中考数学专题复习练习：平方根

中考数学专题复习练习：平方根

典型例题一 例01．下列命题中，正确的命题是（ ）‎ A．绝对值等于它本身的数只有0‎ B．倒数等于它本身的数只有1‎ C．算术平方根等于它本身的数只有1‎ D．平方根等于它本身的数有： 0‎ 分析：绝对值等于它本身的数除0外，还有所有的正数，故不能选A；倒数等于它本身的数是1和-1，故不能选B；而算术平方根等于它本身的数有1和0，故不能选C；平方根等于它本身的数有0，故选D．‎ 解答：D．‎ 典型例题二 例02 下列5个命题中，正确的命题是（ ）‎ ‎①只有正数才有平方根；‎ ‎②是的平方根；‎ ‎③5的平方根是；‎ ‎④都是3的平方根；‎ ‎⑤的平方根是．‎ A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④‎ 分析：显然，①是错的，因为“0”的平方根还是“0”．②是对的．③是错的．因为5的平方根是．④是对的．⑤也是错的．因为，4的平方根是．因此所给的命题中只有②、④是对的．‎ 解答：本题应选D．‎ 典型例题三 例03．是的平方根的数学表达式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 分析 既然是“的平方根”，根据平方根的表示方法，就应该用来表示．‎ 解答 D 说明 考查平方根的表示法．‎ 典型例题四 例04．的平方根是（ ）‎ ‎ A．16 B．-4 C． D．没有平方根 分析 因，16的平方根是．‎ 解答 C 说明 正数的平方根有两个，零的平方根是0．‎ 典型例题五 例05 x分别取何值时，下列各式有意义？‎ ‎ 　（1） （2） （3）‎ ‎ （4）‎ 解：（1）因为非负数才有平方根，所以 ‎ 解得 即时，有意义．‎ ‎（2）根据算术平方根的定义，被开方数必为非负数．所以当时，无论x取何值，有意义．‎ ‎（3）解得，所以当时，有意义．‎ ‎（4）解得且，所以当且时，才有意义．‎ 说明 ‎①命题目的：进一步加深对负数平方根概念的理解．‎ ‎②解题关键：掌握好平方根定义并且会解不等式（组）．‎ ‎③错解剖析：如第（1）题不会解．第（4）题且写成或．‎ 典型例题六 例06．某数的绝对值的算术平方根，等于它本身，这个数必为（ ）‎ A．1或-1 B．1或0 C．-1或0 D1，-1，0‎ 分析 一个数的算术平方根等于本身的数只有0，1．所以某数为a，则．∴ 或者，∴ 或．‎ 解答 D 典型例题七 例07．以下语句及写成式子正确的是（ ）‎ A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 分析 7是49的算术平方根，应记为；7是的算术平方根，记为；是49的平方根，记为；所以只有B是正确的．‎ 解答 B 说明 表示a的平方根；表示a的算术平方根．‎ 典型例题八 例08．下列命题中正确的个数是（ ）‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）的算术平方根是；‎ ‎（4）是的平方根．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 分析 （1）表示0.9的算术平方根，根据平方根的定义，应该有 ‎，所以（1）错；（2）中表示的算术平方根，不能是负值，所以（2）错；（3）中的算术平方根应为正数，所以（3）错；（4）中的平方根是，正确．‎ 解答 A 说明 考查平方根的定义和求法．‎ 典型例题九 例09．下列结论中，正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 分析 因；；；．‎ 解答 A 典型例题十 例10．若一正数的平方根是与，则．‎ 分析 因为一个正数的平方根有两个，且互为相反数．所以，故．‎ 解答 ‎ 典型例题十一 例11．如果a的平方根是，那么 分析 因，故4的平方根是．，．‎ 解答 2‎ 说明 与的联系与区别．‎ 典型例题十二 例12．使式子有意义x的范围是________．‎ 分析 正数和零才能开平方，负数没有平方根．所以被开方数是非负数．‎ 故 ‎ 解答 ‎ 说明 ，，这是一个很重要的条件．‎ 典型例题十三 例13．为何值时，式子有意义？‎ 分析 任何正数、负数及0的平方都是非负数，所以只有是非负数时，式子才有意义．‎ 解答 ，得，‎ ‎∴当时，式子才有意义．‎ 典型例题十四 例14 求下列各数的平方根．‎ ‎（1）9 （2） （3）0.81‎ 解：（1）∵　‎ ‎　　　∴9的平方根是，即．‎ ‎（2）∵，，‎ ‎ ∴的平方根是，即 ‎（3）∵‎ ‎ ∴0.81的平方根是，即．‎ 说明：①命题目的：给出一个正数，会求出平方根．‎ ‎②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数．‎ ‎③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误．‎ 典型例题十五 例15．求下列各数的平方根和算术平方根．