中考数学专题复习练习：相似三角形的性质

中考数学专题复习练习：相似三角形的性质

典型例题一 例01．如图，为的角平分线，垂直于的延长线于，于，，的延长线交于点，‎ 求证：‎ 证明 ，，‎ ‎，.‎ 又，‎ ‎∽‎ ‎，‎ 即. ‎ ‎ ‎ 说明 本题考查了相似三角形的判定与性质，易错点是企图用角的关系证明，解题关键是证明 典型例题二 例02．如图，已知：在与中，，交于，且，交于，‎ 求和 分析 要求的面积比较容易，因为，且有，且，则的面积可求. 求的面积很难利用相似三角形的面积比去解决.‎ ‎ 由和和是高相等的两个三角形，因而它们的面积比等于底的比. 所以只要求出的值 解答：，∽‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，∽ ‎ ‎，‎ 又∽，，‎ ‎ ，与等高 ‎ ‎ 说明 在利用相似三角形进行面积计算时，经常使用同底等高的三角形面积相等.同底（或等底）三角形面积之比等于对应高的比；或同高（或等高）三角形面积之比等于对应底边的比 典型例题三 例03．如图，已知，在梯形中，对角线、相交于点，若的面积为，的面积为，其中，. ‎ 求：梯形的面积 分析 梯形面积为四个三角形的面积之和，而的面积已知，因此关键在于求和的面积. 从图中分析和的面积是相等的. 而和有相同的一条高，所以可求得的面积 解答：，‎ ‎∽，‎ 又，‎ ‎，‎ 即 又，‎ ‎ ‎ 说明 只有当两个三角形相似的时候面积才能等于相似比的平方 典型例题四 例04．已知等腰直角三角形的面积为，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5：2，求矩形的面积 错解 如图，中，，，内接矩形 由等腰直角三角形和矩形的性质，得 ‎，‎ 设为，则 由勾股定理得 ‎ ‎ ‎ ‎ 矩形面积 正解 本题有两解 如图所示的情况时，由上解求得 如图所示的情况时，同理可得 说明 矩形的宽在上也合题意，错解中忽视了这种情况，造成了失解现象 典型例题五 例05．已知梯形中，，，是腰上的一点，连结 ‎（1）如果，，，求的度数；‎ ‎（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值 ‎（1）设，则 解法1 如图，延长、交于点 ‎，，‎ ‎，为的中点 又 ‎，又 为等边三角形 故 解法2 如图 作分别交、于点、‎ 则，得平行四边形 同解法1可证得为等边三角形 故 解法3 如图 作交于，交的延长线于 作，分别交、于点、‎ 则，得矩形 ‎，‎ 又 ‎，故为、的中点 以下同解法1可得是等边三角形 故 解法4 如图，‎ 作，交于，作，交于，得平行四边形，且 读者可自行证得是等边三角形，故 解法5 如图 延长、交于点，作，分别交、于点、，得平行四边形 可证得为的中点，则，故 得为等边三角形，故 解法6 如图（补形法），‎ 读者可自行证明是等边三角形，‎ 得 ‎（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）‎ ‎（2）设，则 解法1（补形法）如图 补成平行四边形，连结，则 设，则，‎ 由得，‎ ‎，‎ 解法2 （补形法）如图，延长、交于点，‎ ‎，，又 设，则，，‎ ‎，‎ 解法3（补形法）如图 连结，作交延长线于点 连结 则∽，故（1）‎ ‎，‎ 故（2）‎ 由（1）、（2）两式得 即 解法4（割补法）如图 连结与的中点并延长交延长线于点，如图，过、分别作高、，则且，‎ ‎ ，又 ‎，，故 说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形. ‎ 典型例题六 例06．（1）如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片，先沿对角线对折，点落在点的位置（如图），交于，再折叠一次，使点与点重合，得折痕（如图），交于，则的长为________‎ ‎（2）如图，将边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转，至正方形，则旋转前后两个正方形重叠部分的面积是________‎ 解答：（1）先看第一次折叠图（左）‎ ‎，‎ ‎，又，‎ ‎，‎ 设，则 在中，‎ 即 再看第二次折叠图（右），易知垂直平分 又，‎ ‎∽‎ 又，，，‎ ‎（2）将延长交于，设交于（如图）‎ 在中，，，易求得，，设 ‎，‎ ‎ ‎ 在中，‎ 说明 本题考查图形的折叠、旋转问题，相似三角形的性质在解题中起了桥梁作用 相似三角形的性质的典型例题 例1 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，DB=5，求AD的长．‎ 分析：由已知AC=6，DB=5，选用来解决，考虑△ACD∽△ABC．‎ 解：在△ACD和△ABC中，‎ ‎∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，‎ ‎∴△ACD∽△ABC．‎ ‎∴．∴．‎ 设AD=x，则AB=x+5，又AC=6，‎ ‎∴． ‎ 解得：x=4（舍去负值）‎ ‎∴AD=4．‎ ‎ 说明：（1）本题是“双垂直图形”中的求值问题，也是借助于三角形相似，利用比例式求线段的长问题．通过那两个三角形相似求解，要充分观察已知条件；（2）求解方法有直接法和解方程法．‎ 相似三角形的性质的典型例题 例2 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，底边上的高AD=10cm，腰AC上的高BE=12cm．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求△ABC的周长．