2020年浙江省嘉兴市中考数学试卷

2020年浙江省嘉兴市中考数学试卷

2020 年浙江省嘉兴市中考数学试卷 一、选择题（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、 多选、错选，均不得分） 1．（3 分）2020 年 3 月 9 日，中国第 54 颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为 36000000m ．数 36000000 用科学记数法表示为 ( ) A． 80.36 10 B． 736 10 C． 83.6 10 D． 73.6 10 2．（3 分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为 ( ) A． B． C． D． 3．（3 分）已知样本数据 2，3，5，3，7，下列说法不正确的是 ( ) A．平均数是 4 B．众数是 3 C．中位数是 5 D．方差是 3.2 4．（3 分）一次函数 2 1y x  的图象大致是 ( ) A． B． C． D． 5．（3 分）如图，在直角坐标系中， OAB 的顶点为 (0,0)O ， (4,3)A ， (3,0)B ．以点 O 为 位似中心，在第三象限内作与 OAB 的位似比为 1 3 的位似图形 OCD ，则点 C 坐标 ( ) A． ( 1, 1)  B． 4( 3  ， 1) C． 4( 1, )3   D． ( 2, 1)  6．（3 分）不等式 3(1 ) 2 4x x   的解在数轴上表示正确的是 ( ) A． B． C． D． 7．（3 分）如图，正三角形 ABC 的边长为 3，将 ABC 绕它的外心 O 逆时针旋转 60得到△ A B C  ，则它们重叠部分的面积是 ( ) A． 2 3 B． 3 34 C． 3 32 D． 3 8．（3 分）用加减消元法解二元一次方程组 3 4, 2 1 x y x y      ① ㅤ② 时，下列方法中无法消元的是 ( ) A．① 2  ② B．② ( 3)   ① C．① ( 2)   ② D．①  ② 3 9．（3 分）如图，在等腰 ABC 中， 2 5AB AC  ， 8BC  ，按下列步骤作图： ①以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB ， AC 于点 E ， F ，再分别以点 E ， F 为圆心，大于 1 2 EF 的长为半径作弧相交于点 H ，作射线 AH ； ②分别以点 A ， B 为圆心，大于 1 2 AB 的长为半径作弧相交于点 M ， N ，作直线 MN ，交 射线 AH 于点 O ； ③以点 O 为圆心，线段 OA 长为半径作圆． 则 O 的半径为 ( ) A． 2 5 B．10 C．4 D．5 10．（3 分）已知二次函数 2y x ，当 a x b„ „ 时 m y n„ „ ，则下列说法正确的是 ( ) A．当 1n m  时， b a 有最小值 B．当 1n m  时， b a 有最大值 C．当 1b a  时， n m 无最小值 D．当 1b a  时， n m 有最大值 二、填空题（本题有 6 小题，每题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）分解因式： 2 9x   ． 12．（4 分）如图， ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O ，请添加一个条件： ，使 ABCD 是菱形． 13．（4 分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径， 它获得食物的概率是 ． 14．（4 分）如图，在半径为 2 的圆形纸片中，剪一个圆心角为 90 的最大扇形（阴影部分）， 则这个扇形的面积为 ；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径 为 ． 15．（4 分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分 10 元钱，每人分得 若干；若再加上 6 人，平分 40 元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人 数．设第一次分钱的人数为 x 人，则可列方程 ． 16．（4 分）如图，有一张矩形纸条 ABCD ， 5AB cm ， 2BC cm ，点 M ，N 分别在边 AB ， CD 上， 1CN cm ．现将四边形 BCNM 沿 MN 折叠，使点 B ，C 分别落在点 B ，C 上．当 点 B 恰好落在边 CD上时，线段 BM 的长为 cm ；在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程中， 若边 MB 与边 CD交于点 E ，则点 E 相应运动的路径长为 cm ． 三、解答题（本题有 8 小题，第 17～19 题每题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23 题 每题 10 分，第 24 题 12 分，共 66 分） 17．（6 分）（1）计算： 0(2020) 4 | 3|   ； （2）化简： ( 2)( 2) ( 1)a a a a    ． 18．（6 分）比较 2 1x  与 2x 的大小． （1）尝试（用“  ”，“  ”或“  ”填空）: ①当 1x  时， 2 1x  2x ； ②当 0x  时， 2 1x  2x ； ③当 2x   时， 2 1x  2x ． （2）归纳：若 x 取任意实数， 2 1x  与 2x 有怎样的大小关系？试说明理由． 19．