‎ ‎（1）0.0064 （2） （3）　　　　（4）‎ 解答 （1）因为，所以0.0064的平方根是算术平方根是0.08．‎ ‎（2）因为，而，所以的平方根是，它的算术平方根是．‎ ‎（3）因为，而，所以的平方根是，它的算术平方根是．‎ ‎（4）因为，而，所以的平方根是，它的算术平方根是7．‎ 说明 本题考查求平方根和求算术平方根的方法．‎ 因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根．当被开方数是带分数时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易造成错误．例如，说平方根是，就错了．‎ 典型例题十六 例16．求下列各式中的x：‎ ‎（1） （2）．‎ 分析 根据平方根的定义，或，则，其中（2）中看成一个整体，先求出的值，再求x的值．‎ 解答：（1）∵ ，即．‎ ‎∴ ．‎ ‎（2）∵ ，‎ ‎∴ ，‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 典型例题十七 例17．已知x，y都为有理数，且，的平方根=_______．‎ 解答 因有意义，故得 将代入式中，得．故 说明 提示题目隐含条件，利用平方根性质与概念解题．‎ 典型例题十八 例18．已知，且x是正数，求代数式的值．‎ 分析 只要求出x的值，代入代数式就可以了，关键是解已知方程．‎ 解答1：由得，∴，又∵，∴．‎ 当时，‎ 解答2 由，得，即，‎ ‎∴．把代入，得 典型例题十九 例19．如果，求的值．‎ 分析 已知条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解．‎ 解答 ∵ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴应有 解得 ‎ 说明 求解本题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，如果若干个非负数的和为零，则每个非负数都必须为零．‎ 典型例题二十 例20.选择题：下列命题 ‎（1） （2）‎ ‎（3）的平方根是； （4）的算术平方根是；‎ ‎（5）是的平方根； （6）0的平方根是0，0没有算术平方根；‎ ‎（7）的算术平方根是. ‎ 中真命的个数是（ ）. ‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ 分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义. ‎ ‎（1）‎ 不是的算术平方根. ‎ 故（1）是假命题. ‎ ‎（2）题中是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以（2）也是假命题. ‎ ‎（3）题中，由平方根性质：负数没有平方根. 所以（3）也是假命题. ‎ ‎（4）中的算术平方根应是正数，而是个负数，不符合算术平方根的定义. 故（4）也是假命题. ‎ ‎（5）‎ 的平方根是. 此为真命题. ‎ ‎（6）0的平方根0就是0的算术平方根，故（6）题也不正确. ‎ ‎（7）求的算术平方根，应是对进行开方运算，而非平方运算. 故此命题也不是真命题. ‎ 解答：应选（A）‎ 说明：平方根、算术平方根是非常重要的概念. ‎ 其共同点：平方根和算术平方根都是对非负数的开方运算，0的平方根和算术平方极都只有一个0；其不同点是：一个正数的平方根有两个，两算术平方根只有一个；它们的联系是：算术平方根是平方根中的正的平方根.‎ 典型例题二十一 例21．如果一个数的平方根是与，那么这个数是多少？‎ 分析：首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根，根据平方根的性质可知它们互为相反数，其和为0.‎ 解答：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以，解得,当时，，即两个平方根分别为7和，故原数为49‎ 说明：关键抓住一个正数的两个平方根的性质，转化为求方程的解.‎ 典型例题二十二 例22．求下列各式的值 ‎（1） （2） （3） （4）‎ 分析：是求的算术平方根；是求81的算术平方根的相反数；是求的平方根；而是求的算术平方根. ‎ 解答：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ 说明：、、的区别是表示正数的算术平方根；表示正数的算术平方根的相反数；而则表示正数的平方根. ‎ 典型例题二十三 例23．求下列各式中x的值：‎ ‎（1）； （2）‎ 分析：这里要求灵活运用开平方的知识来解方程，如果把方程左边展开，则走入误区，必须运用开平方的知识求解. ‎ 解答：（1），，‎ ‎，则 ‎（2），‎ ‎，则 说明：本题不要将原方程利用乘法公式变形展开，把括号里的看作整体处理，因此问题就转化为求平方根问题. 但要注意一个正数的平方根有两个.