中考数学专题复习练习:平方根

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中考数学专题复习练习:平方根

典型例题一 例01.下列命题中,正确的命题是( )‎ A.绝对值等于它本身的数只有0‎ B.倒数等于它本身的数只有1‎ C.算术平方根等于它本身的数只有1‎ D.平方根等于它本身的数有: 0‎ 分析:绝对值等于它本身的数除0外,还有所有的正数,故不能选A;倒数等于它本身的数是1和-1,故不能选B;而算术平方根等于它本身的数有1和0,故不能选C;平方根等于它本身的数有0,故选D.‎ 解答:D.‎ 典型例题二 例02 下列5个命题中,正确的命题是( )‎ ‎①只有正数才有平方根;‎ ‎②是的平方根;‎ ‎③5的平方根是;‎ ‎④都是3的平方根;‎ ‎⑤的平方根是.‎ A.①②③ B.③④⑤ C.③④ D.②④‎ 分析:显然,①是错的,因为“0”的平方根还是“0”.②是对的.③是错的.因为5的平方根是.④是对的.⑤也是错的.因为,4的平方根是.因此所给的命题中只有②、④是对的.‎ 解答:本题应选D.‎ 典型例题三 例03.是的平方根的数学表达式是( )‎ A. B. C. D.‎ 分析 既然是“的平方根”,根据平方根的表示方法,就应该用来表示.‎ 解答 D 说明 考查平方根的表示法.‎ 典型例题四 例04.的平方根是( )‎ ‎ A.16 B.-4 C. D.没有平方根 分析 因,16的平方根是.‎ 解答 C 说明 正数的平方根有两个,零的平方根是0.‎ 典型例题五 例05 x分别取何值时,下列各式有意义?‎ ‎  (1) (2) (3)‎ ‎ (4)‎ 解:(1)因为非负数才有平方根,所以 ‎ 解得 即时,有意义.‎ ‎(2)根据算术平方根的定义,被开方数必为非负数.所以当时,无论x取何值,有意义.‎ ‎(3)解得,所以当时,有意义.‎ ‎(4)解得且,所以当且时,才有意义.‎ 说明 ‎①命题目的:进一步加深对负数平方根概念的理解.‎ ‎②解题关键:掌握好平方根定义并且会解不等式(组).‎ ‎③错解剖析:如第(1)题不会解.第(4)题且写成或.‎ 典型例题六 例06.某数的绝对值的算术平方根,等于它本身,这个数必为( )‎ A.1或-1 B.1或0 C.-1或0 D1,-1,0‎ 分析 一个数的算术平方根等于本身的数只有0,1.所以某数为a,则.∴ 或者,∴ 或.‎ 解答 D 典型例题七 例07.以下语句及写成式子正确的是( )‎ A.7是49的算术平方根,即 B.7是的算术平方根,即 C.是49的平方根,即 D.是49的平方根,即 分析 7是49的算术平方根,应记为;7是的算术平方根,记为;是49的平方根,记为;所以只有B是正确的.‎ 解答 B 说明 表示a的平方根;表示a的算术平方根.‎ 典型例题八 例08.下列命题中正确的个数是( )‎ ‎(1); (2);‎ ‎(3)的算术平方根是;‎ ‎(4)是的平方根.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 分析 (1)表示0.9的算术平方根,根据平方根的定义,应该有 ‎,所以(1)错;(2)中表示的算术平方根,不能是负值,所以(2)错;(3)中的算术平方根应为正数,所以(3)错;(4)中的平方根是,正确.‎ 解答 A 说明 考查平方根的定义和求法.‎ 典型例题九 例09.下列结论中,正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 分析 因;;;.‎ 解答 A 典型例题十 例10.若一正数的平方根是与,则.‎ 分析 因为一个正数的平方根有两个,且互为相反数.所以,故.‎ 解答 ‎ 典型例题十一 例11.如果a的平方根是,那么 分析 因,故4的平方根是.,.‎ 解答 2‎ 说明 与的联系与区别.‎ 典型例题十二 例12.使式子有意义x的范围是________.‎ 分析 正数和零才能开平方,负数没有平方根.所以被开方数是非负数.‎ 故 ‎ 解答 ‎ 说明 ,,这是一个很重要的条件.‎ 典型例题十三 例13.为何值时,式子有意义?‎ 分析 任何正数、负数及0的平方都是非负数,所以只有是非负数时,式子才有意义.‎ 解答 ,得,‎ ‎∴当时,式子才有意义.‎ 典型例题十四 例14 求下列各数的平方根.‎ ‎(1)9 (2) (3)0.81‎ 解:(1)∵ ‎ ‎   ∴9的平方根是,即.‎ ‎(2)∵,,‎ ‎ ∴的平方根是,即 ‎(3)∵‎ ‎ ∴0.81的平方根是,即.‎ 说明:①命题目的:给出一个正数,会求出平方根.‎ ‎②解题关键:一个正数有两个平方根并互为相反数.‎ ‎③错解剖析:容易犯漏掉负的平方根的错误.‎ 典型例题十五 例15.求下列各数的平方根和算术平方根.