中考数学专题复习练习：正多边形的有关计算

中考数学专题复习练习：正多边形的有关计算

例 求同圆的内接正六边形与外切正六边形的周长比与面积比．‎ ‎ 分析：边数相同的正多边形是相似形，因此要求同因的内接正六边形与外切正六边形的周长比与面积比，只需求出相似比(边长比、边心距比、半径比均为相似比)‎ ‎ 解：如图，连接OA’、OA，则在△ABC中，‎ ‎ ．‎ ‎ ∵OA’、OA分别为⊙O；的内接正六边形的半径和外切正六边形的半径，‎ ‎ ∴它们的相似比=‎ ‎ ∴周长比为 ， 面积比为．‎ ‎ 说明：①转化为直角三角形；②同圆的内接正n边形与外切正n边形的相似比为．‎ 例 如图，⊙O为正三角形ABC的内切圆，EFGH是⊙O的内接正方形，且，求正三角形的边长．‎ 分析：因为⊙O是正三角形的内切圆；又是正方形的外接，所以求⊙O 的半径成为解题的关键．‎ 解：连结OB、OE、OF， 在等腰直角三角形OEF中，‎ O ‎．‎ 在Rt△BOF中，∠BOF=60°，OF=1，‎ ‎∴BF=OF·sin60°=．‎ ‎∴BC=2BF=2．‎ 故正三角形的边长为2．‎ 说明：应用圆外切三角形和圆内接正方形的性质，构造直角三角形．‎ 例 如图，⊙O的直径为AB、CD，AB⊥CD，弦MN垂直平分OB．求证：CM为正十二边形的一个边，MB为正六边形的一个边，CB正四边形的一个边，MN为正三角形的一个边．‎ 证明：连结OM、ON ‎∵MN垂直平分OB，∴OM=MN．‎ ‎∵OM=OB，‎ ‎∴△OBM为等边三角形．‎ ‎∴∠MOB=60°，即360°/n=60°，‎ ‎∴n=6，∴MB为正六边形的一个边．‎ ‎∵AB⊥CD，∴∠COM=30°，即360°/n=30°‎ ‎∴n=12，∴CM为正十二边形的一个边．‎ 同理由∠COB=90°，得CB正四边形的一个边，∠MON=120°，得MN为正三角形的一个边．‎ 典型例题四 例 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。‎ 解：∵正六边的半径等于边长，‎ ‎∴正六边形的边长cm。‎ 正六边形的周长cm。‎ 正六边形的面积 ‎ ‎ 说明：本题的关键是正六边形的边长等于半径。‎ 典型例题五 例 如图，⊙的半径为，弦将圆周分成弧长之比为的两段弧，求弦的长，如果将改为，此时弦的长度是多少？‎ 分析：欲求弦长，需用弦长公式，需知圆心角的度数，可通过两弧长之比求得，再利用求得，就可求.‎ 解 这两段弧之比为，‎ 这两段所对的圆心角之比也，‎ 设这两个圆心角的度数为，，则 则，，‎ ‎，又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 同理可得改为时，解得 说明：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题.‎ 典型例题六 例 已知正十边形的半径为，边长为，求证：.‎ 分析：如图，为正十边形的边长，，要证，需寻找与之间的关系，因，，则，只需作的平分线，可证∽，总是即可解决.‎ 证明 设，的平分线交于.‎ ‎（舍去负根）‎ 典型例题七 例 已知：圆内接正边形的边长为，求同圆外切正边形的边长（用三角函数表示）‎ 解析 如图，设圆内接正边形的半径为，同圆外切正边形的边长为，边心距为.‎ ‎，，，‎ ‎，.‎ 在中，.‎ 在中，‎ 说明：由于两个边数相同的正边形相似，因此，还可以利用相似多边形的性质.‎ 典型例题八 例 如图，⊙O为正三角形ABC的内切圆，EFGH是⊙O的内接正方形，且，求正三角形的边长．‎ 分析：因为⊙O是正三角形的内切圆；又是正方形的外接，所以求⊙O 的半径成为解题的关键．‎ 解：连结OB、OE、OF， 在等腰直角三角形OEF中，‎ O ‎．‎ 在Rt△BOF中，∠BOF=60°，OF=1，‎ ‎∴BF=OF·sin60°=．‎ ‎∴BC=2BF=2．‎ 故正三角形的边长为2．‎ 典型例题八 例 已知：如图，正三角形ABC的半径为R，求的边长a，周长P，边心距r，面积S.‎ 解 作，垂足为D.∵是正三角形，‎ ‎∴点O在AD上，.‎ 在Rt中，，‎ 又，‎ ‎∴.‎ 说明:本题考查正多边形的计算，解题关键是正确理解相关的概念和灵活应用正多边形性质.‎ 典型例题十 例 周长为1的正方形和正六边形，谁的面积较大？