中考数学专题复习练习：相似

中考数学专题复习练习：相似

‎《相似》教材分析 ‎ 其知识结构框图如下：‎相似图形 相似多边形 相似三角形 位似图形 对应角相等 对应边的比相等 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 相似三角形的判定 应用 ‎∽ ‎ 平行型 ‎ 斜交型 ‎. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ 旋转 平移 垂直型 特殊 特殊 平移 相似三角形的常见图形及其变换：‎ ‎（1）相似三角形的判定 方法：①平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形，与原三角形相似。‎ ‎②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。‎ ‎③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。‎ ‎④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。‎ 在学生了解所有的判定方法后，可以安排适当的题组进行训练，总结规律，形成技能。‎ 例1、（2006苏州）梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD交于M。‎ （1） 求证：△EDM∽△FBM；‎ （2） 若DB=9，求MB的长。‎ 例2、（1）如图1，△ABC中，BD⊥AC于D，‎ CE⊥AB于E，BD、CE交于H，指出图中哪几个三角形相似？‎ ‎（2）连接ED后，（如图2）新增加哪些三角形相似？‎ 例3、已知：如图AD为△ABC的角平分线，‎ AD的垂直平分线交BC的延长线于E，交AB于F。‎ 求证：（1）△BAE∽△ACE；（2）。‎ 例4、（2008.1西城）如图，和都是直角三角形，‎ ‎，DE与BC相交于点F，AB=6， ‎ AC=9，CD=4，CE=6，问是否为等腰三角形？‎ 试说明理由。‎ 例5、（2007.5西城）在△ABC中，∠C=90°，D、E在BC上，BD=DE=EC=AC，指出图中哪两个三角形相似，并证明你的结论。‎ 例6、如图：△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R。‎ ‎（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长。‎ ‎（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的 问题，并解答。‎ 例7、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．‎ 例8、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连结AE交BC于F，作FG∥BE交AB于G．‎ 求证：FG＝FC．‎ 判定方法的总结 ‎（2）相似三角形的性质及其应用：‎ 相似三角形的基本性质：‎ ‎①对应角相等；‎ ‎②对应边成比例；‎ ‎③对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；‎ ‎④周长比等于相似比；‎ ‎⑤面积比等于相似比的平方。‎ 例1、（2007.5朝阳）如图，要在一个三角形ABC的花坛中，种满花草，工作人员沿与AB平行的方向画一条直线，将原花坛分割出一片三角形的的地块，测出△CDE的面积为10m2， CE长为4m，BE长为6m，请你根据测得的数据，计算出整个花坛△ABC的面积是多少？‎ 例2、（2007.5海淀）如图7，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，点E是BC边上一点，且BE＝1cm，求点D到AE的距离．‎ 例3、梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD相交于点O.已知=1：3，求.‎ 例4、如图：在△ABC中，∠C＝90°AC=CB，点D在BC上，∠ADC＝60°，在AD上取一点E，使AE=2ED.过点E作EF∥BC，交AB于点F，连接CF，交AD于点P，‎ 求.‎ 例5 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于E，DE=2AE.已知△CED的面积为1，求四边形ABCE的面积.‎ 例6、如图，P为△ABC内部任意一点，过点P作各边的平行线，把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积分别为1、1、2，求△ABC的面积.‎ 例7、（2006南通）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD＝BC＝2，∠DMC＝∠DOB＝60°．‎ ‎（1）求直线CB的解析式；‎ ‎（2）求点M的坐标；‎ ‎（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α　（30°＜α＜60°）后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F　，设DE＝m，BF＝n .求m与　n的函数关系式．‎ C A BA DA OA EA FA ‎（3）位似：‎ 例1、如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则与的面积比是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 例2、给定△ABC，作一个正方形，使其一边在BC上，两个顶点分别在AB、AC上.‎ 例3、在已知半圆内作一个内接正方形，使它的一边在半圆的直径上，其它两个顶点在半圆上.‎ ‎1‎ O x y ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ A B C D E 例4、（2008陕西）如图，矩形的长、宽分别为和1，且，点，连接．（1）求经过三点的抛物线的表达式；‎ ‎（2）若以原点为位似中心，将五边形放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍．请在下图网格中画出放大后的五边形；‎ ‎（3）经过三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．‎ 图形的变换是新课标中加强的部分，这部分教学应注意：‎ 巩固基本知识与基本技能，并注意基本规律的总结。‎ 通过大量地观察、动手操作、图案设计等实践活动理解其内涵，抓关键点。‎ 注意观察现实生活中图形变换的案例，认识和欣赏各种图形变换在现实生活中的作用。‎ 认真审题，注意观察图形在变换过程中哪些元素是不变的，哪些元素是变化的，怎么变的，从而抓住变化过程中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量，不变关系或特殊关系，通过建立函数模型或方程模型来解题 ‎（三）把握难度要求，适当进行综合题分类训练 ‎1．