‎ ‎(1)0.0064 (2) (3)    (4)‎ 解答 (1)因为,所以0.0064的平方根是算术平方根是0.08.‎ ‎(2)因为,而,所以的平方根是,它的算术平方根是.‎ ‎(3)因为,而,所以的平方根是,它的算术平方根是.‎ ‎(4)因为,而,所以的平方根是,它的算术平方根是7.‎ 说明 本题考查求平方根和求算术平方根的方法.‎ 因为一个正数的平方根有两个,不要遗漏负的平方根.当被开方数是带分数时,应把带分数化为假分数,然后再求平方根,当被开方数是一个数字算式时,要先算出这算式的值,再求它的平方根,不这样做,容易造成错误.例如,说平方根是,就错了.‎ 典型例题十六 例16.求下列各式中的x:‎ ‎(1) (2).‎ 分析 根据平方根的定义,或,则,其中(2)中看成一个整体,先求出的值,再求x的值.‎ 解答:(1)∵ ,即.‎ ‎∴ .‎ ‎(2)∵ ,‎ ‎∴ ,‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 典型例题十七 例17.已知x,y都为有理数,且,的平方根=_______.‎ 解答 因有意义,故得 将代入式中,得.故 说明 提示题目隐含条件,利用平方根性质与概念解题.‎ 典型例题十八 例18.已知,且x是正数,求代数式的值.‎ 分析 只要求出x的值,代入代数式就可以了,关键是解已知方程.‎ 解答1:由得,∴,又∵,∴.‎ 当时,‎ 解答2 由,得,即,‎ ‎∴.把代入,得 典型例题十九 例19.如果,求的值.‎ 分析 已知条件是含三个未知数的等式,一般很难求出未知数的值,但注意到算术平方根非负这一条件可解.‎ 解答 ∵ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴应有 解得 ‎ 说明 求解本题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件,如果若干个非负数的和为零,则每个非负数都必须为零.‎ 典型例题二十 例20.选择题:下列命题 ‎(1) (2)‎ ‎(3)的平方根是; (4)的算术平方根是;‎ ‎(5)是的平方根; (6)0的平方根是0,0没有算术平方根;‎ ‎(7)的算术平方根是. ‎ 中真命的个数是( ). ‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ 分析:判断上述命题的真假,要依靠各自本身的定义. ‎ ‎(1)‎ 不是的算术平方根. ‎ 故(1)是假命题. ‎ ‎(2)题中是算术平方根,其结果是唯一的,不可能是两个值,所以(2)也是假命题. ‎ ‎(3)题中,由平方根性质:负数没有平方根. 所以(3)也是假命题. ‎ ‎(4)中的算术平方根应是正数,而是个负数,不符合算术平方根的定义. 故(4)也是假命题. ‎ ‎(5)‎ 的平方根是. 此为真命题. ‎ ‎(6)0的平方根0就是0的算术平方根,故(6)题也不正确. ‎ ‎(7)求的算术平方根,应是对进行开方运算,而非平方运算. 故此命题也不是真命题. ‎ 解答:应选(A)‎ 说明:平方根、算术平方根是非常重要的概念. ‎ 其共同点:平方根和算术平方根都是对非负数的开方运算,0的平方根和算术平方极都只有一个0;其不同点是:一个正数的平方根有两个,两算术平方根只有一个;它们的联系是:算术平方根是平方根中的正的平方根.‎ 典型例题二十一 例21.如果一个数的平方根是与,那么这个数是多少?‎ 分析:首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根,根据平方根的性质可知它们互为相反数,其和为0.‎ 解答:因为一个正数的两个平方根互为相反数,所以,解得,当时,,即两个平方根分别为7和,故原数为49‎ 说明:关键抓住一个正数的两个平方根的性质,转化为求方程的解.‎ 典型例题二十二 例22.求下列各式的值 ‎(1) (2) (3) (4)‎ 分析:是求的算术平方根;是求81的算术平方根的相反数;是求的平方根;而是求的算术平方根. ‎ 解答:(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ 说明:、、的区别是表示正数的算术平方根;表示正数的算术平方根的相反数;而则表示正数的平方根. ‎ 典型例题二十三 例23.求下列各式中x的值:‎ ‎(1); (2)‎ 分析:这里要求灵活运用开平方的知识来解方程,如果把方程左边展开,则走入误区,必须运用开平方的知识求解. ‎ 解答:(1),,‎ ‎,则 ‎(2),‎ ‎,则 说明:本题不要将原方程利用乘法公式变形展开,把括号里的看作整体处理,因此问题就转化为求平方根问题. 但要注意一个正数的平方根有两个.‎ 填空题 ‎1.