中考数学全程复习方略专题复习突破篇六二次函数压轴题课件

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专题六 　 二次函数压轴题 1. 主要类型 : (1) 线段及周长最值问题 (2) 面积最值问题 (3) 存在性问题探究 2. 规律方法 : (1) 解决线段和的最小值或三角形周长最小问题 , 主要依据是“两点之间 , 线段最短” , 具体方法是利用轴对称将两条线段之和转化为一条线段的长 , 然后求出该条线段的长 . (2) 解决图形面积的最值问题 , 通常先设出动点坐标 , 然后表示出图形面积 , 利用二次函数性质来求最大值或最小值 , 表示不规则图形的面积时 , 通常采用割补法把其转化为易于表示面积的图形 ( 有一边在坐标轴上或平行于坐标轴 ). (3) 解决存在性问题要先假设结论成立 , 然后根据所探究特殊图形的有关性质 , 利用分类讨论的数学思想构造全等或相似图形 , 进而求出字母的取值 . 3. 渗透的思想 : 分类讨论、转化思想、数形结合、函数与方程等 . 类型一　线段及周长最值问题 【 考点解读 】 1. 考查范畴 : 线段和周长最值问题主要包括线段和的最小值、周长和的最小值和线段差的最大值三种情况 . 2. 考查角度 : 利用二次函数解析式确定有关点的坐标 , 结合某个动点考查两条线段和或差的最值问题 . 【 典例探究 】 【 典例 1】 (2018· 宜宾节选 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知抛物线的顶点坐标为 (2,0), 且经过点 (4,1), 如图 , 直线 y= x 与抛物线交于 A,B 两点 , 直线 l 为 y=-1. (1) 求抛物线的解析式 . (2) 在 l 上是否存在一点 P, 使 PA+PB 取得最小值 ? 若存在 , 求出点 P 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 . 【 思路点拨 】 (1) 由抛物线的顶点坐标为 (2,0), 可设抛物线的解析式为 y=a(x-2) 2 , 由抛物线过点 (4,1), 利用待定系数法即可求出抛物线的解析式 . (2) 联立直线 AB 与抛物线解析式组成方程组 , 通过解方程组可求出点 A,B 的坐标 , 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′, 连接 AB′ 交直线 l 于点 P, 此时 PA+PB 取得最小值 , 根据点 B 的坐标可得出点 B′ 的坐标 , 根据点 A,B′ 的坐标利用待定系数法可求出直线 AB′ 的解析式 , 再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 P 的坐标 . 【 自主解答 】 略 【 规律方法 】 解决线段和最小值问题的方法 (1) 解题的基本依据是“两点之间 , 线段最短” , 如图所示 , 若 A,B 是两个定点 , 动点 P 在直线 m 上 , 求 PA+PB 的最小值的方法是 : 作点 A 关于直线 m 的对称点 A′, 当 A′,P,B 三点共线时 PA+PB 最小 . (2) 确定动点 P 的位置后 , 再根据两条直线的解析式联立组成方程组 , 进而求出交点 P 的坐标 . 【 题组过关 】 1.(2019· 烟台中考 ) 如图 , 顶点为 M 的抛物线 y=ax 2 +bx+3 与 x 轴交于 A(-1,0),B 两点 , 与 y 轴交于点 C, 过点 C 作 CD⊥y 轴交抛物线于另一点 D, 作 DE⊥x 轴 , 垂足 为点 E, 双曲线 y= (x>0) 经过点 D, 连接 MD,BD. (1) 求抛物线的解析式 . (2) 点 N,F 分别是 x 轴 ,y 轴上的两点 , 当以 M,D,N,F 为顶点的四边形周长最小时 , 求出点 N,F 的坐标 . (3) 动点 P 从点 O 出发 , 以每秒 1 个单位长度的速度沿 OC 方向运动 , 运动时间为 t 秒 , 当 t 为何值时 ,∠BPD 的度数最大 ?( 请直接写出结果 ) 略 2.(2019· 贺州中考 ) 如图 , 在平面直角坐标系中 , 已知点 B 的坐标为 (-1,0), 且 OA=OC=4OB, 抛物线 y=ax 2 +bx +c(a≠0) 图象经过 A,B,C 三点 . 世纪金榜导学号 (1) 求 A,C 两点的坐标 . (2) 求抛物线的解析式 . (3) 若点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点 , 作 PD⊥AC 于点 D, 当 PD 的值最大时 , 求此时点 P 的坐标及 PD 的最大值 . 【 解析 】 (1)OA=OC=4OB=4, 故点 A,C 的坐标分别为 (4,0),(0,-4). (2) 抛物线的解析式为 :y=a(x+1)(x-4)=a(x 2 -3x-4), 即 -4a=-4, 解得 :a=1, 故抛物线的解析式为 :y=x 2 -3x-4. (3) 直线 CA 过点 C, 设其函数解析式为 :y=kx-4, 将点 A 坐标代入上式并解得 :k=1, 故直线 CA 的解析式为 :y=x-4, 过点 P 作 y 轴的平行线交 AC 于点 H, ∵OA=OC=4,∴∠OAC=∠OCA=45°, ∵PH∥y 轴 ,∴∠PHD=∠OCA=45°, 设点 P(x,x 2 -3x-4), 则点 H(x,x-4), PD=HPsin∠PHD= (x-4-x 2 +3x+4)=- x 2 +2 x, ∵- <0,∴PD 有最大值 , 当 x=2 时 , 其最大值为 2 , 此 时点 P(2,-6). 