（6 分）已知：如图，在 OAB 中，OA OB ， O 与 AB 相切于点 C ．求证：AC BC ．小 明同学的证明过程如下框： 证明：连结 OC ， OA OB ， A B   ， 又 OC OC ， OAC OBC   ， AC BC  ． 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“  ”；若错误，请写出你的证明过程． 20．（8 分）经过实验获得两个变量 ( 0)x x  ， ( 0)y y  的一组对应值如下表． x 1 2 3 4 5 6 y 6 2.9 2 1.5 1.2 1 （1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式． （2）点 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y 在此函数图象上．若 1 2x x ，则 1y ， 2y 有怎样的大小关系？ 请说明理由． 21．（8 分）小吴家准备购买一台电视机，小吴将收集到的某地区 A 、 B 、C 三种品牌电视 机销售情况的有关数据统计如下： 根据上述三个统计图，请解答： （1）2014 ~ 2019 年三种品牌电视机销售总量最多的是 品牌，月平均销售量最稳定的是 品牌． （2）2019 年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？ （3）货比三家后，你建议小吴家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由． 22．（10 分）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他 们在河南岸的点 A 处测得河北岸的树 H 恰好在 A 的正北方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量 工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量 方案 示意 图 说明 点 B ， C 在点 A 的正东方向 点 B ， D 在点 A 的正 东方向 点 B 在点 A 的正东方 向，点 C 在点 A 的正西 方向． 测量 数据 60BC m ， 70ABH   ， 35ACH   ． 20BD m ， 70ABH   ， 35BCD   ． 101BC m ， 70ABH   ， 35ACH   ． （1）哪个小组的数据无法计算出河宽？ （2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到 0.1 )m ．（参考数据： sin70 0.94  ， sin35 0.57  ， tan70 2.75  ， tan35 0.70)  23．（10 分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼 在一起，使点 A 与点 F 重合，点 C 与点 D 重合（如图1) ，其中 90ACB DFE     ， 3BC EF cm  ， 4AC DF cm  ，并进行如下研究活动． 活动一：将图 1 中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移，连结 AE ，BD（如图 2) ，当点 F 与点 C 重 合时停止平移． 【思考】图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片 DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形 ABDE 为矩形（如图 3) ．求 AF 的长． 活动二：在图 3 中，取 AD 的中点 O ，再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 度 (0 90)„ „ ， 连结 OB ， OE （如图 4) ． 【探究】当 EF 平分 AEO 时，探究 OF 与 BD 的数量关系，并说明理由． 24．（12 分）在篮球比赛中，东东投出的球在点 A 处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的 一部分（如图 1 所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点 B ． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当球运动到点 C 时被东东抢到，CD x 轴于点 D ， 2.6CD m ． ①求 OD 的长． ②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点 D 处垂直起跳传球，想将球沿直线快速 传给队友华华，目标为华华的接球点 (4,1.3)E ．东东起跳后所持球离地面高度 1( )h m （传球 前）与东东起跳后时间 ( )t s 满足函数关系式 2 1 2( 0.5) 2.7(0 1)h t t    „ „ ；小戴在点 (1.5,0)F 处拦截，他比东东晚 0.3s 垂直起跳，其拦截高度 2 ( )h m 与东东起跳后时间 ( )t s 的函数关系如 图 2 所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点 E ？ 若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动 时间忽略不计）． 2020 年浙江省嘉兴市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、 多选、错选，均不得分） 1．