全国中考二次函数压轴题集锦附详细答案

全国中考二次函数压轴题集锦附详细答案

‎1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；‎ ‎（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．‎ ‎3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；‎ ‎（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．‎ ‎4．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠‎ ‎0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．‎ ‎5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎6．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G．‎ ‎（1）填空：OA的长是　 　，∠ABO的度数是　 　度；‎ ‎（2）如图2，当DE∥AB，连接HN．‎ ‎①求证：四边形AMHN是平行四边形；‎ ‎②判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；‎ ‎（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQ∥OB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KI∥OB，在KI上取一点P，使得∠‎ PDK=45°（点P，Q在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长．‎ ‎7．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．‎ ‎（1）求c的值及直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．‎ ‎①求证：△APM∽△AON；‎ ‎②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．‎ ‎8．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．‎ ‎9．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．‎ ‎（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；‎ ‎（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎10．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．‎ ‎（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎11．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=x2+bx+c交于第四象限的F点．‎ ‎（1）求该抛物线解析式与F点坐标；‎ ‎（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．‎ ‎①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．‎ ‎②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．‎ ‎12．如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．‎ ‎13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．‎ ‎（1）求n的值和抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；‎ ‎（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．‎ ‎14．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，动点P、Q同时从A点出发，点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t=2秒时，求证：PQ=CP；‎ ‎（2）当2＜t≤4时，等式“PQ=CP”仍成立吗？试说明其理由；‎ ‎（3）设△CPQ的面积为S，那么S与t之间的函数关系如何？并问S的值能否大于正方形ABCD面积的一半？为什么？‎ ‎15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）点D是线段BC中点，点E是BC上方抛物线上一动点，连接CE，DE．当△CDE的面积最大时，过点E作y轴垂线，垂足为F，点P为线段EF上一动点，将△CEF绕点C沿顺时针方向旋转90°，点F，P，E的对应点分别是F′，P′，E′，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到点F′处，再沿F′C运动到点C处，最后沿适当的路径运动到点P′处停止．求△CDE面积的最大值及点Q经过的最短路径的长；‎ ‎（3）如图2，直线BH经过点B与y轴交于点H（0，3）动点M从O出发沿OB方向以每秒1个单位长度向点B运动，同时动点N从B点沿BH方向以每秒2个单位长度的速度向点H运动，当点N运动到H点时，点M，点N同时停止运动，设运动时间为t．运动过程中，过点N作OB的平行线交y轴于点I，连接MI，MN，将△MNI沿NI翻折得△M′NI，连接HM′，当△M′HN为等腰三角形时，求t的值．‎ ‎16．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎（2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线a∥y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，△BCE的面积为S．‎ ‎①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎②求S的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；‎ ‎（3）过点P作直线b∥x轴（图2），交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎17．已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，点B坐标为（10，10），点P从O出发沿O→C→B运动，速度为1个单位每秒，连接AP．设运动时间为t．‎ ‎（1）若抛物线y=﹣（x﹣h）2+k经过A、B两点，求抛物线函数关系式；‎ ‎（2）当0≤t≤10时，如图1，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交边BC于点D，连接AD，PD，设△APD的面积为S，求S的最小值；‎ ‎（3）在图2中以A为圆心，OA长为半径作⊙A，当0≤t≤20时，过点P作PQ⊥x轴（Q在P的上方），且线段PQ=t+12：‎ ‎①当t在什么范围内，线段PQ与⊙A只有一个公共点？当t在什么范围内，线段PQ与⊙A有两个公共点？‎ ‎②请将①中求得的t的范围作为条件，证明：当t取该范围内任何值时，线段PQ与⊙A总有两个公共点．‎ ‎18．如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．‎ ‎（1）点A的坐标为　 　，线段OB的长=　 　；‎ ‎（2）设点C的横坐标为m ‎①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；‎ ‎②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．‎ ‎19．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；‎ ‎（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎20．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：‎ ‎（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？‎ ‎21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形 ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）求点P的坐标；‎ ‎（3）求证：CE=EF；‎ ‎（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．‎ ‎22．阅读理解 抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．‎ 问题解决 如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．‎ ‎（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；‎ ‎（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．‎ ‎①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；‎ ‎②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．‎ ‎23．已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，当S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；‎ ‎（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．‎ ‎24．如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0．‎ ‎（1）如果m=﹣4，n=1，试判断△AMN的形状；‎ ‎（2）如果mn=﹣4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=﹣4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．‎ ‎25．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；‎ ‎（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；‎ ‎（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，顶点为C．‎ ‎（1）求此二次函数解析式；‎ ‎（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：交BD于点E，过点B作直线BK∥AD交直线l于K点．问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK和的最小值．‎ ‎27．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．‎ ‎28．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；‎ ‎（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在直线CD的上方，y轴及y轴的右侧的平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的点G的坐标；‎ ‎（3）如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M，过点M作一条直线交∠ADB于T，N两点，‎ ‎①当∠DNT=90°时，直接写出的值；‎ ‎②当直线TN绕点M旋转时，‎ 试说明：△DNT的面积S△DNT=DN•DT；‎ 并猜想：的值是否是定值？说明理由．‎ ‎29．如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．‎ ‎（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）‎ ‎（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．‎ ‎（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．‎ ‎（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．‎ ‎30．如图，已知直线l：y=x+2与y轴交于点D，过直线l上一点E作EC丄y轴于点C，且C点坐标为（0，4），过C、E两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式：‎ ‎（2）动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QF⊥ED于点F，交BD于点H，设点Q运动时间为t秒，△DFH的面积为S，求出S与t的函数关系式（并直接写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）若动点P为直线CE上方抛物线上一点，连接PE，过点E作EM⊥PE交线段BD于点M，当△PEM是等腰直角三角形时，求四边形PMBE的面积．‎ ‎31．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c为常数）的对称轴为：直线x=，与x轴分别交于点A、点B，与y轴交于点C（0，﹣），且过点（3，﹣5），D为x轴正半轴上的动点，E为y轴负半轴上的动点．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）如图1，当点D为（3，0）时，DE交该抛物线于点M，若∠ADC=∠CDM，求点M的坐标；‎ ‎（3）如图2，把（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED与新抛物线仅有唯一交点Q时，y轴上是否存在一个定点P使PE=PQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共31小题）‎ ‎1．（2017秋•上杭县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】151：代数综合题；32 ：分类讨论．