填空题 ‎(1)如果一个数的平方等于,这个数叫做的______.‎ ‎(2)一个正数有_______个平方根,它们是______关系.‎ ‎(3)0的平方根是________.‎ ‎(4)9的平方根是___________.‎ ‎(5)是________的平方根.‎ ‎(6)平方根是的数是_____________.‎ ‎(7)16的正的平方根是_______________.‎ ‎(8)的负的平方根是__________________.‎ ‎(9)是_______的算术平方根.‎ ‎(10)7的平方根是______________.‎ ‎2.填空题 ‎(1)是_________的平方根. (2)的平方根是_________.‎ ‎(3)_______的平方等于 (4)的平方根为_________.‎ ‎(5)的算术平方根是_______.‎ ‎(6)的平方根是________.‎ ‎(7)是的平方根,则_______.‎ ‎(8)_______是17的算术平方根.‎ ‎(9)的算术平方根是_____.‎ ‎(10)若,则_______.‎ ‎3.填空题 ‎(1)的平方根是_______.‎ ‎(2)有意义,则_________.‎ ‎(3)若,则__________.‎ ‎(4)______________.‎ ‎(5)若__________.‎ ‎(6)当时,________.‎ ‎(7)若,则_____________.‎ ‎(8)当时的平方根为_______.‎ ‎(9)求值:___________.‎ ‎(10)若,则________________.‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)平方根 (2)两,互为相反数 (3)0 (4) (5) (6) (7)4 (8) (9)5 (10)‎ ‎2. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)8 (10)‎ ‎3. (1) (2) (3)49 (4)21 (5) (6)1 (7) (8) (9) (10)0或 选择题 ‎1.选择题 ‎(1)下列各数中,没有平方根是 A.0 B. C. D.‎ ‎(2)“的平方根是”用数学式子表示为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎(3)下列说法错误的是 A.是9的平方根 B.的平方等于5‎ C.的平方根是 D.9的算术平方根是3‎ ‎(4)下列说法正确的是 A.任何数的平方根都有两个 B.一个正数的平方根是本身 C.只有正数才有平方根 D.负数没有平方根 ‎(5)下列计算正确的是 A. B.‎ C. D.‎ ‎2.选择题 ‎(1)一个数存在算术平方根,则下列说法正确的是 A.它是一个正数 B.它是一个非负数 C.它是0 D.它是负数 ‎(2)的平方根是 A.4 B. C. D.‎ ‎(3)下列没有平方根的数 A. B.0 C.10 D.‎ ‎(4)下列等式成立的是 A. B.‎ C. D.‎ ‎(5)下列说法中,错误的是 A.是3的平方根 B.是3的算术平方根 C.3的平方根就是3的算术平方根 D.-的平方是3‎ ‎(6)的算术平方根是 A. B.5 C. D.‎ ‎(7)当时,的值是 A.3 B.+3 C. D.无意义 ‎(8)下列语句正确的是 A.一个数的平方根一定是两个 B.一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根 C.一个正数的平方根一定是它的算术平方根 D.一个非零数的平方根是它的算术平方根 ‎(9)下列命题,①1的平方根是1;②1是1的平方根;③的平方根是-1;④一个数的平方根等于它的算术平方根,这个数只有0一个 ‎ 正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎(10)一个自然数的算术平方根是,则大于此自然数并与之相邻的自然数的算术平方根是 A. B. C. D.‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)C (2)B (3)C (4)D (5)A ‎2.(1)B (2)D (3)A (4)D (5)C (6)B (7)D (8)B (9)B (10)A 选择题 ‎1.选择题 ‎(1)下列说法正确的是()个 ‎ ①的平方根是;②的算方平方根是;③的平方根是;④是11的算术平方根;⑤36的平方根是 A.1 B.2 C.3 D.0‎ ‎(2)若,,则的值等于( )‎ A.1 B.2 C.10 D.‎ ‎(3)若,则为( )‎ A.1或 B.或5 C.1或5 D.或 ‎(4)设,,则的值为( )‎ A.5 B. C.25 D.