（3 分）2020 年 3 月 9 日，中国第 54 颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为 36000000m ．数 36000000 用科学记数法表示为 ( ) A． 80.36 10 B． 736 10 C． 83.6 10 D． 73.6 10 【分析】科学记数法的表示形式为 10na  的形式，其中1 | | 10a „ ， n 为整数．确定 n 的值 时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位， n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解：36 000 7000 3.6 10  ， 故选： D ． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值． 2．（3 分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为 ( ) A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看易得第一列有 2 个正方形，第二列底层有 1 个正方形． 故选： A ． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．（3 分）已知样本数据 2，3，5，3，7，下列说法不正确的是 ( ) A．平均数是 4 B．众数是 3 C．中位数是 5 D．方差是 3.2 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可． 【解答】解：样本数据 2，3，5，3，7 中平均数是 4，中位数是 3，众数是 3，方差是 2 2 2 2 2 21[(2 4) (3 4) (5 4) (3 4) (7 4) ] 3.25S            ． 故选： C ． 【点评】本题考查方差、众数、中位数、平均数．关键是掌握各种数的定义，熟练记住方差 公式是解题的关键． 4．（3 分）一次函数 2 1y x  的图象大致是 ( ) A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质，判断出 k 和 b 的符号即可解答． 【解答】解：由题意知， 2 0k   ， 1 0b    时，函数图象经过一、三、四象限． 故选： B ． 【点评】本题考查了一次函数 y kx b  图象所过象限与 k ， b 的关系，当 0k  ， 0b  时， 函数图象经过一、三、四象限． 5．（3 分）如图，在直角坐标系中， OAB 的顶点为 (0,0)O ， (4,3)A ， (3,0)B ．以点 O 为 位似中心，在第三象限内作与 OAB 的位似比为 1 3 的位似图形 OCD ，则点 C 坐标 ( ) A． ( 1, 1)  B． 4( 3  ， 1) C． 4( 1, )3   D． ( 2, 1)  【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把 A 点的横纵坐标都乘以 1 3  即可． 【解答】解：以点 O 为位似中心，位似比为 1 3 ， 而 A (4,3) ， A 点的对应点 C 的坐标为 4( 3  ， 1) ． 故选： B ． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为 k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 k ． 6．（3 分）不等式 3(1 ) 2 4x x   的解在数轴上表示正确的是 ( ) A． B． C． D． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集， 继而可得答案． 【解答】解：去括号，得： 3 3 2 4x x   ， 移项，得： 3 4 2 3x x    ， 合并，得： 1x   ， 故选： A ． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键， 尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 7．（3 分）如图，正三角形 ABC 的边长为 3，将 ABC 绕它的外心 O 逆时针旋转 60得到△ A B C  ，则它们重叠部分的面积是 ( ) A． 2 3 B． 3 34 C． 3 32 D． 3 【分析】根据重合部分是正六边形，连接 O 和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全 等的等边三角形，据此即可求解． 【解答】解：作 AM BC 于 M ，如图： 重合部分是正六边形，连接 O 和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角 形． ABC 是等边三角形， AM BC ， 3AB BC   ， 1 3 2 2BM CM BC   ， 30BAM   ， 3 33 2AM BM   ， ABC 的面积 1 1 3 3 9 332 2 2 4BC AM      ， 重叠部分的面积 6 9 ABC  的面积 6 9 3 3 3 9 4 2    ； 故选： C ． 【点评】本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接 O 和正 六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键． 8．