‎ ‎【分析】（1）根据AC=BC，求出BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐标，求出EF的长度最大时m的值，即可求得E，F的坐标；‎ ‎（3）分两种情况：∠E﹣90°和∠F=90°，分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点P的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵OA=1，OC=4，AC=BC，‎ ‎∴BC=5，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（4，5），‎ 抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）设直线AB解析式为：y=kx+b，‎ 直线经过点A，B两点，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴直线AB的解析式为：y=x+1，‎ 设点E的坐标为（m，m+1），则点F（m，m2﹣2m﹣3），‎ ‎∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣（m﹣）2+，‎ ‎∴当EF最大时，m=，‎ ‎∴点E（，），F（，）；‎ ‎（3）存在．‎ ‎①当∠FEP=90°时，点P的纵坐标为，‎ 即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=，‎ ‎∴点P1（，），P2（，），‎ ‎②当∠EFP=90°时，点P的纵坐标为，‎ 即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），‎ ‎∴点P3（，），‎ 综上所述，P1（，），P2（，），P3（，）．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第（3）小题要注意分类讨论，分∠E=90°和∠F=90°两种情况．‎ ‎　‎ ‎2．（2017秋•鄂城区期中）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；‎ ‎（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；‎ ‎（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；‎ ‎（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．‎ ‎【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，‎ 解得：b=﹣4，c=3，‎ ‎∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；‎ ‎（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，‎ 解得：x=1或x=3，‎ ‎∴B（3，0），‎ ‎∴BC=3，‎ 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，‎ ‎①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3‎ ‎∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；‎ ‎②当BP=BC时，OP=OB=3，‎ ‎∴P3（0，﹣3）；‎ ‎③当PB=PC时，‎ ‎∵OC=OB=3‎ ‎∴此时P与O重合，‎ ‎∴P4（0，0）；‎ 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；‎ ‎（3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，‎ ‎∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，‎ 即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2017•泸州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；‎ ‎（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；‎ ‎（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1﹣S2的最大值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）由题意可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，‎ ‎∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，‎ ‎∴四边形ABDC为等腰梯形，‎ ‎∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，‎ ‎∴D（3，2）；‎ 当点D在x轴下方时，‎ ‎∵∠DBA=∠CAO，‎ ‎∴BD∥AC，‎ ‎∵C（0，2），‎ ‎∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，‎ ‎∴直线AC解析式为y=2x+2，‎ ‎∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，‎ ‎∴直线BD解析式为y=2x﹣8，‎ 联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴D（﹣5，﹣18）；‎ 综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；‎ ‎（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，‎ 设P（t，﹣t2+t+2），‎ 由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2，‎ ‎∴H（t，﹣t+2），‎ ‎∴PH=yP﹣yH=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，‎ 设直线AP的解析式为y=px+q，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t，‎ ‎∴F（0，2﹣t），‎ ‎∴CF=2﹣（2﹣t）=t，‎ 联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横坐标为，‎ ‎∴S1=PH（xB﹣xE）=（﹣t2+2t）（4﹣），S2=••，‎ ‎∴S1﹣S2=（﹣t2+2t）（4﹣）﹣••=﹣t2+4t=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∴当t=时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．‎ ‎　‎ ‎4．（2017•南充）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（0，0）代入得到a=，即可解决问题；‎ ‎（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），由E、B关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；‎ ‎（3）分两种情形求解即可①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；‎ ‎【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，‎ 把（0，0）代入得到a=，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣，即y=x2﹣x．‎ ‎（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），‎ ‎∵E′在抛物线上，易知四边形EBE′C是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，‎ ‎∴E、B关于对称轴对称，‎ ‎∴=2，‎ 解得m=1或6（舍弃），‎ ‎∴B（3，0），C（1，﹣2），‎ ‎∴直线l′的解析式为y=x﹣3．‎ ‎（3）如图2中，‎ ‎①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．‎ ‎②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），‎ 则有（m﹣）2+（m﹣3﹣）2=（3）2，‎ 解得m=或，‎ ‎∴P2（，），P3（，）．‎ 综上所述，满足条件的点P坐标为（0，﹣3）或（，）或（，）．‎ ‎【点评】‎ 本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据方程，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎5．（2017•宜宾）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；‎ ‎（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；‎ ‎（2）∵AD=5，且OA=1，‎ ‎∴OD=6，且CD=8，‎ ‎∴C（﹣6，8），‎ 设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，‎ 代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，‎ ‎∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），‎ ‎∵C（﹣6，8），‎ ‎∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，‎ ‎∴m的值为7或9；‎ ‎（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=2，‎ ‎∴可设P（2，t），‎ 由（2）可知E点坐标为（1，8），‎ ‎①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，‎ 则∠BEF=∠BMP=∠QPN，‎ 在△PQN和△EFB中 ‎∴△PQN≌△EFB（AAS），‎ ‎∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，‎ 设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，‎ ‎∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，‎ 当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，‎ ‎∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；‎ ‎②当BE为对角线时，‎ ‎∵B（5，0），E（1，8），‎ ‎∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），‎ 设Q（x，y），且P（2，t），‎ ‎∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，‎ ‎∴Q（4，5）；‎ 综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎6．（2017•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G．‎ ‎（1）填空：OA的长是　8　，∠ABO的度数是　30　度；‎ ‎（2）如图2，当DE∥AB，连接HN．‎ ‎①求证：四边形AMHN是平行四边形；‎ ‎②判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；‎ ‎（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQ∥OB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KI∥OB，在KI上取一点P，使得∠PDK=45°（点P，Q在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）先求抛物线与两坐标轴的交点坐标，表示OA和OB的长，利用正切值可得∠ABO=30°；‎ ‎（2）①根据三角形的中位线定理证明HN∥AM，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得结论；‎ ‎②如图1，作垂线段DR，根据直角三角形30度角的性质求DR=2，可知：点D的横坐标为﹣2，由抛物线的解析式可计算对称轴是直线：x=﹣=﹣2，所以点D在该抛物线的对称轴上；‎ ‎（3）想办法求出P、Q的坐标即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）当x=0时，y=8，‎ ‎∴B（0，8），‎ ‎∴OB=8，‎ 当y=0时，y=﹣x2﹣x+8=0，‎ x2+4x﹣96=0，‎ ‎（x﹣8）（x+12）=0，‎ x1=8，x2=﹣12，‎ ‎∴A（8，0），‎ ‎∴OA=8，‎ 在Rt△AOB中，tan∠ABO===，‎ ‎∴∠ABO=30°，‎ 故答案为：8，30；‎ ‎（2）①证明：∵DE∥AB，‎ ‎∴，‎ ‎∵OM=AM，‎ ‎∴OH=BH，‎ ‎∵BN=AN，‎ ‎∴HN∥AM，‎ ‎∴四边形AMHN是平行四边形；‎ ‎②点D在该抛物线的对称轴上，‎ 理由是：如图1，过点D作DR⊥y轴于R，‎ ‎∵HN∥OA，‎ ‎∴∠NHB=∠AOB=90°，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠DHB=∠OBA=30°，‎ ‎∵Rt△CDE≌Rt△ABO，‎ ‎∴∠HDG=∠OBA=30°，‎ ‎∴∠HGN=2∠HDG=60°，‎ ‎∴∠HNG=90°﹣∠HGN=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴∠HDN=∠HND，‎ ‎∴DH=HN=OA=4，‎ ‎∴Rt△DHR中，DR=DH==2，‎ ‎∴点D的横坐标为﹣2，‎ ‎∵抛物线的对称轴是直线：x=﹣=﹣=﹣2，‎ ‎∴点D在该抛物线的对称轴上；‎ ‎（3）如图3中，连接PQ，作DR⊥PK于R，在DR上取一点T，使得PT=DT．设PR=a．‎ ‎∵NA=NB，‎ ‎∴HO=NA=NB，‎ ‎∵∠ABO=30°，‎ ‎∴∠BAO=60°，‎ ‎∴△AON是等边三角形，‎ ‎∴∠NOA=60°=∠ODM+∠OMD，‎ ‎∵∠ODM=30°，‎ ‎∴∠OMD=∠ODM=30°，‎ ‎∴OM=OD=4，易知D（﹣2，﹣2），Q（﹣2，10），‎ ‎∵N（4，4），‎ ‎∴DK=DN==12，‎ ‎∵DR∥x轴，‎ ‎，∴∠KDR=∠OMD=30°‎ ‎∴RK=DK=6，DR=6，‎ ‎∵∠PDK=45°，‎ ‎∴∠TDP=∠TPD=15°，‎ ‎∴∠PTR=∠TDP+∠TPD=30°，‎ ‎∴TP=TD=2a，TR=a，‎ ‎∴a+2a=6，‎ ‎∴a=12﹣18，‎ 可得P（﹣2﹣6，10﹣18），‎ ‎∴PQ==12．