‎ ‎ 分析：（1）易证△ADC∽△BEC，所以，关键是作等量代换：AB=AC，BC=2BD．（2）充分利用（1）的结论，通过线段之间的关系构造方程求解． ‎ 证明：（1）在△ADC和△BEC中，‎ ‎∵∠ADC=∠BEC=90°，∠C=∠C．‎ ‎∴△ADC∽△BEC，‎ ‎∴．‎ ‎∵AD是等腰三角形ABC底边的高线，‎ ‎∴BC=2BD ，‎ 又AB=AC，‎ ‎∴，∴‎ 解：（2）设BD=x，则AB=x，‎ 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，‎ 根据勾股定理，得：．‎ ‎∴，解得 x=7.5，‎ ‎∵BC=2x=15，AB=AC=x=12.5‎ ‎∴△ABC的周长为40cm．‎ ‎ 说明：（1）题目中所出现的相似三角形也是一种常见的图形（如右图）；（2）方程思想在求线段的题目中，经常用到，要熟练掌握．在设未知数时，对所求的线段可以直接设元，也可以间接设元．‎ 相似三角形的性质的典型例题 例3 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．‎ 求证： BC2＝2CD·AC．‎ 分析：欲证 BC2＝2CD·AC，只需证 ‎．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．‎ ‎ 证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，‎ ‎∵BD⊥AC于D，‎ ‎∴BD是线段CE的垂直平分线，‎ ‎∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，‎ 又∵ AB＝AC，‎ ‎∴∠C=∠ABC．‎ ‎∴ △BCE∽△ACB．‎ ‎∴， ∴‎ ‎∴BC2＝2CD·AC．‎ 证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，‎ ‎∵ AB＝AC，‎ ‎∴ AB＝AC=AE．‎ ‎∴∠EBC=90°，‎ 又∵BD⊥AC．‎ ‎∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，‎ ‎∴∠E=∠DBC，‎ ‎∴△EBC∽△BDC ‎∴即 ‎∴BC2＝2CD·AC．‎ 证法三（构造） ：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=．‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴AE⊥BC，∠ACE=∠C ‎∴∠AEC=∠BDC=90°‎ ‎∴△ACE∽△BCD．‎ ‎∴即．‎ ‎∴BC2＝2CD·AC．‎ 证法四（构造）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE= ．‎ ‎∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，‎ ‎∴∠EDC=∠C 又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，‎ ‎∴△ABC∽△EDC．‎ ‎∴J即．‎ ‎∴BC2＝2CD·AC．‎ ‎ 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．‎ 选择题 ‎1．（北京市昌平区，2002）如图，点D，E分别是的边AB，AC的中点，，则BC长为（ ）‎ A．4 B．2 C．1 D．3‎ ‎2．（北京市朝阳区，2002）顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（聊城市，2002）如图，在中，，D是AC上一点，. 在AB上取一点E，使A，D，E三点组成的三角形与相似，则AE的长为（ ）‎ A．16 B．14 C．16或14 D．16或9‎ ‎4．（邵阳市，2002）已知，如图，，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（浙江丽水地区，2002）如图，在中，，于点D，，，则AD的长是（ ）‎ A．1 B． C．2 D．4‎ ‎6．（厦门市，2002）如图，中，边，高边长为的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则边长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（淄博市，2002）为测一河两岸相对两电线杆A，B的距离，如图所示，在两位同学分别测量出了以下四组数据：‎ ‎①AC，；②CD，，；③EF，DE，AD；④DE，DF，AD. ‎ 能根据所测数据，求出A，B间距离的共有（ ）‎ A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 ‎8．（内江市，2002）两相似三角形的面积比是，则它们的对应边的比是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（金华市，2002）如图，D是的AB边上一点，过D作，交AC于 E，已知，那么的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（淄博市，2002）如图，六边形ABCDEF中，，，，，，. 