‎ ‎(5)设是16的平方根,,则与的关系是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎(6)若,则值为( )‎ A.0 B.2 C.0或 D.0或2 ‎ ‎2.选择题 ‎(1)若,则的取值范围为 A. B.‎ C. D.一切有理数 ‎(2)若,则的平方根为 A.2 B. C.3 D.‎ ‎(3)若某数平方根是和,则这个数为 A.4 B.3 C.18 D.49‎ ‎(4)下列说法中正确的是 A.因为的平方等于9,所以9的平方根是 B.因为零既不是正数也不是负数,所以零没有平方根 C.因为的底数是,所以没有平方根 D.因为是负数,所以没有平方根 参考答案:‎ ‎1.(1)A (2)C (3)B (4)C (5)A (6)D ‎2.(1)A (2)D (3)D (4)D 解答题 ‎1.求下列各数的平方根和算术平方根 ‎(1)64; (2); (3);(4); (5);(6);(7);(8)‎ ‎2.1.求下列各式的值 ‎(1); (2);(3);‎ ‎(4); (5); (6)‎ ‎3.求下列各数的平方根和算术平方根:‎ ‎(1);(2);(3);(4);(5);(6)‎ ‎4.求下列各式的值:‎ ‎(1); (2);‎ ‎(3); (4);‎ ‎(5); (6);‎ ‎(7); (8)‎ 参考答案:‎ ‎1.(1),8 (2), (3), (4)无 (5),10 (6),5 (7), (8),‎ ‎2.(1) (2) (3) (4) (5) (6)‎ ‎3.(1), (2), (3),3 (4), (5)无 (6),2‎ ‎4.(1)1 (2)15 (3) (4)1 (5) (6) (7)5 (8)1‎ 解答题 ‎1.取何值,下列各式有意义 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎2.求下列各式中的值 ‎ ‎(1) (2);‎ ‎(3); (4);‎ ‎(5); (6)‎ ‎3.求的值 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎4.求值 已知,求的值.‎ 参考答案:‎ ‎1.(1) (2) (3) (4)全体实数 ‎2.(1) (2) (3) (4) (5) (6)‎ ‎3.(1)3或 (2)或 (3)或 (4)‎ ‎4. 解答题 ‎1.求值 若,其中,求.‎ ‎2.求值 若,其中,求.‎ ‎3.解答 代数式有意义,求的取值范围.‎ ‎4.求值 若,求的值.‎ ‎5.解答 已知,求、的值.‎ 参考答案:‎ ‎1.10‎ ‎2.‎ ‎3.‎ ‎4.2‎ ‎5.‎ ‎10.1平方根 ‎(一)选择题:‎ ‎1.下列说法中正确的是( ).‎ ‎(A)4是8的算术平方根 (B)16的平方根是4‎ ‎(C)是6的平方根 (D)没有平方根 ‎2.下列各式中错误的是( ).‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎3.若,则( ).‎ ‎(A)-0.7 (B)±0.7 (C)0.7 (D)0.49‎ ‎4.的平方根是( ).‎ ‎(A)6 (B)±6 (C) (D)‎ ‎5.若,,则( ).‎ ‎(A)716 (B)76.1 (C)7610 (D)0.761‎ ‎6.若有意义,则( ).‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(二)填空题:‎ ‎7.若,则是的__________,是的___________.‎ ‎8.9的算术平方根是__________,的平方根是___________.‎ ‎9.若有意义,则.‎ ‎10.的负的平方根是___________.‎ ‎11.如果的平方根是,则;如果的算术平方根是,.‎ ‎12.若,则.‎ ‎(三)解答题:‎ ‎13.求下列各数的平方根:‎ ‎(1); (2)‎ ‎(3).‎ ‎14.计算:‎ ‎(1); (2);‎ ‎(3); (4);‎ ‎(5); (6).‎ ‎15.解方程:‎ ‎(1); (2)‎ ‎(3).‎ ‎【答案提示】‎ ‎(一)1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C ‎(二)7.平方,平方根 8.3,±3 9.1 10.-11‎ ‎11.0,0或1 12.±1.01‎ 提示:‎ ‎9.由有意义,可得且,所以,因此 ‎(三)13.(1) (2) (3)‎ ‎14.(1)16 (2)-1.2 (3) (4)0.1 (5) (6)‎ ‎15.(1) (2)或-2 (3)或
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