‎ 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）如果一个数的平方等于，这个数叫做的______．‎ ‎（2）一个正数有_______个平方根，它们是______关系．‎ ‎（3）0的平方根是________．‎ ‎（4）9的平方根是___________．‎ ‎（5）是________的平方根．‎ ‎（6）平方根是的数是_____________．‎ ‎（7）16的正的平方根是_______________．‎ ‎（8）的负的平方根是__________________．‎ ‎（9）是_______的算术平方根．‎ ‎（10）7的平方根是______________．‎ ‎2．填空题 ‎（1）是_________的平方根． （2）的平方根是_________．‎ ‎（3）_______的平方等于 （4）的平方根为_________．‎ ‎（5）的算术平方根是_______．‎ ‎（6）的平方根是________．‎ ‎（7）是的平方根，则_______．‎ ‎（8）_______是17的算术平方根．‎ ‎（9）的算术平方根是_____．‎ ‎（10）若，则_______．‎ ‎3．填空题 ‎（1）的平方根是_______．‎ ‎（2）有意义，则_________．‎ ‎（3）若，则__________．‎ ‎（4）______________．‎ ‎（5）若__________．‎ ‎（6）当时，________．‎ ‎（7）若，则_____________．‎ ‎（8）当时的平方根为_______．‎ ‎（9）求值：___________．‎ ‎（10）若，则________________．‎ 参考答案：‎ ‎1.（1）平方根 （2）两，互为相反数 （3）0 （4） （5） （6） （7）4 （8） （9）5 （10）‎ ‎2. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）8 （10）‎ ‎3. （1） （2） （3）49 （4）21 （5） （6）1 （7） （8） （9） （10）0或 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）下列各数中，没有平方根是 A．0 B． C． D．‎ ‎（2）“的平方根是”用数学式子表示为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎（3）下列说法错误的是 A．是9的平方根 B．的平方等于5‎ C．的平方根是 D．9的算术平方根是3‎ ‎（4）下列说法正确的是 A．任何数的平方根都有两个 B．一个正数的平方根是本身 C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根 ‎（5）下列计算正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．选择题 ‎（1）一个数存在算术平方根，则下列说法正确的是 A．它是一个正数 B．它是一个非负数 C．它是0 D．它是负数 ‎（2）的平方根是 A．4 B． C． D．‎ ‎（3）下列没有平方根的数 A． B．0 C．10 D．‎ ‎（4）下列等式成立的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎（5）下列说法中，错误的是 A．是3的平方根 B．是3的算术平方根 C．3的平方根就是3的算术平方根 D．－的平方是3‎ ‎（6）的算术平方根是 A． B．5 C． D．‎ ‎（7）当时，的值是 A．3 B．＋3 C． D．无意义 ‎（8）下列语句正确的是 A．一个数的平方根一定是两个 B．一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根 C．一个正数的平方根一定是它的算术平方根 D．一个非零数的平方根是它的算术平方根 ‎（9）下列命题，①1的平方根是1；②1是1的平方根；③的平方根是－1；④一个数的平方根等于它的算术平方根，这个数只有0一个 ‎ 正确的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎（10）一个自然数的算术平方根是，则大于此自然数并与之相邻的自然数的算术平方根是 A． B． C． D．‎ 参考答案：‎ ‎1.（1）C （2）B （3）C （4）D （5）A ‎2.（1）B （2）D （3）A （4）D （5）C （6）B （7）D （8）B （9）B （10）A 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）下列说法正确的是（）个 ‎ ①的平方根是；②的算方平方根是；③的平方根是；④是11的算术平方根；⑤36的平方根是 A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎（2）若，，则的值等于（ ）‎ A．1 B．2 C．10 D．