分别过点A，C，E作边BC，AB，AF的平行线，得边长为5的正三角形PQR，则六边形ABCDEF的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，正方形ABCD的边BC在等腰直角三角形PQR的底边QR上，其余两个顶点A，D在PQ，PR上，则等（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，矩形ABCD中，，，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．（南京市，2001）如果两个等腰三角形斜边的比是，那么它们面积的比是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎14．（邵阳市，2002）如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，，，，，则和的周长之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎15．（河北省，2001）如图，在中，D为AC边上一点，，，，则CD的长为（）‎ A．1 B． C．2 D．‎ 参考答案：‎ ‎1．A 2．C 3．D 4．C 5．D 6．B 7．D 8．B 9．C 10．C 11．B ‎12．C 13．D 14．B 15．C 选择题 ‎1．如图，在中，，正方形EFGH内接于，E，F都在斜边AB上，且，.正方形EFGH面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（镇江市，1999）如图，BD，CE是的中线，P，Q分别是BD，CE的中点，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（山西省，2001）已知：如图，中，于D，下列条件：‎ ‎ （1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）‎ ‎ 其中一定能够判定是直角三角形的有（ ）‎ 参考答案：‎ ‎1．A 2．B 3．D 填空题 ‎1．（绍兴市，2001）如图，中，，于点D，若，，则BC的长是_______. ‎ ‎2．（北京市崇文区，2001）如图，在中，，，垂足为D，，，则CD的长是________. ‎ ‎3．（贵阳市，2002）如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的相似比为_______. ‎ ‎4．（上海市，2002）如果两个相似三角形的周长分别为和，那么这两个相似三角形的对应边之比为_______. ‎ ‎5．（镇江市，2002）如图，DE是的中位线，则与的周长的比为______，面积的比为______. ‎ ‎6．（南通市，2002）已知：如图，，，则__________. ‎ ‎7．（重庆市，2001）已知：如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于G，则与四边形CGFD的面积之比是______. ‎ ‎8．如图，DEFG是内接正方形，且，则_______. ‎ ‎9．如图，内有三个内接正方形，，，则______. ‎ 参考答案：‎ ‎1．4 ‎ ‎2． ‎ ‎3． ‎ ‎4．‎ ‎5．， ‎ ‎6． ‎ ‎7． ‎ ‎8． ‎ ‎9．‎ 解答题 ‎1．（上海市，2002）如图，在中，，于D，，. 求BC和BD的长. ‎ ‎2．（北京市西城区，2002）已知：如图，D，E是的边AB，AC上的点，，，. ‎ 求证：. ‎ ‎3．（呼和浩特市，2002）如图，D为中BC边上的一点，，若，，，求DC的长. ‎ ‎4．（安徽省，2002）如图，AD是直角斜边上的高，，且DE和DF分别交AB、AC于E、F. ‎ ‎5．（盐城市，2002）已知：如图，在直角三角形ABC中，，为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若. ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若E为AC的中点，求的值. ‎ ‎6．（宁夏，2001）一块直角三角形木板的一条直角边AB长为米，面积为平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面. 甲、乙两位同学的加工方法分别如图（左），图（右）所示. 请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求. （加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）‎ ‎ ‎ ‎7．如图，，，，D，C，G分别为垂足，G在ED上，ED，AC交于F. ‎ 求证：. ‎ ‎8．如图，已知AD为角平分线，EF为AD的垂直平分线. ‎ 求证：. ‎ ‎9．如图，梯形ABCD，，对角线AC，BD交于点O，交CA延长线于E. ‎ 求证：‎ ‎10．有一块三角形铁片ABC，已知最长边，高，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长是宽的2倍. 问加工成的铁片的面积为多少平方厘米. ‎ ‎11．（青岛市，2001）已知：如图，正方形DEFG内接于，EF在斜边BC上，于H. ‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）. ‎ 参考答案：‎ ‎1． ‎ ‎2．证∽‎ ‎3． ‎ ‎4．先证，后证∽‎ ‎5．（1）∽；（2）先证，再证∽；（3）‎ ‎6．