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、锐角三角函数、30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎7．（2017•宁波）如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．‎ ‎（1）求c的值及直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．‎ ‎①求证：△APM∽△AON；‎ ‎②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，则可证得△APM∽△AON；‎ ‎②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得=9++c，解得c=﹣3，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，‎ 令y=0可得x2+x﹣3=0，解得x=﹣4或x=3，‎ ‎∴A（﹣4，0），‎ 设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），‎ 把A、C坐标代入可得，解得，‎ ‎∴直线AC的函数表达式为y=x+3；‎ ‎（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==，在RtAOD中，tan∠OAD==，‎ ‎∴∠OAB=∠OAD，‎ ‎∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，‎ ‎∴OM=MP，‎ ‎∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，‎ ‎∴∠APM=∠AON，‎ ‎∴△APM∽△AON；‎ ‎②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，‎ ‎∵点M的横坐标为m，‎ ‎∴AE=m+4，AP=2m+4，‎ ‎∵tan∠OAD=，‎ ‎∴cos∠EAM=cos∠OAD=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AM=AE=，‎ ‎∵△APM∽△AON，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴AN=．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在（2）①中确定出两对对应角相等是解题的关键，在（2）②中用m表示出AP的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎8．（2017•自贡）抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）由tan∠ABC=4，可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），可得抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），求出m的值即可解决问题；‎ ‎（2）设P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H，根据S△PBC=S△PHC+S△PHB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题；‎ ‎（3）不存在．假设存在，由题意由题意可知，且1＜﹣＜2，首先求出整数a的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵tan∠ABC=4‎ ‎∴可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），‎ ‎∴可以假设抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），‎ 把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=4（x﹣3）（x﹣1），‎ ‎∴y=4x2﹣16x+12，‎ ‎（2）如图，设D（m，4m2﹣16m+12）．作DH∥OC交BC于H．‎ ‎∵B（3，0），C（0，12），‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣4x+12，‎ ‎∴H（m，﹣4m+12），‎ ‎∴S△DBC=S△DHC+S△DHB=•（﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）•3=﹣6（m﹣）2+，‎ ‎∵﹣6＜0，‎ ‎∴m=时，△DBC面积最大，‎ 此时D（，﹣3）．‎ ‎（3）不存在．‎ 理由：假设存在．由题意可知，‎ 且1＜﹣＜2，‎ ‎∴4＜a＜8，‎ ‎∵a是整数，‎ ‎∴a=5 或6或7，‎ 当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．‎ 当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．‎ 当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．‎ 综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积，不等式组等整数，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎9．（2017•日照模拟）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．‎ ‎（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；‎ ‎（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）令抛物线y=x2﹣2x﹣3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），求出P、E的坐标，用x表示出线段PE的长，求出PE的最大值，进而求出△ACE的面积最大值；‎ ‎（3）根据D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为M（0，1），则四边形DMNQ的周长最小，求出直线CM的解析式为y=﹣2x+1，进而求出最小值和点M，N的坐标；‎ ‎（4）结合图形，分两类进行讨论，①CF平行x轴，如图1，此时可以求出F点两个坐标；②CF不平行x轴，如题中的图2，此时可以求出F点的两个坐标．‎ ‎【解答】解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0）；‎ 将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，‎ ‎∴C（2，﹣3），‎ ‎∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1，‎ ‎（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），‎ 则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），‎ ‎∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2，‎ ‎∴当x=时，PE的最大值=，‎ ‎△ACE的面积最大值=PE[2﹣（﹣1）]=PE=，‎ ‎（3）D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为K（0，1），‎ 连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y=﹣2x+1，此时四边形DMNQ的周长最小，‎ 最小值=|CM|+QD=2+2，‎ 求得M（1，﹣1），N（，0）．‎ ‎（4）存在如图1，若AF∥CH，此时的D和H点重合，CD=2，则AF=2，‎ 于是可得F1（1，0），F2（﹣3，0），‎ 如图2，根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同，‎ 再根据|HA|=|CF|，‎ 求出F4（4﹣，0），F3．‎ 综上所述，满足条件的F点坐标为F1（1，0），F2（﹣3，0），F3，F4（4﹣，0）．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握对称的知识和分类讨论解决问题的思路，此题难度较大．‎ ‎　‎ ‎10．（2017•黄冈模拟）如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．‎ ‎（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；‎ ‎（2）四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值；‎ ‎（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，‎ 可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），‎ 又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，‎ 得，‎ 解得 所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；‎ ‎（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：‎ 由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，‎ ‎∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，‎ 则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，‎ ‎∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；‎ ‎（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：‎ ‎∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知顶点坐标（2，4），‎ ‎∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，‎ 过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，‎ 这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+，x2=2﹣‎ ‎∴N点坐标为N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质、利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最大值问题和函数图象的交点问题，题目的综合性很强，对学生的综合解题能力要求很高．‎ ‎　‎ ‎11．（2017•临海市模拟）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=x2+bx+c交于第四象限的F点．‎ ‎（1）求该抛物线解析式与F点坐标；‎ ‎（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．‎ ‎①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．‎ ‎②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）由矩形的性质可求出C点的坐标，把B和C点的坐标代入y=x2+bx+c求出b和c的值即可该抛物线解析式；设直线AD的解析式为y=k1x+b1把A（4，0）、D（2，3）代入求出一次函数的解析式，再联立二次函数和一次函数的解析式即可求出F点的坐标；‎ ‎（2）①连接CF交x轴于H′，过H′作BC的垂线交BC于P′，当P运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小；②过M作MN⊥OA交OA于N，再分别讨论当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，当PH=PM时，求出符合题意的t值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）‎ ‎∴C点坐标为（0，3）‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴该抛物线解析式y=﹣x2+2x+3，‎ 设直线AD的解析式为y=k1x+b1‎ ‎∵A（4，0）、D（2，3），‎ ‎∴∴，‎ ‎∴，‎ 联立，‎ ‎∵F点在第四象限，‎ ‎∴F（6，﹣3）；‎ ‎（2）①∵E（0，6），∴CE=CO，（如图（1）），‎ 连接CF交x轴于H′，过H′作BC的垂线交BC于P′，当P 运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小．‎ 设直线CF的解析式为y=k2x+b2‎ ‎∵C（0，3）、F（6，﹣3），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴y=﹣x+3‎ 当y=0时，x=3，‎ ‎∴H′（3，0），‎ ‎∴CP=3，∴t=3；‎ ‎②如图1过M作MN⊥OA交OA于N，‎ ‎∵△AMN∽△AEO，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴AN=t，MN=，‎ I如图3，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，‎ ‎∴MN=PH，‎ ‎∴MN=，‎ ‎∴t=1；‎ II如图1，当HM=HP时，MH=3，MN=，‎ HN=OA﹣AN﹣OH=4﹣2t 在Rt△HMN中，MN2+HN2=MH2，‎ ‎∴，‎ 即25t2﹣64t+28=0，‎ 解得：t1=2（舍去），；‎ III如图2，图4，当PH=PM时，‎ ‎∵PM=3，MT=，PT=BC﹣CP﹣BT=|4﹣2t|，‎ ‎∴在Rt△PMT中，MT2+PT2=PM2，‎ 即，‎ ‎∴25t2﹣100t+64=0，‎ 解得：，‎ 综上所述：，，1，．‎ ‎【点评】本题主要考查了矩形的性质、用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、一次函数和二次函数交点的问题、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，题目的综合性很强，解题的关键是利用数形结合进行分类讨论是解决问题的关键，分析时注意不要漏解．‎ ‎　‎ ‎12．（2017•肥城市二模）如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题；31 ：数形结合；32 ：分类讨论．