（3 分）用加减消元法解二元一次方程组 3 4, 2 1 x y x y      ① ㅤ② 时，下列方法中无法消元的是 ( ) A．① 2  ② B．② ( 3)   ① C．① ( 2)   ② D．①  ② 3 【分析】方程组利用加减消元法变形即可． 【解答】解： A 、① 2  ②可以消元 x ，不符合题意； B 、② ( 3)   ①可以消元 y ，不符合题意； C 、① ( 2)   ②可以消元 x ，不符合题意； D 、①  ② 3 无法消元，符合题意． 故选： D ． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键． 9．（3 分）如图，在等腰 ABC 中， 2 5AB AC  ， 8BC  ，按下列步骤作图： ①以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB ， AC 于点 E ， F ，再分别以点 E ， F 为圆心，大于 1 2 EF 的长为半径作弧相交于点 H ，作射线 AH ； ②分别以点 A ， B 为圆心，大于 1 2 AB 的长为半径作弧相交于点 M ， N ，作直线 MN ，交 射线 AH 于点 O ； ③以点 O 为圆心，线段 OA 长为半径作圆． 则 O 的半径为 ( ) A． 2 5 B．10 C．4 D．5 【分析】如图，设 OA 交 BC 于T ．解直角三角形求出 AT ，再在 Rt OCT 中，利用勾股定 理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，设 OA 交 BC 于T ． 2 5AB AC  ， AO 平分 BAC ， AO BC  ， 4BT TC  ， 2 2 2 2(2 5) 4 2AT AC CT      ， 在 Rt OCT 中，则有 2 2 2( 2) 4r r   ， 解得 5r  ， 故选： D ． 【点评】本题考查作图  复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理 解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（3 分）已知二次函数 2y x ，当 a x b„ „ 时 m y n„ „ ，则下列说法正确的是 ( ) A．当 1n m  时， b a 有最小值 B．当 1n m  时， b a 有最大值 C．当 1b a  时， n m 无最小值 D．当 1b a  时， n m 有最大值 【分析】①当 1b a  时，当 a ， b 同号时，先判断出四边形 BCDE 是矩形，得出 1BC DE b a    ， CD BE m  ，进而得出 AC n m  ，即 tan n m  ，再判断出 45 90ABC   „ ，即可得出 n m 的范围，当 a ，b 异号时， 0m  ，当 1 2a   ， 1 2b  时， n 最小 1 4  ，即可得出 n m 的范围； ②当 1n m  时，当 a ， b 同号时，同①的方法得出 NH PQ b a   ， HQ PN m  ，进 而得出 1MH n m   ，而 1tan MHN b a    ，再判断出 45 90MNH   „ ，当 a ， b 异号 时， 0m  ，则 1n  ，即可求出 a， b ，即可得出结论． 【解答】解：①当 1b a  时，当 a， b 同号时，如图 1， 过点 B 作 BC AD 于 C ， 90BCD  ， 90ADE BED     ， 90ADD BCD BED       ， 四边形 BCDE 是矩形， 1BC DE b a     ， CD BE m  ， AC AD CD n m     ， 在 Rt ACB 中， tan ACABC n mBC     ， 点 A ， B 在抛物线 2y x 上，且 a ， b 同号， 45 90ABC    „ ， tan 1ABC  … ， 1n m  … ， 当 a， b 异号时， 0m  ， 当 1 2a   ， 1 2b  或时， 1 4n  ，此时， 1 4n m  ，  1 14 n m „ ， 即 1 4n m … ， 即 n m 无最大值，有最小值，最小值为 1 4 ，故选项 C ， D 都错误； ②当 1n m  时，如图 2， 当 a， b 同号时，过点 N 作 NH MQ 于 H ， 同①的方法得， NH PQ b a   ， HQ PN m  ， 1MH MQ HQ n m      ， 在 Rt MHQ 中， 1tan MHMNH NH b a     ， 点 M ， N 在抛物线 2y x 上， 0m … ， 当 0m  时， 1n  ， 点 (0,0)N ， (1,1)M ， 1NH  ， 此时， 45MNH   ， 45 90MNH    „ ， tan 1MNH  … ，  1 1b a … ， 当 a， b 异号时， 0m  ， 1n  ， 1a   ， 1b  ， 即 2b a  ， b a  无最小值，有最大值，最大值为 2，故选项 A 错误； 故选： B ． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出 MNH 的范围是解本题的关键． 二、填空题（本题有 6 小题，每题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）分解因式： 2 9x   ( 3)( 3)x x  ． 【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式． 【解答】解： 2 9 ( 3)( 3)x x x    ． 故答案为： ( 3)( 3)x x  ． 