‎ ‎（3）若，则为（ ）‎ A．1或 B．或5 C．1或5 D．或 ‎（4）设，，则的值为（ ）‎ A．5 B． C．25 D．‎ ‎（5）设是16的平方根，，则与的关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（6）若，则值为（ ）‎ A．0 B．2 C．0或 D．0或2 ‎ ‎2．选择题 ‎（1）若，则的取值范围为 A． B．‎ C． D．一切有理数 ‎（2）若，则的平方根为 A．2 B． C．3 D．‎ ‎（3）若某数平方根是和，则这个数为 A．4 B．3 C．18 D．49‎ ‎（4）下列说法中正确的是 A．因为的平方等于9，所以9的平方根是 B．因为零既不是正数也不是负数，所以零没有平方根 C．因为的底数是，所以没有平方根 D．因为是负数，所以没有平方根 参考答案：‎ ‎1.（1）A （2）C （3）B （4）C （5）A （6）D ‎2.（1）A （2）D （3）D （4）D 解答题 ‎1．求下列各数的平方根和算术平方根 ‎（1）64； （2）； （3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）‎ ‎2．1．求下列各式的值 ‎（1）； （2）；（3）；‎ ‎（4）； （5）； （6）‎ ‎3.求下列各数的平方根和算术平方根：‎ ‎（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）‎ ‎4．求下列各式的值：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）；‎ ‎（7）； （8）‎ 参考答案：‎ ‎1.（1），8 （2）， （3）， （4）无 （5），10 （6），5 （7）, （8），‎ ‎2.（1） （2） （3） （4） （5） （6）‎ ‎3.（1）, （2）, （3）,3 （4）, （5）无 （6），2‎ ‎4.（1）1 （2）15 （3） （4）1 （5） （6） （7）5 （8）1‎ 解答题 ‎1．取何值，下列各式有意义 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎2．求下列各式中的值 ‎ ‎（1） （2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）‎ ‎3．求的值 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎4．求值 已知，求的值．‎ 参考答案：‎ ‎1.（1） （2） （3） （4）全体实数 ‎2.（1） （2） （3） （4） （5） （6）‎ ‎3.（1）3或 （2）或 （3）或 （4）‎ ‎4. 解答题 ‎1．求值 若，其中，求．‎ ‎2．求值 若，其中，求．‎ ‎3．解答 代数式有意义，求的取值范围．‎ ‎4．求值 若，求的值．‎ ‎5．解答 已知，求、的值．‎ 参考答案：‎ ‎1.10‎ ‎2.‎ ‎3.‎ ‎4.2‎ ‎5.‎ ‎10.1平方根 ‎（一）选择题：‎ ‎1．下列说法中正确的是（ ）．‎ ‎（A）4是8的算术平方根 （B）16的平方根是4‎ ‎（C）是6的平方根 （D）没有平方根 ‎2．下列各式中错误的是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎3．若，则（ ）．‎ ‎（A）－0.7 （B）±0.7 （C）0.7 （D）0.49‎ ‎4．的平方根是（ ）．‎ ‎（A）6 （B）±6 （C） （D）‎ ‎5．若，，则（ ）．‎ ‎（A）716 （B）76.1 （C）7610 （D）0.761‎ ‎6．若有意义，则（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（二）填空题：‎ ‎7．若，则是的__________，是的___________．‎ ‎8．9的算术平方根是__________，的平方根是___________．‎ ‎9．若有意义，则．‎ ‎10．的负的平方根是___________．‎ ‎11．如果的平方根是，则；如果的算术平方根是，．‎ ‎12．若，则．‎ ‎（三）解答题：‎ ‎13．求下列各数的平方根：‎ ‎（1）； （2）‎ ‎（3）．‎ ‎14．计算：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）．‎ ‎15．解方程：‎ ‎（1）； （2）‎ ‎（3）．‎ ‎【答案提示】‎ ‎（一）1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C ‎（二）7．平方，平方根 8．3，±3 9．1 10．－11‎ ‎11．0，0或1 12．±1.01‎ 提示：‎ ‎9．由有意义，可得且，所以，因此 ‎（三）13．（1） （2） （3）‎ ‎14．（1）16 （2）－1.2 （3） （4）0.1 （5） （6）‎ ‎15．（1） （2）或－2 （3）或