‎ ‎【分析】（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解．‎ ‎（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=﹣x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件．‎ ‎（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）把A（1，﹣4）代入y=kx﹣6，得k=2，‎ ‎∴y=2x﹣6，‎ 令y=0，解得：x=3，‎ ‎∴B的坐标是（3，0）．‎ ‎∵A为顶点，‎ ‎∴设抛物线的解析为y=a（x﹣1）2﹣4，‎ 把B（3，0）代入得：4a﹣4=0，‎ 解得a=1，‎ ‎∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．‎ ‎（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，‎ 此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=﹣x．‎ 设P（m，﹣m），则﹣m=m2﹣2m﹣3，解得m=（m=＞0，舍），‎ ‎∴P（，）．‎ ‎（3）①如图，当∠Q1AB=90°时，△DAQ1∽△DOB，‎ ‎∴=，即=，∴DQ1=，‎ ‎∴OQ1=，即Q1（0，）；‎ ‎②如图，当∠Q2BA=90°时，△BOQ2∽△DOB，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴OQ2=，即Q2（0，）；‎ ‎③如图，当∠AQ3B=90°时，作AE⊥y轴于E，‎ 则△BOQ3∽△Q3EA，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴OQ32﹣4OQ3+3=0，∴OQ3=1或3，‎ 即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．‎ 综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用等重点知识．（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论．‎ ‎　‎ ‎13．（2017•大庆模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线 经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．‎ ‎（1）求n的值和抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；‎ ‎（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；‎ ‎（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；‎ ‎（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，然后分①点O1、B1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；②点A1、B1在抛物线上时，表示出点B1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），‎ ‎∴m=﹣1，‎ ‎∴直线l的解析式为y=x﹣1，‎ ‎∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），‎ ‎∴n=×4﹣1=2，‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；‎ ‎（2）令y=0，则x﹣1=0，‎ 解得x=，‎ ‎∴点A的坐标为（，0），‎ ‎∴OA=，‎ 在Rt△OAB中，OB=1，‎ ‎∴AB===，‎ ‎∵DE∥y轴，‎ ‎∴∠ABO=∠DEF，‎ 在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，‎ DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，‎ ‎∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，‎ ‎∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），‎ ‎∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），‎ ‎∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，‎ ‎∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，‎ ‎∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，‎ ‎∴当t=2时，p有最大值；‎ ‎（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，‎ ‎∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，‎ ‎①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，‎ ‎∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，‎ 解得x=，‎ ‎②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，‎ ‎∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，‎ 解得x=﹣，‎ 综上所述，点A1的横坐标为或﹣．‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，注意要分情况讨论．‎ ‎　‎ ‎14．（2017•吉州区模拟）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，动点P、Q同时从A点出发，点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t=2秒时，求证：PQ=CP；‎ ‎（2）当2＜t≤4时，等式“PQ=CP”仍成立吗？试说明其理由；‎ ‎（3）设△CPQ的面积为S，那么S与t之间的函数关系如何？并问S的值能否大于正方形ABCD面积的一半？为什么？‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题；25 ：动点型；32 ：分类讨论．‎ ‎【分析】（1）当t=2时，P恰好是AB的中点，求证△CBP≌△DAP后可得PQ=CP．‎ ‎（2）当2＜t≤4时，过Q点作QE⊥AB于E，求出AE=QD=2t﹣4，AP=t，PE=t﹣（2t﹣4），PB=4﹣t，求证△CBP≌△DEP，推出PC=PQ仍然成立 ‎（3）本题分两种情况解答：当0≤t≤2时，S=16﹣S△APQ﹣S△PBC﹣S△CDQ化简可得S关于t的二次函数式．当2＜t≤4时，QD=2t﹣4，CQ=4﹣（2t﹣4）作PF⊥CQ求出S关于t的二次函数式，分别根据二次函数的性质对两种情况进行判断．‎ ‎【解答】（1）证明：当t=2时，（如图1），Q与D重合，P恰好是AB的中点，△CBP≌△DAP，‎ 则PQ=CP；‎ ‎（2）解：当2＜t≤4时，如图2）Q在CD上，‎ 过Q作QE⊥AB于E，AE=QD=2t﹣4，AP=t．‎ PE=t﹣（2t﹣4）=4﹣t．‎ PB=4﹣t，PB=PE，BC=EQ ‎∴△CBP≌△QEP，‎ ‎∴PC=PQ仍然成立 ‎（3）解：当0≤t≤2时，（如图3），S=16﹣S△APQ﹣S△PBC﹣S△CDQ=，‎ S=﹣t2+6t，‎ 当2＜t≤4时，QD=2t﹣4，CQ=4﹣（2t﹣4）=8﹣2t．‎ 过P作PF⊥CQ，则PF=4．S=×4（8﹣2t）=﹣4t+16‎ 又∵S=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9开口向下对称轴为t=3，‎ ‎∴0≤t≤2时，S随t增大而增大，‎ 当t=2时，S取得最大值为8．‎ 又∵S=﹣4t+16，‎ ‎∵2＜t≤4‎ ‎∴2＜≤4‎ 即8＞s≥0，‎ ‎∴S的值不可能超过正方形面积的一半8．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的性质，正方形的性质以及全等三角形的判定，难度偏大．‎ ‎　‎ ‎15．（2017•重庆模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）点D是线段BC中点，点E是BC上方抛物线上一动点，连接CE，DE．当△CDE的面积最大时，过点E作y轴垂线，垂足为F，点P为线段EF上一动点，将△CEF绕点C沿顺时针方向旋转90°，点F，P，E的对应点分别是F′，P′，E′，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到点F′处，再沿F′C运动到点C处，最后沿适当的路径运动到点P′处停止．求△CDE面积的最大值及点Q经过的最短路径的长；‎ ‎（3）如图2，直线BH经过点B与y轴交于点H（0，3）动点M从O出发沿OB方向以每秒1个单位长度向点B运动，同时动点N从B点沿BH方向以每秒2个单位长度的速度向点H运动，当点N运动到H点时，点M，点N同时停止运动，设运动时间为t．运动过程中，过点N作OB的平行线交y轴于点I，连接MI，MN，将△MNI沿NI翻折得△M′NI，连接HM′，当△M′HN为等腰三角形时，求t的值．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）先令y=0和x=0分别求抛物线与x轴和y轴的交点A、B、C的坐标，利用待定系数法求直线BC的解析式；‎ ‎（2）如图1，根据△CDE中CD是定值，作高线EG，则EG最大时，面积最大，作BC的平行线l，当直线l与抛物线有一个交点时，即△=0时，求E的坐标，并求出此时△CDE面积；‎ 根据轴对称的最短路径问题作图：作C关于EF的对称点C'，连接C'F'交EF于P，确定P点后，再根据勾股定理分别求PF'和CP'，可得结论即可；‎ ‎（3）当△M′HN为等腰三角形时，分三种情况讨论，分别建立方程计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）当y=0时，﹣x2+x+2=0，‎ 解得x=4或﹣1，‎ ‎∵点A在点B的左侧，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（4，0），‎ 当x=0时，y=2，‎ ‎∴C（0，2），‎ 设直线BC的解析式为：y=kx+b，‎ 把B（4，0）和C（0，2）代入得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2；‎ ‎（2）∵直线BC一定，点D是线段BC中点，‎ ‎∴CD是定值，‎ 过E作EG⊥CD于G，则当EG最大时，△CDE面积有最大值，‎ 在BC的上方，作直线BC的平行线l，当直线l与抛物线有一个交点时，则交点为E，此时，△CDE面积最大，‎ 设直线l：y=﹣x+n，‎ 则，‎ ‎﹣=﹣x+n，‎ ‎﹣+2x+2﹣n=0，‎ ‎△=﹣4×=0，‎ ‎12+2（）=0，‎ ‎24=2n，‎ n=4，‎ ‎﹣+2x+2﹣4=0，‎ x2﹣4x+4=0，‎ x1=x2=2，‎ ‎∴E（2，3），‎ ‎∵点D是线段BC中点，‎ ‎∴D（2，），‎ ‎∴DE⊥x轴，且DE=3﹣=2，‎ 此时，S△DCE=DE•xD=×=2；‎ ‎∵C（0，2），E（2，3），EF⊥y轴，‎ ‎∴CF=3﹣2=，EF=2，‎ 如图2，作C关于EF的对称点C'，连接C'F'交EF于P，则P就是所求的动点，‎ 由旋转得：CF′=CF=，‎ ‎∵CC'=2CF=2，‎ 由勾股定理得：C'F'==，CP'==，‎ ‎∴PF'=C'F'=，‎ ‎∴点Q的最短路径是：PF′+F′C+CP′=++=+；‎ 则△CDE面积的最大值是2，点Q经过的最短路径的长为+；‎ ‎（3）由题意得：OM=t，BN=2t，则BM=4﹣t，HN=5﹣2t，‎ 分三种情况：‎ ‎①当HN=NM′时，如图3，‎ 由折叠得：NM′=NM，‎ 过N作ND⊥x轴于D，连接MM′，则IN是MM′的中垂线，‎ sin∠HBO=，‎ ‎∴，‎ ‎∴ND=，‎ 同理得：BD=，‎ ‎∴DM=BD﹣BM=﹣（4﹣t）=﹣4，‎ ‎∵HN=NM，‎ ‎∴，‎ ‎21t2﹣4t﹣45=0，‎ t1=，t2=（舍）；‎ ‎②当HN=HM′时，如图4，过M′作M′G⊥y轴于G，‎ 由①得：OG=MM′=2DN=，OM=M′G=m，‎ ‎∴GH=﹣3，‎ 在Rt△GHM′中，M′G2+GH2=M′H2，‎ ‎∴t2+=（5﹣2t）2，‎ ‎69t2+140t﹣400=0，‎ t1=（舍），t2=，‎ ‎③当M′H=M′N时，如图5，‎ 同理得：HM′=M′N=MN，‎ 在Rt△HGM′和Rt△DNM中，GH2+GM′2=DM2+DN2，‎ ‎∴t2+=+，‎ ‎36t2﹣160t+175=0，‎ ‎（2t﹣5）（18t﹣35）=0，‎ t1=（舍），t2=，‎ 综上所述，当△M′HN为等腰三角形时，t的值是或或．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点、利用待定系数法求直线的解析式、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、动点运动问题以及最短路径问题，第三问有难度，采取了分类讨论的思想，并与方程相结合，利用勾股定理和等腰三角形的性质列方程解决问题．‎ ‎　‎ ‎16．（2017•海南模拟）如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎（2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线a∥y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，△BCE的面积为S．