【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即 “两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法． 12．（4 分）如图， ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O ，请添加一个条件： AD DC （答案不唯一） ，使 ABCD 是菱形． 【分析】根据菱形的定义得出答案即可． 【解答】解：邻边相等的平行四边形是菱形， 平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ，试添加一个条件：可以为：AD DC ； 故答案为： AD DC （答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关 键． 13．（4 分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径， 它获得食物的概率是 1 3 ． 【分析】直接利用概率公式求解． 【解答】解：蚂蚁获得食物的概率 1 3  ． 故答案为 1 3 ． 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P （A）  事件 A 可能出现的结果数除 以所有可能出现的结果数． 14．（4 分）如图，在半径为 2 的圆形纸片中，剪一个圆心角为 90 的最大扇形（阴影部分）， 则这个扇形的面积为  ；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半 径为 ． 【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周 长求得底面半径即可． 【解答】解：连接 BC ， 由 90BAC   得 BC 为 O 的直径， 2 2BC  ， 在 Rt ABC 中，由勾股定理可得： 2AB AC  ， 90 4 360ABCS    扇形 ； 扇形的弧长为： 90 2 180    ， 设底面半径为 r ，则 2 r  ， 解得： 1 2r  ， 故答案为： ， 1 2 ． 【点评】本题考查了圆周角定理、扇形的面积计算方法、弧长公式等知识．关键是熟悉圆锥 的展开图和底面圆与圆锥的关系．利用所学的勾股定理、弧长公式及扇形面积公式求值． 15．（4 分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分 10 元钱，每人分得 若干；若再加上 6 人，平分 40 元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人 数．设第一次分钱的人数为 x 人，则可列方程 10 40 6x x   ． 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论． 【解答】解：根据题意得， 10 40 6x x   ， 故答案为： 10 40 6x x   ． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键． 16．（4 分）如图，有一张矩形纸条 ABCD ， 5AB cm ， 2BC cm ，点 M ，N 分别在边 AB ， CD 上， 1CN cm ．现将四边形 BCNM 沿 MN 折叠，使点 B ，C 分别落在点 B ，C 上．当 点 B 恰好落在边 CD上时，线段 BM 的长为 5 cm ；在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程 中，若边 MB 与边 CD交于点 E ，则点 E 相应运动的路径长为 cm ． 【分析】第一个问题证明 BM MB NB   ，求出 NB 即可解决问题．第二个问题，探究点 E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可． 【解答】解：如图 1 中， 四边形 ABCD 是矩形， / /AB CD ， 1 3   ， 由翻折的性质可知： 1 2   ， BM MB  ， 2 3   ， MB NB    ， 2 2 2 22 1 5( )NB B C NC cm         ， 5( )BM NB cm    ． 如图 2 中，当点 M 与 A 重合时， AE EN ，设 AE EN xcm  ， 在 Rt ADE 中，则有 2 2 22 (4 )x x   ，解得 5 2x  ， 5 34 ( )2 2DE cm    ， 如图 3 中，当点 M 运动到 MB AB  时， DE 的值最大， 5 1 2 2( )DE cm     ， 如图 4 中，当点 M 运动到点 B 落在 CD 时， DB （即 ) 5 1 5 (4 5)( )DE cm      ， 点 E 的运动轨迹 E E E    ，运动路径 3 32 2 (4 5) ( 5 )( )2 2EE E B cm            ． 故答案为 5 ， 3( 5 )2  ． 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意， 灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本题有 8 小题，第 17～19 题每题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23 题 每题 10 分，第 24 题 12 分，共 66 分） 17．（6 分）（1）计算： 0(2020) 4 | 3|   ； （2）化简： ( 2)( 2) ( 1)a a a a    ． 