类型二　面积最值问题 【 考点解读 】 1. 考查范畴 : 以二次函数为背景 , 面积最值问题主要包括三角形面积问题和四边形面积问题 . 2. 考查角度 : 建立几何图形面积与动点的坐标的二次函数关系 , 然后确定最值 . 【 典例探究 】 典例 2(2019· 海南中考节选 ) 如图 , 已知抛物线 y=ax 2 +bx+5 经过 A(-5,0),B(-4,-3) 两点 , 与 x 轴的另一个交点为 C, 顶点为 D, 连接 CD. (1) 求该抛物线的解析式 . (2) 点 P 为该抛物线上一动点 ( 与点 B,C 不重合 ), 设点 P 的横坐标为 t. 当点 P 在直线 BC 的下方运动时 , 求△ PBC 的面积的最大值 . 【 自主解答 】 (1) 将点 A,B 坐标代入二次函数解析式得 : 解得 : 故抛物线的解析式为 :y=x 2 +6x+5①, (2) 令 y=0, 则 x=-1 或 -5, 即点 C(-1,0), 如图 , 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G, 将点 B,C 的坐标代入一次函数解析式并解得 : 直线 BC 的表达式为 :y=x+1②, 设点 G(t,t+1), 则点 P(t,t 2 +6t+5), S △PBC = PG(x C -x B )= ∵ <0,∴S △PBC 有最大值 , 当 t= 时 , 其最大值为 【 规律方法 】 解决面积最值问题的方法 (1) 首先设出动点的坐标为 (x,ax 2 +bx+c). (2) 求有一边在坐标轴或与坐标轴平行的图形面积时 , 用该边为底边用含 x 的式子表示出来 , 结合图形可用 x 的代数式表示出该边上的高 ; 求三边不在坐标轴上的三角形或不规则图形面积时 , 要先采用割补的方法转化成易于表示出面积的图形 . (3) 用含有未知数 x 的代数式表示图形面积 . (4) 利用二次函数的性质来求最大值或最小值 . 【 题组过关 】 如图 , 在平面直角坐标系中 , 抛物线 y=ax 2 +bx-5 交 y 轴于点 A, 交 x 轴于点 B(-5,0) 和点 C(1,0), 过点 A 作 AD∥x 轴交抛物线于点 D. (1) 求此抛物线的解析式 . (2) 点 E 是抛物线上一点 , 且点 E 关于 x 轴的对称点在直线 AD 上 , 求△ EAD 的面积 . (3) 若点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点 , 当点 P 运动到某一位置时 ,△ABP 的面积最大 , 求出此时点 P 的坐标和△ ABP 的最大面积 . 略 类型三　存在性问题探究 【 考点解读 】 1. 考查范畴 : 以二次函数为背景的存在性问题包括探究等腰三角形、直角三角形、相似三角形和特殊四边形的形状 . 2. 考查角度 : 考查是否存在某点 , 使图形满足某种特殊形状 , 根据图形性质解答问题 . 【 典例探究 】 典例 3 已知抛物线 y= 的图象如图所示 : (1) 将该抛物线向上平移 2 个单位 , 分别交 x 轴于 A,B 两点 , 交 y 轴于点 C, 则平移后的解析式为 ____________.  (2) 判断△ ABC 的形状 , 并说明理由 . (3) 在抛物线对称轴上是否存在一点 P, 使得以 A,C,P 为顶点的三角形是等腰三角形 ? 若存在 , 求出点 P 的坐标 ; 若不存在 , 说明理由 . 【 思路点拨 】 (1) 根据函数图象的平移规律 , 可得新的函数解析式 . (2) 根据自变量与函数值的对应关系 , 可得 A,B,C 的坐标 , 根据勾股定理及逆定理 , 可得答案 . (3) 根据等腰三角形的定义 , 分类讨论得到关于 P 点纵坐标的方程 , 解方程可得答案 . 【 自主解答 】 略 【 规律方法 】 探究等腰三角形存在性的方法 (1) 假设结论成立 . (2) 分别表示三角形三条边的长度 , 分三种情况进行讨论 , 根据两边相等列出方程 , 然后求出对应的未知数的值 . (3) 表示三边长度往往需要用到点的坐标 , 要掌握抛物线和直线与坐标轴的交点坐标求法 , 并能够利用解方程组求抛物线与直线的交点坐标 . 【 题组过关 】 (2019· 贵港中考 ) 如图 , 已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 的顶点为 A(4,3), 与 y 轴相交于点 B(0,-5), 对称轴为直线 l , 点 M 是线段 AB 的中点 . (1) 求抛物线的解析式 . (2) 写出点 M 的坐标并求直线 AB 的解析式 . (3) 设动点 P,Q 分别在抛物线和对称轴 l 上 , 当以 A,P,Q,M 为顶点的四边形是平行四边形时 , 求 P,Q 两点的坐标 . 【 解析 】 (1) 函数解析式为 :y=a(x-4) 2 +3, 将点 B 坐标代 入上式并解得 :a= , 故抛物线的解析式为 :y= x 2 +4x-5. (2)A(4,3),B(0,-5), 则点 M(2,-1), 设直线 AB 的解析式为 :y=kx-5, 将点 A 坐标代入上式得 :3=4k-5, 解得 :k=2, 故直线 AB 的解析式为 :y=2x-5. (3) 略