‎ ‎①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎②求S的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；‎ ‎（3）过点P作直线b∥x轴（图2），交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据直线解析式令y=0求解得到点B的坐标，令x=0得到点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；‎ ‎（2）①根据直线和抛物线解析式表示出EP的长度，再根据△BCE的面积等于△CEP的面积和△BEP的面积之和列式整理即可得解，再根据点P在线段BC上确定出m的取值范围；‎ ‎②把二次函数整理成顶点式形式，然后根据最值问题求出S的最大值，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OE=BE，判断出△OBE是等腰三角形；‎ ‎（3）根据抛物线解析式求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，再根据点P的横坐标求出点P的纵坐标，再求出点Q的横坐标，然后求出PQ的长，再根据等腰直角三角形的性质分PQ是斜边和底边两种情况讨论求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）在y=﹣x+2中，令y=0，得﹣x+2=0，解得x=3，‎ 令x=0，得y=2，‎ ‎∴B（3，0），C（0，2），‎ 设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），‎ ‎∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，2），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线解析式为，y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）①∵点P的横坐标为m，过点P作直线a∥y轴，‎ ‎∴EP=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，‎ ‎∴△BCE的面积为S=EP•|xB﹣xC|=×（﹣m2+2m）×|3﹣0|=﹣m2+3m，‎ ‎∵P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），‎ ‎∴0＜m＜3，‎ ‎∴S与m之间的函数关系式为：S=﹣m2+3m（0＜m＜3）；‎ ‎②∵S=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，‎ ‎∴当m=时，S最大值=，‎ 当m=时，P是BC的中点，OE=BE，EF=，‎ ‎∴△OBE是等腰三角形；‎ ‎（3）令y=0，则﹣x2+x+2=0，‎ 整理得，x2﹣2x﹣3=0，‎ 解得x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴点A（﹣1，0），‎ 易得直线AC的解析式为y=2x+2，‎ ‎∵点P的横坐标为m，‎ ‎∴点P的纵坐标为﹣m+2，‎ ‎∴点Q的纵坐标为﹣m+2，‎ 代入直线AC得，2x+2=﹣m+2，‎ 解得x=﹣m，‎ ‎∴PQ=m﹣（﹣m）=m，‎ ‎①当PQ是等腰直角三角形△PQR的直角边时，‎ m=﹣m+2，‎ 解得m=1，‎ ‎∴QR是直角边时，点R1（﹣，0），‎ PQ是直角边时，点R2（1，0），‎ ‎②PQ是等腰直角三角形△PQR的斜边时，‎ ‎×m=﹣m+2，‎ 解得m=，‎ ‎∴PQ=m=×=2，‎ OR=m﹣PQ=﹣×2=，‎ ‎∴点R3（，0），‎ 综上所述，x轴上存在点R（﹣，0）或（1，0）或（，0），使得△PQR为等腰直角三角形．‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题，主要利用了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的性质，（2）根据两函数图象解析式表示EP是解题的关键，（3）难点在于要分情况讨论并根据等腰直角三角形的性质列出方程．‎ ‎　‎ ‎17．（2017•广陵区校级一模）已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，点B坐标为（10，10），点P从O出发沿O→C→B运动，速度为1个单位每秒，连接AP．设运动时间为t．‎ ‎（1）若抛物线y=﹣（x﹣h）2+k经过A、B两点，求抛物线函数关系式；‎ ‎（2）当0≤t≤10时，如图1，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交边BC于点D，连接AD，PD，设△APD的面积为S，求S的最小值；‎ ‎（3）在图2中以A为圆心，OA长为半径作⊙A，当0≤t≤20时，过点P作PQ⊥x轴（Q在P的上方），且线段PQ=t+12：‎ ‎①当t在什么范围内，线段PQ与⊙A只有一个公共点？当t在什么范围内，线段PQ与⊙A有两个公共点？‎ ‎②请将①中求得的t的范围作为条件，证明：当t取该范围内任何值时，线段PQ与⊙A总有两个公共点．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线y=﹣（x﹣h）2+k经过A、B两点，即可得到抛物线的对称轴，把点B坐标（10，10）代入，即可得到抛物线函数关系式；‎ ‎（2）先根据△AOP≌△OCD，得出OP=CD=t，进而得到CP=10﹣t，BD=10﹣t，再根据S△ADP=S正方形ABCO﹣S△AOP﹣S△ABD﹣S△CDP，可得当0≤t≤10时，S=t2﹣5t+50，最后配方，得S的最小值；‎ ‎（3）①根据点Q落在⊙A上时t的值，以及点P与点C重合，与点B重合时t的值，即可得到线段PQ与⊙A只有一个公共点时，t的取值范围，以及线段PQ与⊙A有两个公共点时，t的取值范围；②证明线段与圆由2个公共点需要证明两点：圆与线段所在直线相交（有2个公共点）；线段的两端点都在圆外．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣（x﹣h）2+k经过A、B两点，‎ ‎∴根据对称性可知h=5，‎ 将B（10，10）代入y=﹣（x﹣5）2+k，可得10=﹣25+k，‎ 解得k=35，‎ ‎∴抛物线函数关系式为y=﹣（x﹣5）2+35；‎ ‎（2）如图1，∵OD⊥AP，∠AOP=90°，‎ ‎∴∠OAP+∠AOD=∠COD+∠AOD=90°，‎ ‎∴∠OAP=∠COD，‎ 又∵∠AOP=∠OCD=90°，AO=OC，‎ ‎∴△AOP≌△OCD，‎ ‎∴OP=CD=t，‎ ‎∴CP=10﹣t，BD=10﹣t，‎ ‎∵S△ADP=S正方形ABCO﹣S△AOP﹣S△ABD﹣S△CDP，‎ ‎∴当0≤t≤10时，S=10×10﹣×10t﹣t（10﹣t）﹣×10（10﹣t）=t2﹣5t+50，‎ 配方，得S=（t﹣5）2+，‎ ‎∴当t=5时，Smin=；‎ ‎（3）①如图，当点Q在⊙A上时，连接AQ，‎ ‎∵PQ=12+t，PR=BC=10，‎ ‎∴RQ=2+t，‎ 又∵AQ=AB=10，AR=OP=t，‎ ‎∴Rt△ARQ中，t2+（t+2）2=102，‎ 解得t1=6，t2=﹣8（舍去），‎ ‎∴当t=6时，点Q落在⊙A上；‎ 如图，当P在CB上时，CQ与⊙A相切，‎ 当点P与点C重合时，t=10；当点P与点B重合时，t=20；‎ ‎∴当0≤t＜6或10≤t≤20时，线段PQ与⊙A只有一个公共点；‎ 当6≤t＜10时，线段PQ与⊙A有两个公共点；‎ ‎②如图，当6≤t＜10时，AR=t＜10，‎ ‎∴⊙A与直线PQ相交，‎ 又∵AP2=AO2+OP2=100+t2，即AP＞10，‎ ‎∴点P在⊙A外，‎ 又∵AQ2=AR2+RQ2=t2+（t+2）2，r2=100，‎ ‎∴AQ2﹣r2=t2+（t+2）2﹣100=2（t+1）2﹣98，‎ ‎∴当6≤t＜10时，2（t+1）2﹣98≥0，‎ ‎∴点Q在⊙A上或⊙A外，‎ 综上所述，当6≤t＜10时，线段PQ与⊙A总有两个公共点．‎ ‎【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法的运用，二次函数的最值，直线与圆的位置关系以及勾股定理的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．‎ ‎　‎ ‎18．（2016秋•邗江区期末）如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．‎ ‎（1）点A的坐标为　（4，0）　，线段OB的长=　5　；‎ ‎（2）设点C的横坐标为m ‎①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；‎ ‎②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题；D6：两点间的距离公式；HA：抛物线与x轴的交点；L7：平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题；31 ：数形结合；34 ：方程思想．‎ ‎【分析】（1）根据y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x，可求得A（4，0），解方程组，可得B（5，5），进而得出OB的长；‎ ‎（2）①根据C（m，m），F（m，m2﹣4m），可得CF=m﹣（m2﹣4m），根据D（m+，m+），E（m+，（m+）2﹣4（m+）），可得DE=m+﹣[（m+）2﹣4（m+）]，最后根据当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，求得m的值即可；‎ ‎②先过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，得出AC=DG，再作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，根据当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，可得此时AC+AD最短，然后求得直线A'G的解析式为y=﹣x+4，解方程组可得D（2+，2+），C（2﹣，2﹣），最后根据两点间距离公式，求得△ACD的周长的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x，‎ 解得x1=0，x2=4，‎ ‎∴A（4，0），‎ 解方程组，可得 或，‎ ‎∴B（5，5），‎ ‎∴OB==5．‎ 故答案为：（4，0），5；‎ ‎（2）①∵点C的横坐标为m，且CF∥DE∥y轴，‎ ‎∴C（m，m），F（m，m2﹣4m），‎ 又∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，‎ ‎∴D（m+，m+），E（m+，（m+）2﹣4（m+）），‎ ‎∴CF=m﹣（m2﹣4m），DE=m+﹣[（m+）2﹣4（m+）]，‎ ‎∵当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，‎ ‎∴m﹣（m2﹣4m）=m+﹣[（m+）2﹣4（m+）]，‎ 解得m=；‎ ‎②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，‎ ‎∴AC=DG，‎ 作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，‎ ‎∴当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，此时AC+AD最短，‎ ‎∵A（4，0），AG=CD=2，‎ ‎∴A'（0，4），G（4+，），‎ 设直线A'G的解析式为y=kx+b，则 ‎，解得，‎ ‎∴直线A'G的解析式为y=﹣x+4，‎ 解方程组，可得，‎ ‎∴D（2+，2+），‎ ‎∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，‎ ‎∴C（2﹣，2﹣），‎ ‎∴点C的横坐标m=2﹣，‎ 由A（4，0），C（2﹣，2﹣）可得，AC==3，‎ 由A（4，0），D（2+，2+）可得，AD==3，‎ 又∵CD=2，‎ ‎∴△ACD的周长=CD+AC+AD=2+3+3=8，‎ 故当m=2﹣时，△ACD的周长最小，这个最小值为8．‎ ‎【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的计算，两点间的距离公式，待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据平行四边形的对边相等以及两点之间线段最短进行计算求解．解题时注意方程思想和数形结合思想的运用．‎ ‎　‎ ‎19．（2016•邻水县模拟）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；‎ ‎（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题；25 ：动点型；26 ：开放型．‎ ‎【分析】（1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形AOC直角边OA的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系式．‎ ‎（3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种情况进行讨论：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵OB=OC=3，‎ ‎∴B（3，0），C（0，3）‎ ‎∴，‎ 解得1分 ‎∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）‎ 设直线MB的解析式为y=kx+n，‎ 则有 解得 ‎∴直线MB的解析式为y=﹣2x+6‎ ‎∵PQ⊥x轴，OQ=m，‎ ‎∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）‎ S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AO•CO+（PQ+CO）•OQ（1≤m＜3）‎ ‎=×1×3+（﹣2m+6+3）•m=﹣m2+m+；‎ ‎（3）线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC为等腰三角形 CM=，CN=，MN=‎ ‎①当CM=NC时，，‎ 解得x1=，x2=1（舍去）‎ 此时N（，）‎ ‎②当CM=MN时，，‎ 解得x1=1+，x2=1﹣（舍去），‎ 此时N（1+，4﹣）‎ ‎③当CN=MN时，=‎ 解得x=2，此时N（2，2）．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•日照）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：‎ ‎（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题；IC：线段的性质：两点之间线段最短；LD：矩形的判定与性质；P2：轴对称的性质；S9：相似三角形的判定与性质；T1：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；‎ ‎（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ=∠CAB时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得 ‎，‎ 解得：．‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．‎ 联立，‎ 解得：或，‎ ‎∴点B的坐标为（4，1）．‎ 过点B作BH⊥x轴于H，如图1．‎ ‎∵C（3，0），B（4，1），‎ ‎∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，‎ ‎∴BH=CH=1．‎ ‎∵∠BHC=90°，‎ ‎∴∠BCH=45°，BC=．‎ 同理：∠ACO=45°，AC=3，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，‎ ‎∴tan∠BAC===；‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ ‎（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．