【分析】（1）直接利用零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案； （2）直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式计算得出答案． 【解答】解：（1） 0(2020) 4 | 3|   1 2 3   2 ； （2） ( 2)( 2) ( 1)a a a a    2 24a a a    4 a   ． 【点评】此题主要考查了实数运算以及平方差公式以及单项式乘以多项式，正确掌握相关运 算法则是解题关键． 18．（6 分）比较 2 1x  与 2x 的大小． （1）尝试（用“  ”，“  ”或“  ”填空）: ①当 1x  时， 2 1x   2x ； ②当 0x  时， 2 1x  2x ； ③当 2x   时， 2 1x  2x ． （2）归纳：若 x 取任意实数， 2 1x  与 2x 有怎样的大小关系？试说明理由． 【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案； （2）根据完全平方公式，可得答案． 【解答】解：（1）①当 1x  时， 2 1 2x x  ； ②当 0x  时， 2 1 2x x  ； ③当 2x   时， 2 1 2x x  ． （2） 2 1 2x x … ． 证明： 2 21 2 ( 1) 0x x x    … ， 2 1 2x x  … ． 故答案为：  ；  ；  ． 【点评】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键． 19．（6 分）已知：如图，在 OAB 中，OA OB ， O 与 AB 相切于点 C ．求证：AC BC ．小 明同学的证明过程如下框： 证明：连结 OC ， OA OB ， A B   ， 又 OC OC ， OAC OBC   ， AC BC  ． 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“  ”；若错误，请写出你的证明过程． 【分析】连结 OC ，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：证法错误； 证明：连结 OC ， O 与 AB 相切于点 C ， OC AB  ， OA OB ， AC BC  ． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练正确切线的性质是解题的关键． 20．（8 分）经过实验获得两个变量 ( 0)x x  ， ( 0)y y  的一组对应值如下表． x 1 2 3 4 5 6 y 6 2.9 2 1.5 1.2 1 （1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式． （2）点 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y 在此函数图象上．若 1 2x x ，则 1y ， 2y 有怎样的大小关系？ 请说明理由． 【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式． （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为 ( 0)ky kx   ， 把 1x  ， 6y  代入，得 6k  ， 函数表达式为 6 ( 0)y xx   ； （2） 6 0k   ， 在第一象限， y 随 x 的增大而减小， 1 20 x x   时，则 1 2y y ． 【点评】本题考查描点法画函数图象、反比例函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键 掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题，属于中考常考题型． 21．（8 分）小吴家准备购买一台电视机，小吴将收集到的某地区 A 、 B 、C 三种品牌电视 机销售情况的有关数据统计如下： 根据上述三个统计图，请解答： （1） 2014 ~ 2019 年三种品牌电视机销售总量最多的是 B 品牌，月平均销售量最稳定 的是 品牌． （2）2019 年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？ （3）货比三家后，你建议小吴家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由． 【分析】（1）从条形统计图、折线统计图可以得出答案； （2）求出总销售量，“其它”的所占的百分比； （3）从市场占有率、平均销售量等方面提出建议． 【解答】解：（1）由条形统计图可得， 2014 ~ 2019 年三种品牌电视机销售总量最多的是 B 品牌，是 1746 万台； 由条形统计图可得， 2014 ~ 2019 年三种品牌电视机月平均销售量最稳定的是 C 品牌，比较 稳定，极差最小； 故答案为： B ， C ； （2） 20 12 25% 960   （万台），1 25% 29% 34% 12%    ， 960 12% 115.2   （万台）； 答：2019 年其他品牌的电视机年销售总量是 115.2 万台； （3）建议购买 C 品牌，因为 C 品牌 2019 年的市场占有率最高，且 5 年的月销售量最稳定； 建议购买 B 品牌，因为 B 品牌的销售总量最多，收到广大顾客的青睐． 【点评】考查条形统计图、折线统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中各个 数量及数量之间的关系是解决问题的关键． 22．