相似与圆：‎ 例1、（2008.6西城）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC 于E点，AE=2，ED=4. ‎ ‎（1）求证: ～；‎ ‎(2) 求的值； ‎ A C D E B ‎（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，求的度数.‎ 例2、（2008陕西）如图，在中，，，，是的角平分线．过三点的圆与斜边交于点，连接．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求外接圆的半径．‎ C O B A D M E N 例3、（2008青海）已知，如图，直线交⊙O于两点，是直径，平分交⊙O于，过作于．‎ ‎（1）求证：是⊙O的切线；‎ ‎（2）若cm，cm，求的半径．‎ ‎2．相似中的分类讨论：‎ 例1、已知两数是4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，问第三个数是多少？‎ 例2、矩形ABCD中，M是BC边上且与B、C不重合的点，点P是射线AM上的点，若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似，这样的点有几个？‎ 例3、在△ABC中，点D是AC边上的一点，过D的直线交AB边于点E，若△ADE与△ABC相似，试问这样的直线有多少条？‎ 例4、P是Rt△ABC斜边上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有多少条？‎ 例5、已知：Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的一动点，线段PC把Rt△ABC分割成两部分。‎ 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△ABC相似？（在图上画出符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）‎ 例5图 例6图 例6、如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足为B，请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似（注意：全等图形是相似图形的特殊情况）‎ ‎3．相似三角形与动点问题 例1、 如图：已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC=45°，F是AE上的点，G 是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H，与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K。‎ （1） 请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形，并对你得到的结论予以证明；‎ 例1图 例2图 （2） 当点F在AE上运动并使点H、I、J、K都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围。‎ 例2、（利用相似）如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使△ABD∽△DCE，且点D与点E是对应顶点。‎ （1） 求∠ADE的度数。‎ （2） 设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。‎ （3） 当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？‎ （4） 当△ADE是等腰三角形时，求AE的长。‎ 例3、如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，点P在AB边上由A向B匀速运动，点Q在CB边上由C向B匀速运动，它们同时出发，速度都为1厘米/秒，当点Q先到达点B时，点P也停止运动。设运动时间为t秒。‎ （1） 若△CPQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围。‎ （2） 当△CPQ为直角三角形时，它的面积为多少平方厘米？‎ （3） 分析发现P、Q两点的运动速度相同时，无论t为何值，△CPQ都不可能是正三角形。那么在“保持点P运动速度不变”的条件下，是否能通过改变Q的运动速度，使△CPQ在运动过程中成为正三角形？若能，请求出点Q改变后的运动速度v和此时ｔ的值；若不能，请说明理由。‎ 例４、已知直线与ｘ轴、ｙ轴分别交于Ａ、Ｂ两点，动点Ｑ从Ｂ点开始在线段ＢＡ上以每秒２个单位长度的速度向点Ａ移动，同时动点Ｐ从Ａ点开始在线段ＡＯ上以每秒１个单位长度的速度向点Ｏ移动，设动点的移动时间为ｔ秒。‎ ‎（１）求出点Ａ、Ｂ的坐标；‎ ‎（２）当ｔ为何值时，△ＡPQ与△ＡＯＢ相似？‎ ‎（３）求出（２）中，当△ＡPQ与△ＡＯＢ相似时，线段ＰＱ所在直线的解析式。‎ ‎4．相似三角形中的存在性问题（题组示例）：‎ 例1、如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为下底BC边上一点（不与B、C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B。‎ （1） 求证：△ABP∽△PCE；‎ （2） 求等腰梯形的腰AB的长；‎ （3） 在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？ 如果存在，求出BP的长，如果不存在，请说明理由。‎ 例2、（点的存在）在△ABC中，试问：在AB边上（不包括A、B两个顶点）是否存在一点D，使得AC=AB·AD？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由。‎ ‎（分类：∠ACB>∠B; ∠ACB<∠B两种情况）‎ 例3、（2006深圳）如图9，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线上另有一点在第一象限，满足　　　∠为直角,且恰使△∽△.‎ ‎(1)求线段的长.‎ ‎(2)求该抛物线的函数关系式．‎ ‎(3)在轴上是否存在点，使△为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 例4、（值的存在）已知：在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC于E，交AB于F，连接FC（AB>AE）.‎ ‎(1)△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论：若不相似，请说明理由；‎ ‎(2)设=k,是否存在这样的k，使得△AEF∽△BCF？若存在，证明你的结论并求出k的值：若不存在，请说明理由；‎ 例4图 例5图 例5、（2006成都）已知：如图，在正方形ABCD中，AD＝12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P.‎ ‎(1)设DE＝m（0

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