‎ 过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．‎ 设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．‎ ‎∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠APQ=∠ACB=90°．‎ 若点G在点A的下方，‎ ‎①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．‎ ‎∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，‎ ‎∴△PGA∽△BCA，‎ ‎∴==．‎ ‎∴AG=3PG=3x．‎ 则P（x，3﹣3x）．‎ 把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得 x2﹣x+3=3﹣3x，‎ 整理得：x2+x=0‎ 解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．‎ ‎②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．‎ 同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x），‎ 把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得 x2﹣x+3=3﹣x，‎ 整理得：x2﹣x=0‎ 解得：x1=0（舍去），x2=，‎ ‎∴P（，）；‎ 若点G在点A的上方，‎ ‎①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，‎ 同理可得：点P的坐标为（11，36）．‎ ‎②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．‎ 同理可得：点P的坐标为P（，）．‎ 综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；‎ 方法二：‎ 作△APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，‎ ‎∴，‎ ‎∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，‎ ‎∴或，‎ 设P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），‎ ‎①，∴||=，‎ ‎∴2t1=，2t2=，‎ ‎②∴||=3‎ ‎∴2t1=11，2t2=﹣1，（舍），‎ ‎∴满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；‎ ‎（2）方法一：‎ 过点E作EN⊥y轴于N，如图3．‎ 在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，‎ ‎∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN．‎ 作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，‎ 则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，‎ ‎∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．‎ 根据两点之间线段最短可得：‎ 当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．‎ 此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，‎ ‎∴四边形OCD′N是矩形，‎ ‎∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．‎ 对于y=x2﹣x+3，‎ 当y=0时，有x2﹣x+3=0，‎ 解得：x1=2，x2=3．‎ ‎∴D（2，0），OD=2，‎ ‎∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，‎ ‎∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，‎ ‎∴点E的坐标为（2，1）．‎ 方法二：‎ 作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE=D′E，‎ 作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4，‎ 在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，‎ ‎∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小，‎ ‎∵A（0，3），C（3，0），‎ ‎∴lAC：y=﹣x+3，‎ ‎∴M（m，﹣m+3），D（2，0），‎ ‎∵DM⊥AC，∴KDM×KAC=﹣1，‎ ‎∴﹣1×，‎ ‎∴m=，∴M（，），‎ ‎∵M为DD′的中点，‎ ‎∴D′（3，1），‎ ‎∵EY=D′Y=1，‎ ‎∴E（2，1）．‎ 方法三：如图，5，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．‎ ‎∵A（0，3），C（3，0），‎ ‎∴lAC：y=﹣x+3．‎ ‎∵OA=OC，∠AOC=90°，‎ ‎∴∠ACO=45°，‎ ‎∵AF∥OC，‎ ‎∴∠FAE=45°．‎ ‎∴EF=AE•sin45°=．‎ ‎∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t=+=DE+EF，‎ ‎∵抛物线的解析式为y=x2﹣x+3，且C（3，0），‎ ‎∴可求得D点坐标为（2，0）‎ 则E点横坐标为2，将x=2代入lAC：y=﹣x+3．，得y=1．‎ 所以E（2，1）．‎ ‎【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形 ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）求点P的坐标；‎ ‎（3）求证：CE=EF；‎ ‎（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；‎ ‎（2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；‎ ‎（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；‎ ‎（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，可以证得EM=EF，即M与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾，故M不存在．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，将点A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2，‎ 解这个方程，得a=，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+1=x2﹣x+2；‎ ‎（2）将x=2代入y=x，得y=2‎ ‎∴点C的坐标为（2，2）即CG=2，‎ ‎∵△PCQ为等边三角形 ‎∴∠CQP=60°，CQ=PQ，‎ ‎∵PQ⊥x轴，‎ ‎∴∠CQG=30°，‎ ‎∴CQ=4，GQ=2．‎ ‎∴OQ=2+2，PQ=4，‎ 将y=4代入y=（x﹣2）2+1，得4=（x﹣2）2+1‎ 解这个方程，得x1=2+2=OQ，x2=2﹣2＜0（不合题意，舍去）．‎ ‎∴点P的坐标为（2+2，4）；‎ ‎（3）把y=x代入y=x2﹣x+2，得x=x2﹣x+2‎ 解这个方程，得x1=4+2，x2=4﹣2＜2（不合题意，舍去）‎ ‎∴y=4+2=EF ‎∴点E的坐标为（4+2，4+2）‎ ‎∴OE==4+4，‎ 又∵OC==2，‎ ‎∴CE=OE﹣OC=4+2，‎ ‎∴CE=EF；‎ ‎（4）不存在．‎ 如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE ‎∵∠QCP=60°，‎ ‎∴∠MCE=60°‎ 又∵CE=EF，‎ ‎∴EM=EF，‎ 又∵点E为直线y=x上的点，‎ ‎∴∠CEF=45°，‎ ‎∴点M与点F不重合．‎ ‎∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，‎ ‎∴原假设错误，满足条件的点M不存在．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．‎ ‎　‎ ‎22．（2015•泉州）阅读理解 抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．‎ 问题解决 如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．‎ ‎（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；‎ ‎（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．‎ ‎①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；‎ ‎②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题；KQ：勾股定理；LD：矩形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题；21 ：阅读型．‎ ‎【分析】（1）如图1，只需令x=0，即可得到点C的坐标．根据题意可得AC=AE，从而有∠AEC=∠ACE．易证AE∥CO，从而有∠AEC=∠OCE，即可得到∠ACE=∠OCE，同理可得∠OCF=∠‎ BCF，然后利用平角的定义即可证到∠ECF=90°；‎ ‎（2）①过点P作PH⊥EF于H，分点H在线段EF上（如图2①）和点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上（如图2②）两种情况讨论，然后只需运用勾股定理及平方差公式即可证到PE2+PF2﹣2PM2=2EM2，即PE2+PF2=2（PM2+EM2）；‎ ‎②连接CD，PM，如图3．易证▱CEDF是矩形，从而得到M是CD的中点，且MC=EM，然后根据①中的结论，可得：在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．由MC=EM可得PC2+PD2=PE2+PF2．根据PE=PF=3可求得PC2+PD2=18．根据1＜PD＜2可得1＜PD2＜4，即1＜18﹣PC2＜4，从而可求出PC的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当x=0时，y=k•0+1=1，‎ 则点C的坐标为（0，1）．‎ 根据题意可得：AC=AE，‎ ‎∴∠AEC=∠ACE．‎ ‎∵AE⊥EF，CO⊥EF，‎ ‎∴AE∥CO，‎ ‎∴∠AEC=∠OCE，‎ ‎∴∠ACE=∠OCE．‎ 同理可得：∠OCF=∠BCF．‎ ‎∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，‎ ‎∴2∠OCE+2∠OCF=180°，‎ ‎∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°；‎ ‎（2）①过点P作PH⊥EF于H，‎ Ⅰ．若点H在线段EF上，如图2①．‎ ‎∵M为EF中点，‎ ‎∴EM=FM=EF．‎ 根据勾股定理可得：‎ PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2‎ ‎=2PH2+EH2+HF2﹣2（PH2+MH2）‎ ‎=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2‎ ‎=（EH+MH）（EH﹣MH）+（HF+MH）（HF﹣MH）‎ ‎=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）‎ ‎=EM（EH+MH）+EM（HF﹣MH）‎ ‎=EM（EH+MH+HF﹣MH）‎ ‎=EM•EF=2EM2，‎ ‎∴PE2+PF2=2（PM2+EM2）；‎ Ⅱ．若点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上，如图2②．‎ 同理可得：PE2+PF2=2（PM2+EM2）．‎ 综上所述：当点H在直线EF上时，都有PE2+PF2=2（PM2+EM2）；‎ ‎②连接CD、PM，如图3．‎ ‎∵∠ECF=90°，‎ ‎∴▱CEDF是矩形，‎ ‎∵M是EF的中点，‎ ‎∴M是CD的中点，且MC=EM．‎ 由①中的结论可得：‎ 在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），‎ 在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．‎ ‎∵MC=EM，‎ ‎∴PC2+PD2=PE2+PF2．‎ ‎∵PE=PF=3，‎ ‎∴PC2+PD2=18．‎ ‎∵1＜PD＜2，‎ ‎∴1＜PD2＜4，‎ ‎∴1＜18﹣PC2＜4，‎ ‎∴14＜PC2＜17．‎ ‎∵PC＞0，‎ ‎∴＜PC＜．‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的定义，矩形的判定与性质、勾股定理、解不等式、平方差公式等知识，还考查了阅读理解能力、运用已有经验解决问题的能力，第（2）小题中，运用勾股定理是解决第①小题的关键，运用①中的结论是解决第②小题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（2015•潜江）已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，当S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；‎ ‎（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）代入y=ax2+bx+c，解方程组即可；‎ ‎（2）把C点坐标代入直线CD，由S△EOC=S△EAB得关于k、b的方程组，解方程组即可；‎ ‎（3）设CD的解析式为y=kx+﹣2k，当y=0和x=﹣1时，求出FH、EH、AH，根据tanα＞tanβ列不等式可求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣；‎ ‎（2）如图1所示，‎ 将C点坐标代入直线CD，得 ‎2k+b=①．‎ 当x=0时，y=b，即F（0，b），‎ 当x=﹣1时，y=﹣k+b，即E（﹣1，﹣k+b）．‎ 由S△EOC=S△EAB时，得×[2﹣（﹣1）]|b|=[1﹣（﹣3）]|（﹣k+b）|②．