（10 分）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他 们在河南岸的点 A 处测得河北岸的树 H 恰好在 A 的正北方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量 工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量 方案 示意 图 说明 点 B ， C 在点 A 的正东方向 点 B ， D 在点 A 的正 东方向 点 B 在点 A 的正东方 向，点 C 在点 A 的正西 方向． 测量 数据 60BC m ， 70ABH   ， 35ACH   ． 20BD m ， 70ABH   ， 35BCD   ． 101BC m ， 70ABH   ， 35ACH   ． （1）哪个小组的数据无法计算出河宽？ （2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到 0.1 )m ．（参考数据： sin70 0.94  ， sin35 0.57  ， tan70 2.75  ， tan35 0.70)  【分析】（1）第二个小组的数据无法计算河宽． （2）第一个小组：证明 60BC BH m  ，解直角三角形求出 AH 即可． 第三个小组：设 AH xm ，则 tan35 AHCA   ， tan70 AHAB   ，根据CA AB CB  ，构建方程 求解即可． 【解答】解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽． （2）第一个小组的解法： ABH ACH BHC     ， 70ABH   ， 35ACH   ， 35BHC BCH     ， 60BC BH m   ， sin70 60 0.94 56.4( )AH BH m      ． 第三个小组的解法：设 AH xm ， 则 tan35 AHCA   ， tan70 AHAB   ， CA AB CB  ，  1010.70 2.75 x x  ， 解得 56.4x  ． 答：河宽为 56.4m ． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学 会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 23．（10 分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼 在一起，使点 A 与点 F 重合，点 C 与点 D 重合（如图1) ，其中 90ACB DFE     ， 3BC EF cm  ， 4AC DF cm  ，并进行如下研究活动． 活动一：将图 1 中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移，连结 AE ，BD（如图 2) ，当点 F 与点 C 重 合时停止平移． 【思考】图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片 DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形 ABDE 为矩形（如图 3) ．求 AF 的长． 活动二：在图 3 中，取 AD 的中点 O ，再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 度 (0 90)„ „ ， 连结 OB ， OE （如图 4) ． 【探究】当 EF 平分 AEO 时，探究 OF 与 BD 的数量关系，并说明理由． 【分析】【思考】 由全等三角形的性质得出 AB DE ， BAC EDF   ，则 / /AB DE ，可得出结论； 【发现】 连接 BE 交 AD 于点 O ，设 ( )AF x cm ，则 1 ( 4)2OA OE x   ，得出 12 2OF OA AF x    ， 由勾股定理可得 2 2 21 1(2 ) 3 ( 4)2 4x x    ，解方程求出 x ，则 AF 可求出； 【探究】 如图 2，延长 OF 交 AE 于点 H ，证明 ( )EFO EFH ASA   ，得出 EO EH ， FO FH ， 则 EHO EOH OBD ODB       ，可证得 ( )EOH OBD AAS   ，得出 BD OH ，则结 论得证． 【解答】解：【思考】四边形 ABDE 是平行四边形． 证明：如图， ABC DEF   ， AB DE  ， BAC EDF   ， / /AB DE ， 四边形 ABDE 是平行四边形； 【发现】如图 1，连接 BE 交 AD 于点 O ， 四边形 ABDE 为矩形， OA OD OB OE    ， 设 ( )AF x cm ，则 1 ( 4)2OA OE x   ， 12 2OF OA AF x     ， 在 Rt OFE 中， 2 2 2OF EF OE  ，  2 2 21 1(2 ) 3 ( 4)2 4x x    ， 解得： 9 4x  ， 9 4AF cm  ． 【探究】 2BD OF ， 证明：如图 2，延长OF 交 AE 于点 H ， 四边形 ABDE 为矩形， OAB OBA ODE OED       ， OA OB OE OD   ， OBD ODB   ， OAE OEA   ， 360ABD BDE DEA EAB         ， 180ABD BAE     ， / /AE BD ， OHE ODB   ， EF 平分 OEH ， OEF HEF   ， 90EFO EFH     ， EF EF ， ( )EFO EFH ASA   ， EO EH  ， FO FH ， EHO EOH OBD ODB       ， ( )EOH OBD AAS   ， 2BD OH OF   ． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质， 全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，熟练 掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（12 分）在篮球比赛中，东东投出的球在点 A 处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的 一部分（如图 1 所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点 B ． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当球运动到点 C 时被东东抢到，CD x 轴于点 D ， 2.6CD m ． ①求 OD 的长． ②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点 D 处垂直起跳传球，想将球沿直线快速 传给队友华华，目标为华华的接球点 (4,1.3)E ．东东起跳后所持球离地面高度 1( )h m （传球 前）与东东起跳后时间 ( )t s 满足函数关系式 2 1 2( 0.5) 2.7(0 1)h t t    „ „ ；小戴在点 (1.5,0)F 处拦截，他比东东晚 0.3s 垂直起跳，其拦截高度 2 ( )h m 与东东起跳后时间 ( )t s 的函数关系如 图 2 所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点 E ？ 若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动 时间忽略不计）． 【分析】（1）设 2( 0.4) 3.32( 0)y a x a    ，将 (0,3)A 代入求解即可得出答案； （2）①把 2.6y  代入 22( 0.4) 3.32y x    ，解方程求出 x ，即可得出 1OD m ； ②东东在点 D 跳起传球与小戴在点 F 处拦截的示意图如图 2，设 1MD h ， 2NF h ，当点 M ， N ，E 三点共线时，过点 E 作 EG MD 于点 G ，交 NF 于点 H ，过点 N 作 NP MD 于点 P ，证明 MPN NEH ∽ ，得出 MP NH PN HE  ，则 5NH MP ．分不同情况：（Ⅰ）当 0 0.3t„ „ 时，（Ⅱ）当 0.3 0.65t „ 时，（Ⅲ）当 0.65 1t „ 时，分别求出 t 的范围可得出答案． 【解答】解：（1）设 2( 0.4) 3.32( 0)y a x a    ， 把 0x  ， 3y  代入，解得 2a   ， 抛物线的函数表达式为 22( 0.4) 3.32y x    ． （2）①把 2.6y  代入 22( 0.4) 3.32y x    ， 化简得 2( 0.4) 0.36x   ， 解得 1 0.2x   （舍去）， 2 1x  ， 1OD m  ． ②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点 E ． 由图 1 可得，当 0 0.3t„ „ 时， 2 2.2h  ． 当 0.3 1.3t „ 时， 2 2 2( 0.8) 2.7h t    ． 当 1 2 0h h  时， 0.65t  ， 东东在点 D 跳起传球与小戴在点 F 处拦截的示意图如图 2， 设 1MD h ， 2NF h ， 当点 M ， N ， E 三点共线时，过点 E 作 EG MD 于点 G ，交 NF 于点 H ，过点 N 作 NP MD 于点 P ， / /MD NF ， / /PN EG ， M HEN   ， MNP NEH   ， MPN NEH ∽ ，  MP NH PN HE  ， 0.5PN  ， 2.5HE  ， 5NH MP  ． （Ⅰ）当 0 0.3t„ „ 时， 2 22( 0.5) 2.7 2.2 2( 0.5) 0.5MP t t         ， 2.2 1.3 0.9NH    ． 25[ 2( 0.5) 0.5] 0.9t     ， 整理得 2( 0.5) 0.16t   ， 解得 1 9 10t  （舍去）， 2 1 10t  ， 当 0 0.3t„ „ 时， MP 随 t 的增大而增大，  1 3 10 10t „ ． （Ⅱ）当 0.3 0.65t „ 时， 2 22( 0.5) 2.7 [ 2( 0.8) 2.7] 1.2 0.78MP MD NF t t t             ， 2 22( 0.8) 2.7 1.3 2( 0.8) 1.4NH NF HF t t           ， 22( 0.8) 1.4 5 ( 1.2 0.78)t t       ， 整理得 2 4.6 1.89 0t t   ， 解得， 1 23 2 85 10t  （舍去）， 2 23 2 85 10t  ， 当 0.3 0.65t „ 时， MP 随 t 的增大而减小，  3 23 2 85 10 10t   ． （Ⅲ）当 0.65 1t „ 时， 1 2h h ，不可能． 给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为 1 23 2 85 10 10t   ． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象 上点的坐标特征，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将 实际问题转化为二次函数问题求解．