N点纵坐标为±, 当点N的纵坐标为时,如点N2, 此时,解得:(舍), ∴,∴; 当点N的纵坐标为时,如点N3,N4, 此时,解得: ∴,, ∴,; 以BD为对角线时,有1种情况,此时N1点与N2点重合, ∵,D(3,), ∴N1D=4, ∴BM1=N1D=4, ∴OM1=OB+BM1=8, ∴M1(8,0), 综上,点M的坐标为:.查看更多