‎ 联立方程①②，得 ‎，‎ 解得或 故当S△EOC=S△EAB时，一次函数的解析式为y=x+或y=．‎ ‎（3）如图2所示，‎ ‎①当E点在x轴上方时，如图2所示，‎ 当α=β时，∵∠EHA=90°，∴∠AEC=90°，‎ ‎∴kAE=﹣，‎ ‎∵A（﹣3，0），E（﹣1，﹣k+b），‎ ‎∴=﹣，即k2﹣bk﹣2=0，‎ 联立方程 解得k=（k=舍去），‎ 随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越大，∠EAH的读数越来越小，当E点和H点重合时（如图3所示），α和β均等于0，此时联立方程，解得 因此当＜k＜且k≠0时，α＞β；‎ ‎②当E点在x轴下方时，如图4所示，‎ 当α=β时，∵∠EHA=90°，∴∠AEC=90°，‎ 根据①可得此时k=（k=舍去），‎ 随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越小，∠EAH的读数越来越大，‎ 因此当＜k＜时，α＞β．‎ 综上所述可得，当α＞β时，可得取值范围为﹣＜k＜（k≠0）或＜k＜时．‎ ‎【点评】本题考查的是一次函数、二次函数和锐角三角函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式和锐角三角函数的概念是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（2015•永春县自主招生）如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0．‎ ‎（1）如果m=﹣4，n=1，试判断△AMN的形状；‎ ‎（2）如果mn=﹣4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=﹣4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】153：代数几何综合题；16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据勾股定理可以求出AM．AN，MN的长度，根据勾股定理的逆定理就可以求出三角形是直角三角形．‎ ‎（2）AM．AN，MN的长度可以用m，n表示出来，根据m，n的关系就可以证明．‎ ‎（3）M、A、N的坐标已知，根据待定系数法局可以求出二次函数的解析式．‎ ‎（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，易证Rt△PNQ1∽Rt△ANM且Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似，根据相似三角形的对应边的比相等，得到就可以求出Q1Q2得到符合条件的点的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）△AMN是直角三角形．‎ 依题意得OA=2，OM=4，ON=1，‎ ‎∴MN=OM+ON=4+1=5‎ 在Rt△AOM中，AM===‎ 在Rt△AON中，AN===‎ ‎∴MN2=AM2+AN2‎ ‎∴△AMN是直角三角形（解法不惟一）．（2分）‎ ‎（2）答：（1）中的结论还成立．‎ 依题意得OA=2，OM=﹣m，ON=n ‎∴MN=OM+ON=n﹣m ‎∴MN2=（n﹣m）2=n2﹣2mn+m2‎ ‎∵mn=﹣4‎ ‎∴MN2=n2﹣2×（﹣4）+m2=n2+m2+8‎ 又∵在Rt△AOM中，AM===‎ 在Rt△AON中，AN===‎ ‎∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8‎ ‎∴MN2=AM2+AN2‎ ‎∴△AMN是直角三角形．（解法不惟一）（2分）‎ ‎（3）∵mn=﹣4，n=4，‎ ‎∴m=﹣1．‎ 方法一：设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c．‎ ‎∵抛物线经过点M（﹣1，0）、N（4，0）和A（0，2）‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴所求抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+2．‎ 方法二：设抛物线的函数关系式为y=a（x+1）（x﹣4）．‎ ‎∵抛物线经过点A（0，2）‎ ‎∴﹣4a=2解得a=﹣‎ ‎∴所求抛物线的函数关系式为y=﹣（x+1）（x﹣4）‎ 即y=﹣x2+x+2．（2分）‎ ‎（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，‎ ‎∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ1，‎ ‎∴Rt△PNQ1∽Rt△ANM ‎∵抛物线的对称轴为直线x=，‎ ‎∴Q1（，0）（2分）‎ ‎∴NQ1=4﹣=．‎ 过点N作NQ2⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q2．‎ ‎∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似 ‎∴‎ 即Q1Q2=‎ ‎∵点Q2位于第四象限，‎ ‎∴Q2（，﹣5）（2分）‎ 因此，符合条件的点有两个，‎ 分别是Q1（，0），Q2（，﹣5）．‎ ‎（解法不惟一）‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，待定系数法求函数的解析式．以及相似三角形的性质，对应边的比相等．‎ ‎　‎ ‎25．（2015•黄冈中学自主招生）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；‎ ‎（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；‎ ‎（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】153：代数几何综合题；16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得AC的解析式；‎ ‎（2）根据三角形面积公式即可写出解析式；‎ ‎（3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标；‎ ‎（4）过G作GH⊥y轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）y=﹣x2+2，‎ x=0时，y=2，‎ y=0时，x=±2，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），‎ 设直线AC的解析式是y=kx+b，‎ 代入得：，‎ 解得：k=1，b=2，‎ 即直线AC的解析式是y=x+2；‎ ‎（2）当0≤t＜2时，‎ OP=（2﹣t），QC=t，‎ ‎∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t2+t，‎ 当2＜t≤4时，‎ OP=（t﹣2），QC=t，‎ ‎∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t2﹣t，‎ ‎∴；‎ ‎（3）当AC或BC为等腰三角形的腰时，‎ AC=MC=BC时，M点坐标为（0，2﹣2）和（0，2+2）‎ 当AC=AM=BC 时，M为（0，﹣2）‎ 当AM=MC=BM时M为（0，0）．‎ ‎∴一共四个点，（0，），（0，），（0，﹣2），（0，0）；‎ ‎（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．‎ 由AP=t，可得AE=．‎ ‎∵GH∥OP ‎∴即=，解得GH=，‎ 所以GC=GH=．‎ 于是，GE=AC﹣AE﹣GC==．‎ 即GE的长度不变．‎ 当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．‎ 由AP=t，可得AE=．‎ 由即=，‎ ‎∴GH（2+t）=t（t﹣2）﹣（t﹣2）GH，‎ ‎∴GH（2+t）+（t﹣2）GH=t（t﹣2），‎ ‎∴2tGH=t（t﹣2），‎ 解得GH=，‎ 所以GC=GH=．‎ 于是，GE=AC﹣AE+GC=2﹣t+=，‎ 即GE的长度不变．‎ 综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值．‎ ‎【点评】本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况．‎ ‎　‎ ‎26．（2015•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，顶点为C．‎ ‎（1）求此二次函数解析式；‎ ‎（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：交BD于点E，过点B作直线BK∥AD交直线l于K点．问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK和的最小值．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）将点A、B两点的坐标代入y=x2+bx+‎ c，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式；‎ ‎（2）先用配方法求出抛物线的顶点C的坐标为（1，），根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出点D的坐标为（1，），运用待定系数法求得直线AD的解析式为y=x+，由BK∥AD，可设直线BK的解析式为y=x+m，将B（3，0）代入，得到直线BK的解析式为y=x﹣3，联立直线l与直线BK的解析式，求得它们的交点K的坐标为（5，），易求AB=BK=KD=DA=4，则四边形ABKD是菱形，由菱形的中心到四边的距离相等，得出点P与点E重合时，即是满足题意的点，根据中点坐标公式求出E点坐标为（2，）；‎ ‎（3）先由点D、B关于直线AK对称，根据轴对称的性质得出DN+MN的最小值是MB．过K作KF⊥x轴于F点．过点K作直线AD的对称点P，连接KP，交直线AD于点Q，则KP⊥AD，再由角平分线及轴对称的性质得出KF=KQ=PQ=2，则MB+MK的最小值是BP，即BP的长是DN+NM+MK的最小值，然后在Rt△BKP中，由勾股定理得出BP=8，即DN+NM+MK的最小值为8．‎ ‎【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，‎ ‎∴，解得 ，‎ ‎∴二次函数解析式为y=x2﹣x﹣；‎ ‎（2）∵y=x2﹣x﹣=（x2﹣2x）﹣=（x﹣1）2﹣2，‎ ‎∴顶点C的坐标为（1，），‎ ‎∵点D为点C关于x轴的对称点，‎ ‎∴点D的坐标为（1，）．‎ 易求直线AD的解析式为y=x+，‎ ‎∵BK∥AD，∴可设直线BK的解析式为y=x+m，‎ 将B（3，0）代入，得3+m=0，解得m=﹣3，‎ ‎∴直线BK的解析式为y=x﹣3．‎ 由，解得，‎ ‎∴交点K的坐标为（5，）．‎ ‎∵A（﹣1，0）、B（3，0），K（5，），D（1，），‎ ‎∴AB=BK=KD=DA=4，‎ ‎∴四边形ABKD是菱形．‎ ‎∵菱形的中心到四边的距离相等，‎ ‎∴点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2，）；‎ ‎（3）∵点D、B关于直线AK对称，‎ ‎∴DN+MN的最小值是MB．‎ 过K作KF⊥x轴于F点．过点K作直线AD的对称点P，连接KP，交直线AD于点Q，‎ ‎∴KP⊥AD．‎ ‎∵AK是∠DAB的角平分线，‎ ‎∴KF=KQ=PQ=2，‎ ‎∴MB+MK的最小值是BP．即BP的长是DN+NM+MK的最小值．‎ ‎∵BK∥AD，‎ ‎∴∠BKP=90°．‎ 在Rt△BKP中，由勾股定理得BP=8．‎ ‎∴DN+NM+MK的最小值为8．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称、角平分线的性质，两函数交点坐标的求法，勾股定理，菱形的判定与性质，综合性较强，难度较大．运用数形结合及方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎27．（2015•威海一模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法代入求出二次函数解析式即可；‎ ‎（2）利用配方法求出二次函数顶点坐标，再利用GH是△BEA的中位线．得出EA=3GH=．进而得出CF=FM+CM得出答案；‎ ‎（3）根据要使四边形BCPQ的周长最小，可将点C向上平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C1，求出直线BC1的解析式，以及P、Q两点的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）．‎ 设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．‎ 则，‎ 解得，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由=．‎ ‎∴顶点坐标为G（1，）．‎ 过G作GH⊥AB，垂足为H．‎ 则AH=BH=1，GH=﹣2=．‎ ‎∵EA⊥AB，GH⊥AB，‎ ‎∴EA∥GH．‎ ‎∴GH是△BEA的中位线．‎ ‎∴EA=2GH=．‎ 过B作BM⊥OC，垂足为M．则MB=OA=AB．‎ ‎∵∠EBF=∠ABM=90°，‎ ‎∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF．‎ ‎∴Rt△EBA≌Rt△FBM．‎ ‎∴FM=EA=．‎ ‎∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1，‎ ‎∴CF=FM+CM=．‎ ‎（3）要使四边形BCPQ的周长最小，‎ 将B向下平移一个单位至K，取C关于对称轴对称点M．‎ 连接KM交对称轴于P，将P向上平移1个单位至Q，‎ 可使KP+PM最短．则QPKB为平行四边形，‎ QB=PK，‎ 连接CP，轴对称求出CP=MP，‎ 则CP+BQ最小，‎ 因为CB，QP定值，则四边形BCPQ周长最短，‎ ‎∵将点C向上平移一个单位，坐标为（3，1），再做关于对称轴对称的对称点C1，‎ ‎∴得点C1的坐标为（﹣1，1）．‎ 可求出直线BC1的解析式为．‎ 直线与对称轴x=1的交点即为点Q，坐标为Q（1，）．‎ ‎∴点P的坐标为（1，）．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数的综合题目，待定系数法求二次函数解析式以及利用三角形中位线的性质是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．（2015•宁波校级模拟）如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；‎ ‎（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在直线CD的上方，y轴及y轴的右侧的平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的点G的坐标；‎ ‎（3）如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M，过点M作一条直线交∠ADB于T，N两点，‎ ‎①当∠DNT=90°时，直接写出的值；‎ ‎②当直线TN绕点M旋转时，‎ 试说明：△DNT的面积S△DNT=DN•DT；‎ 并猜想：的值是否是定值？