试证明之.‎ 解 正六边形的面积较大，如图，设正方形的边长为，正六边形的边长AB为，则.‎ 故周长是l的正六边形面积大于正方形的面积.‎ 说明：本题综合考查正多边形的有关计算、数式比较能力，解题关键是正确进行相关计算.‎ 选择题 ‎1．正三角形的边心距、半径、边长之比为（）‎ A．1：2：3 B．1：2： C．1：3：2 D．1：2：‎ ‎2．正六边形内接于半径为的圆，则这个正六边形的面积为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在半径为的圆中，内接正方形与内接六边形的边长之比为（）‎ A．2：3 B．2： C．2： D．1：‎ ‎4．正六边形的两条平行边间的距离为2则它的边长为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．正五边形的边长为4，则这个正五边形的面积为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．圆内接正方形和同圆外切正方形面积的比为（）‎ A．1：4 B．1：2 C．4：1 D．2：1‎ ‎7．正三角形的外接圆半径是，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径长为（）‎ A． B． C． D．‎ 参考答案：‎ ‎1．D 2. A 3. C 4. B 5. D 6. B 7. C.‎ 填空题 ‎1. 正n边形的半径和边心距把正n边形分成 个全等的 ．　　‎ ‎2. 半径为2cm的圆的内接正三、四、六边形的边长分别为a3= ，a4= ，a6= ．‎ ‎3. 正六边形的边长是2，则此正六边形的半径为　 、边心距为 、面积为 ．‎ ‎4. 边长等于a的正三角形的外接圆半径为 ．‎ ‎5. 在半径为R的圆中，内接正四边形与内接正六边形的边长之比是 .‎ ‎6. 同一圆的外切正六边形和内接正六边形的周长之比为 ．‎ ‎7. 正六边形的一个内角为______度，若它的边长为1，则面积为_______.‎ ‎8. 一个正八边形要绕它的中心至少转_______度，才能和原来的图形重合，它有_______条对称轴.‎ ‎9. 正六边形的边长为，它的边心距为________.‎ ‎10. 已知正多边形的一个外角为，则它的边长、边心距、半径之比为________.‎ ‎11. 一个正多边形的一个外角等于一个内角时，则其边数为_______；若一个外角大于一个内角时，则边数为_______；若一个外角是一个内角的一半时，边数为______.‎ ‎12. 一个正多边形的边长是半径的倍，则这个正多边形的边数为________.‎ ‎13. 正三角形和正六边形的周长相等，则它们的面积比为________.‎ ‎14. 边长为，面积为的正边形的边心距为_________.‎ ‎15. 边长为的正六边形的半径为________ ，边心距为_______，面积为________.‎ 参考答案：‎ 1. ‎2n、直角三角形；2. 、、2 ；3. 2、、；4. ；5. ；‎ ‎6. .7. 、 8. 45、8 9. 10. 11. 4、3、6 12. 4 13. 2：3 14. 15. 、、.‎ 解答题 ‎1．（1）正多边形的面积是，周长是求边心距？‎ ‎（2）正多边形的面积是，内切圆半径是，求周长？‎ ‎2．已知一个正边形的外接圆半径和内切圆半径分别为、，求这个多边形的边长和面积？‎ ‎3．已知正五边形中，对角线和相交于点，求证：‎ ‎（1）四边形是菱形；‎ ‎（2）∽；（3）‎ ‎4．有两个正多边形，边数的比为2：1，内角度数的比是4：3，求它们的边数？‎ ‎5. 一块直径为8cm的圆木板，要充分利用它，可以锯成一块每边多长的正方形木板？‎ ‎6. 已知正六边形的边心距为3，求此正六边形的周长p6，半径R6和面积S6．‎ ‎7. 已知圆外切正方形的边长为6，求该圆的内接正三角形的边心距．‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）（2）‎ ‎2．边长，面积 3．略 ‎4．5，10‎ ‎5. 提示：为圆内接正方形，边长为.‎ ‎6. ，，.‎ ‎7. 3/2 . ‎