2020年绵阳市中考数学考点训练15：二次函数压轴题（含答案）

2020年绵阳市中考数学考点训练15：二次函数压轴题（含答案）

二次函数压轴题 ‎1． 如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（–2，2），B（–2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；‎ ‎（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎2． 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．‎ ‎（1）求点A、B、D的坐标；‎ ‎（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；‎ ‎（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．‎ ‎①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；‎ ‎②直接回答这样的点P共有几个？‎ ‎ ‎ ‎3． 已知抛物线经过点，与轴交于点．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；‎ ‎（3）如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎4． 如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（–5，0），B（–4，–3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．‎ ‎①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；‎ ‎②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎5． 如图，抛物线y=x2+bx-3过点A（1，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为-2，点P是线段AD上的动点．‎ ‎（1）b=__________，抛物线的顶点坐标为__________；‎ ‎（2）求直线AD的解析式；‎ ‎（3）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，求点Q的坐标．‎ ‎ ‎ ‎6． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线，线段以及轴于点．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；‎ ‎（3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值．‎ ‎ ‎ ‎7． 如图，抛物线y=ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=–x–2经过点A，C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．‎ ‎①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；‎ ‎②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y=kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）‎ ‎ ‎ ‎8． 矩形OABC的边OC、OA分别位于x、y轴上，点A（0，-4）、B（6，-4）、C（6，0），抛物线y=ax2+bx经过点O和点C，顶点M（3，-），点N是抛物线上一动点，直线MN交直线AB于点E，交y轴于F，△A′EF 是将△AEF沿直线MN翻折后的图形．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当四边AEA′F是正方形时，求点N的坐标．‎ ‎（3）连接CA′，求CA′的最小值．‎ ‎ ‎ 答案 ‎1． （1）设函数解析式为y=ax2+bx+c，‎ 将点A（–2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得，‎ ‎∴，∴y=–x2–x+2；‎ ‎（2）∵△PAM≌△PBM，∴PA=PB，MA=MB，‎ ‎∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，‎ ‎∵AB=2，∴点P的纵坐标是1，∴1=–x2–x+2，‎ ‎∴x=–1+或x=–1–，‎ ‎∴P（–1–，1）或P（–1+，1）；‎ ‎（3）CM=t–2，MG=CM=2t–4，‎ MD=4–（BC+CM）=4–（2+t–2）=4–t，‎ MF=MD=4–t，∴BF=4–4+t=t，‎ ‎∴S=×（GM+BF）×MF=×（2t–4+t）×（4–t）=–t2+8t–8=–（t–）2+；‎ 当t=时，S最大值为；‎ ‎（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y=x+2，‎ 直线AQ的解析式y=–（x+2）+2，‎ ‎∴K（0，），H（–，），‎ ‎∴OK2=（）2，OH2=（）2+（）2，HK2=（）2+（−）2，‎ ‎①当OK=OH时，（）2=（）2+（）2，‎ ‎∴3m2+12m+8=0，‎ ‎∴m=–2+或m=–2–；‎ ‎②当OH=HK时，（）2+（）2=（）2+（−）2，‎ ‎∴3m2+12m+8=0，‎ ‎∴m=–2+或m=–2–（不符合题意，舍弃）‎ ‎③当OK=HK时，（）2=（）2+（−）2，‎ ‎∴m2+4m–8=0，‎ ‎∴m=–2+2或m=–2–2；‎ 综上所述：Q（–2+2，0）或Q（–2–2，0）．‎ ‎2． （1）令x2x0，‎ 解得x1=1，x2=-7．‎ ‎∴A（1，0），B（-7，0）．‎ 由yx2x（x+3）2-2得，D（-3，-2）．‎ ‎（2）∵DD1⊥x轴于点D1，‎ ‎∴∠COF=∠DD1F=90°，‎ ‎∵∠D1FD=∠CFO，‎ ‎∴△DD1F∽△COF，‎ ‎∴，‎ ‎∵D（-3，-2），‎ ‎∴D1D=2，OD=3，‎ ‎∴D1F=2，‎ ‎∴，‎ ‎∴OC，‎ ‎∴CA=CF=FA=2，‎ ‎∴△ACF是等边三角形，‎ ‎∴∠AFC=∠ACF，‎ ‎∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，‎ ‎∴∠ECF=∠AFC=60°，‎ ‎∴EC∥BF，‎ ‎∵EC=DC6，‎ ‎∵BF=6，‎ ‎∴EC=BF，‎ ‎∴四边形BFCE是平行四边形．‎ ‎（3）∵点P是抛物线上一动点，‎ ‎∴设P点（x，x2x），‎ ‎①当点P在B点的左侧时，‎ ‎∵△PAM与△DD1A相似，‎ ‎∴或，‎ ‎∴或，‎ 解得：x1=1（不合题意舍去），x2=-11或x1=1（不合题意舍去）x2；‎ 当点P在A点的右侧时，‎ ‎∵△PAM与△DD1A相似，‎ ‎∴或，‎ ‎∴或，‎ 解得：x1=1（不合题意舍去），x2=-3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2（不合题意舍去）；‎ 当点P在AB之间时，‎ ‎∵△PAM与△DD1A相似，‎ ‎∴或，‎ ‎∴或，‎ 解得：x1=1（不合题意舍去），x2=-3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2，‎ 综上所述，点P的横坐标为-11或或，‎ ‎②由①得，这样的点P共有3个．‎ ‎3． （1）∵抛物线经过点，‎ ‎，解得 抛物线解析式为；‎ ‎（2）如图1，连接，设点，其中，四边形的面积为，由题意得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，开口向下，有最大值，‎ 当时，四边形的面积最大，‎ 此时，，即．‎ 因此当四边形的面积最大时，点的坐标为．‎ ‎（3），‎ 顶点．‎ 如图2，连接交直线于点，此时，的周长最小．‎ 设直线的解析式为，且过点，，‎ 直线的解析式为．‎ 在中，．‎ 为的中点，，‎ ‎，，‎ ‎，，，，‎ 由图可知 设直线的函数解析式为，‎ 解得：‎ 直线的解析式为．‎ 解得：．‎ ‎4． （1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得，‎ 故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5．‎ ‎（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F.‎ 在抛物线y=x2+6x+5中，‎ 令y=0，则x2+6x+5=0，‎ 解得x=–5，x=–1，‎ ‎∴点C的坐标为（–1，0）.‎ 由点B（–4，–3）和C（–1，0），可得 直线BC的表达式为y=x+1.‎ 设点P的坐标为（t，t2+6t+5），由题知–4

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