说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据点的坐标直接运用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，然后再化成顶点式就可以求出顶点坐标；‎ ‎（2）分情况讨论根据相似三角形的性质就可以求出点G的坐标；‎ ‎（3）①运用直角三角形的性质和勾股定理的运用求出DN、DT的值就可以求出结论；‎ ‎②作NH⊥DT于H，可以表示出S△DNT=DT．NH就可以得出S△DNT═DT．DN．sin60°，从而得出S△DNT=DT．DN．再由S△DNT=S△DMT+S△DMN，就有DT．DN=×DT•DM+DN•DM，可以得出DT．DN=3（DT+DN），进而得出结论．‎ ‎【解答】解：∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），‎ ‎∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），‎ ‎∵此抛物线与y轴交于点C（0，），‎ ‎∴=a（0+2）（0﹣4），‎ 解得：a=﹣，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+2）（x﹣4），‎ 即y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+3，‎ 故顶点D的坐标为：（1，3）；‎ ‎（2）设直线CD的解析式为：y=kx+b，‎ 则，‎ 解得：，‎ 故直线CD的解析式为：y=x+，‎ 则点E的坐标为：（﹣8，0），点F的坐标为：（4，4），‎ 则OE=8，BF=4．‎ ‎∵C（0，），B（4，0）‎ ‎∴OC=，OB=4，‎ ‎∴EB=12，‎ ‎∴由勾股定理得：‎ EF=8，CE=．‎ ‎∴CF=．‎ 如图，过点F作FG⊥y轴于点G，则△COE∽△CGF，此时点G'''的坐标为：（0，4）‎ 过点F作GF⊥CD，交y轴于点G，则△COE∽△CFG，又CF=CO，‎ 故△COE≌△CFG，‎ ‎∴CG=CE=．‎ ‎∴OG=8，‎ ‎∴点G的坐标为：（0，8）；‎ 若CG⊥FG，则△COE∽△CGF，此时∠G''CF=30°，过G''作G''H垂直y轴，垂足为H，易证CG''F≌FG'''C ‎∴CG''=G'''F=4‎ 故G''的纵坐标为CO+CH=，横坐标为G''H=2‎ ‎∴G（2，）．‎ 同理可得G'（）‎ 综上所述符合题意的G点的坐标是：（0，4）、（0，8）、（2，）、（）．‎ ‎（3）①∵抛物线是轴对称图形，DM是对称轴，‎ ‎∴DA=DB，‎ ‎∵tan∠DAB==‎ ‎∴∠DAB=60°，‎ ‎∴△DAB是等边三角形，‎ ‎∴∠ADB=60°．‎ ‎∵∠DNT=90°，‎ ‎∴∠DTN=∠MDN=30°，‎ ‎∴DN=4.5，DT=9，‎ ‎∴==．‎ ‎②=‎ 理由：作NH⊥DT于H，‎ ‎∵S△DNT=DT•NH ‎∴S△DNT═DT•DN•sin60°‎ ‎∴S△DNT=DT•DN．‎ ‎∵S△DNT=S△DMT+S△DMN，‎ ‎∴DT•DN=×DT•DM+DN•DM，‎ ‎∴DT•DN=×DT•×3+DN•×3，‎ ‎∴DT•DN=（DT+DN），‎ ‎∴DT•DN=3（DT+DN），‎ ‎∴=．‎ ‎【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的三角函数值的运用，三角形的面积公式的运用，抛物线的性质的运用，解答时合理利用三角形的面积公式是关键．‎ ‎　‎ ‎29．（2015•湖州模拟）如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．‎ ‎（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）‎ ‎（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．‎ ‎（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．‎ ‎（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题；32 ：分类讨论．‎ ‎【分析】（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度数即可；‎ ‎（2）利用图②中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可；‎ ‎（3）利用特殊角的三角函数，三角形的面积以及配方法解决问题；‎ ‎（4）分两种情况进行列方程解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图，‎ 过点B作BE⊥OA于E，则OE=5，BE=5，OA=10，‎ ‎∴AE=5，Rt△ABE中，tan∠BAO==，‎ ‎∴∠BAO=60°；‎ ‎ （2）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB=10，因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒，‎ 点P的运动速度为2个单位/秒；‎ ‎（3）P（10﹣t，t）（0≤t≤5），‎ ‎∵S=（2t+2）（10﹣t），‎ ‎=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∴当时，S有最大值为，‎ 此时；‎ ‎（4）当P在AB上时，根据P点纵坐标得出：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 当P在BC上时，，‎ 此方程无解，故t不存在，‎ 综上所知当t=时，PO=PQ．‎ ‎【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，特殊角的三角函数，以及分类讨论思想的渗透．‎ ‎　‎ ‎30．（2015•平房区一模）如图，已知直线l：y=x+2与y轴交于点D，过直线l上一点E作EC丄y轴于点C，且C点坐标为（0，4），过C、E两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式：‎ ‎（2）动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QF⊥ED于点F，交BD于点H，设点Q运动时间为t秒，△DFH的面积为S，求出S与t的函数关系式（并直接写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）若动点P为直线CE上方抛物线上一点，连接PE，过点E作EM⊥‎ PE交线段BD于点M，当△PEM是等腰直角三角形时，求四边形PMBE的面积．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题；KU：勾股定理的应用；L7：平行四边形的判定与性质；M5：圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题；31 ：数形结合；34 ：方程思想．‎ ‎【分析】（1）先确定出点E的纵坐标，进而利用一次函数解析式得出点E的坐标，然后结合点C、E的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）先证明△QEF∽△DEC进而用t表示EF，并用勾股定理求出DE，进而用t表示DF，然后求出B点坐标，并求出BD的长，过B作BN⊥DE于N，设直线DE与x轴交于点M，利用△BDM的面积求出BN的长，再利用∠NDB的正弦函数求出其度数，可得到△FDH为等腰直角三角形，最后利用三角形的面积公式列式化简即可；‎ ‎（3）首先判断出点D、M、E、P在以MP为直径的圆上，进而利用圆周角定理可知∠PDM=90°，∠PCE=∠PME=45°，则有CG=PG，据此求出点P的坐标，然后利用勾股定理的逆定理得到∠DPE=90°，可判断四边形PDME是矩形，进而判断四边形PMBE是平行四边形，再利用平行四边形的面积求法列式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵CE⊥y轴，C（0，4），且E在直线y=x+2上，‎ ‎∴E点的纵坐标为4，‎ 由x+2=4，得x=4，‎ ‎∴E（4，4），‎ 把C、E两点坐标代入抛物线解析式得，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；‎ ‎（2）由直线y=x+2与y轴交于点D，得D（0，2），‎ 如图1，由题意可知CQ=t，QE=4﹣t，DC=2，则DE==，‎ ‎∵∠QEF=∠DEC，∠QFE=∠DCE=90°，‎ ‎∴△QEF∽△DEC，‎ ‎∴QE：DE=EF：EC，即（4﹣t）：=EF：4，‎ 解得EF=，‎ ‎∴DF=DE﹣EF=，‎ 抛物线y=﹣x2+x+4，令y=0，得﹣x2+x+4=0，‎ 解得x1=﹣2，x2=6，‎ ‎∴B（6，0），‎ ‎∴BD==，‎ 过B作BN⊥DE于N，设直线DE与x轴交于点M，则M（﹣4，0），DM==，‎ ‎∴S△BDM=DM•BN=BM•OD，‎ ‎∴BN==，‎ ‎∴sin∠NDB==，‎ ‎∴∠NDB=45°，‎ ‎∴△FDH是等腰直角三角形，DF=FH=，‎ ‎∴S=DF•FH==t2+t+，‎ 即S=t2+t+（0≤t≤4）；‎ ‎（3）如图2，过P作PG⊥CE于G，设P（m，﹣m2+m+4），连接PC、PD，‎ ‎∵△PEM是等腰直角三角形，PE=EM，‎ ‎∴∠EPM=∠EMP=45°，‎ 又∵∠EDM=45°，‎ ‎∴点D、M、E、P在以MP为直径的圆上，‎ ‎∴∠PDM=90°，∠PCE=∠PME=45°（圆周角定理），‎ ‎∴CG=PG，‎ ‎∵PG=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m，‎ ‎∴﹣m2+m=m，‎ ‎∴m=1或m=0（不合题意，舍去），‎ ‎∴P（1，5），‎ ‎∴PG=CG=1，GE=3，PE==，ME=，‎ ‎∴DP==，‎ ‎∴DP2+PE2=DE2，‎ ‎∴∠DPE=90°，‎ 又∵∠PDM=90°，∠PEM=90°，‎ ‎∴四边形PDME是矩形，‎ ‎∴PE∥BD，PE=DM=，‎ ‎∴BM=BD﹣DM=，‎ ‎∴BM=PE，‎ ‎∴四边形PMBE是平行四边形，‎ ‎∴四边形PMBE的面积为PE•ME=•=10．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理及其逆定理的应用，平行四边形和矩形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，涉及的知识较多，综合性较强，具有一定的难度，解答本题时要注意数形结合思想与方程思想的运用．‎ ‎　‎ ‎31．（2015•青山区一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c为常数）的对称轴为：直线x=，与x轴分别交于点A、点B，与y轴交于点C（0，﹣），且过点（3，﹣5），D为x轴正半轴上的动点，E为y轴负半轴上的动点．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）如图1，当点D为（3，0）时，DE交该抛物线于点M，若∠ADC=∠CDM，求点M的坐标；‎ ‎（3）如图2，把（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED与新抛物线仅有唯一交点Q时，y轴上是否存在一个定点P使PE=PQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题；D5：坐标与图形性质；FA：待定系数法求一次函数解析式；KU：勾股定理的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题；31 ：数形结合；34 ：方程思想．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点C的坐标确定c的值，由抛物线的对称轴和抛物线过点（3，﹣5）得出关于a，b的关系式，求出a，b的值可得抛物线的解析式；‎ ‎（2）先令y=0，求得点A、B的坐标，并过点E作EN∥CD交x轴于N，根据角平分线的定义与平行线的性质可得∠ANE=∠ADC=∠CDE=∠DEN，进而根据等角对等边可得DE=DN，然后设CE=m，根据勾股定理用m表示DN2，进而利用=求出m的值得到E的坐标，再利用待定系数法求出直线DM的解析式，并与抛物线解析式联立，最后解方程组可求得点M的坐标；‎ ‎（3）设新抛物线的解析式为y=x2，设DE的解析式为y=kx+b，联立两解析式得到x2﹣kx﹣b=0，进而根据抛物线与直线有唯一交点得出b与k的关系，用k表示点E的坐标，然后作QF⊥QE交y轴于F，作QH⊥y轴于H，用k表示Q与F的坐标，再根据PE=PQ，QF⊥QE，得出点P为EF的中点，利用中点公式可得到点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵C（0，﹣），∴c=﹣，‎ ‎∵对称轴x=，∴﹣=，∴=﹣①．‎ ‎∵抛物线过点（3，﹣5），∴9a+3b﹣=﹣5②．‎ 由①②得，‎ ‎∴y=x2﹣x﹣；‎ ‎（2）对y=x2﹣x﹣，令y=0，得：（2x﹣9）（3x+1）=0，‎ ‎∴A（﹣，0），B（，0）．‎ 如图1，过点E作EN∥CD交x轴于N，‎ ‎∵DC平分∠ADE，‎ ‎∴∠ANE=∠ADC=∠CDE=∠DEN，∴DE=DN．‎ 设CE=m，则DN2=DE2=OD2+OE2=9+（m+）2=m2+3m+．‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴4m2=m2+3m+，∴m=或﹣（舍去）．‎ ‎∴AE=AC+CE=+=4，∴E（0，4）．‎ 直线DM的解析式为：y=x﹣4，‎ 联立，∴6x2﹣33x+15=0，‎ ‎∴（3x﹣15）（2x﹣1）=0，‎ 解得x=，（x=5舍去），‎ ‎∴M（，﹣）；‎ ‎（3）设新抛物线的解析式为y=x2，‎ 设DE的解析式为y=kx+b，联立，得x2﹣kx﹣b=0，‎ ‎∵y=x2与y=kx+b有唯一交点，‎ ‎∴△=k2+4b=0，∴b=﹣，‎ ‎∴y=kx﹣（k＞0），∴E（0，﹣），‎ 如图2，作QF⊥QE交y轴于F，作QH⊥y轴于H，‎ ‎∵x2﹣kx+=0，∴Q（，），‎ ‎∴QH=，EH=OE+OH=+=，‎ ‎∴tan∠FQH=tan∠QEH==，‎ ‎∴FH=QH•tan∠FQH=•=，‎ ‎∴OF=OH+FH=+，∴F（0，），‎ ‎∵PF=PQ，QF⊥QE，‎ ‎∴PE=PQ=PF，‎ ‎∴P为EF的中点，‎ ‎∴yE==，‎ ‎∴P（0，），恒为定点．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，平行线的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形性质，勾股定理的应用等知识，综合性较强，有一定的难度，解答本题要注意方程思想、数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎　‎