解：由米，平方米，得米. ‎ 如图（左），若设甲加工的桌面边长为米，由，推出∽‎ ‎，可求出米. ‎ 如图（右），过点B作斜边上的高BH，交DE于P，交AC于H. ‎ 由米，米，平方米得 米，米. ‎ 设乙加工的桌面边长为米. ‎ ‎∵，∴∽‎ ‎∴，即 解得 ‎∵，即 ‎∴甲同学的加工方法符合要求. ‎ ‎7．先证∽，得，则，再证∽得. 故 ‎8．连AF，则，再证∽‎ ‎9．由得，∵，则 ∴. 即 ‎10．或 ‎11．如图 （1） 正方形 ‎（2）正方形DEFG ‎ ‎∽‎ 解答题 ‎1．两根电线杆相距，分别在高的A处和的C处用钢索将两杆固定（下图），求钢索AD与钢索BC的交点M处离地面的高度MH.‎ ‎2．（徐州市，2000）如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3米高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹秆顶端D与旗杆顶端B重合，量得米.乙的眼睛到地面的距离米；丙在处也直立3米高的竹秆，乙从E处退后6米到处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端与旗竿顶端B也重合，量得米，求旗杆AB的高.‎ ‎3．（聊城市，2000）某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幅楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，留在墙上的影长为2米（如图），求旗杆高度.‎ ‎4．（河北省，2000）如图，已知：在中，D是BC边上的中点，且，，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.‎ ‎（1）求证：∽‎ ‎（2）若，，求DE的长.‎ ‎5．（河北省，2000）请阅读下面材料，并回答所提出的问题.‎ 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.‎ 已知：如图，中，AD是角平分线.求证：.‎ 分析：要求，一般只要证BD，DC与AB,AC或BD，AB与DC，AC所在三角形相似.现在B，D，C在一直线上，与不相似，需要考虑用别的方法换比.‎ 在比例式中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化成证.‎ 证明：过C作，交BA的延长线于E.‎ ‎，‎ ‎（1）上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）.‎ ‎（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面的括号内.‎ ‎①数形结合思想；‎ ‎②转化思想；‎ ‎③分类讨论思想.‎ ‎（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：‎ 已知：如图，中，AD是角平分线，，，.求：BD的长.‎ ‎6．如图，AC、BD为梯形ABCD的对角线，且，求证：梯形ABCD是等腰梯形.‎ 分析：要证明腰，必须利用题设的“对角线”，这是一对无公共端点且相等的绝无仅有，但是要证明AC和DB所在的和全等，还缺少一个条件.因此，考虑构作ABED，把AC平移到下图中DE的位置，使得与DB构成等腰，从而推出，，再由，得（证明略）.‎ ‎ 从上面命题的证明分析过程中可以得出，对于含有“一对无公共端点的相等线段”这一条件的命题，可以通过构造平行四边形将相等线段“平移”至一个三角形中来巧妙解题．‎ ‎ 这种证明给我们的启示是：构造平行四边形的方法，是解决含有“无公共端点的相等线段”这一条件的几何问题的一种重要途径.‎ 请用此方法完成下题的证明．‎ 如图（1），中，，M为AB上一点，，N为BC上一点，‎ ‎，连结AN、CM交于P点；求证：.‎ 证明：作MBCD，如图（2）.‎ ‎（2）则，且，∵，‎ ‎∴ ① ，‎ ‎ ② ，‎ ‎ ③ ，‎ ‎ ④ ，‎ ‎∴ ∽‎ ‎∴ ⑤ ，‎ ‎ ⑥ ，‎ ‎∴ ‎ ‎7．如图，已知中，，，，.求证：.‎ 证明：作于点F，‎ ‎∵ ，‎ 不妨设.‎ ‎∵ ，‎ ‎∴.‎ ‎∵‎ ‎∵且，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ‎ 即，.‎ 在和中，‎ ‎∵ ，且 ‎∴∽‎ ‎∴.‎ 根据上题的解题思路与方法，试解答下述问题.‎ 如图，中，，，点D、E分别在AB、AC上，，，求的值.‎ ‎8．如图，AB是等腰直角的斜边，P是AB上不与A，B重合的一个动点，S是线段CP上的一个点，MN过S且，MN分别与AC，BC相交于点M，N.‎ ‎（1）观察与填空：如图（2），当P点运动到AB的中点位置时，AP与BP的大小关系是______；CP与AB的位置关系是_______；MN与AB的位置关系是______；CM与CN的大小关系是______.于是，当P是AB的中点时，.‎ ‎（2）探索证明：如图（1）、（3）所示，当P不是AB的中点时，是否仍然成立？请加以证明.‎ ‎9．（北京市宣武区，2001）如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边.若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将翻折，使点C落在AB上，设其落点为点P.‎ ‎（1）当点P是边AB的中点时，求证：.‎ ‎（2）当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立？请证明你的结论.‎ ‎10．（福州市，2001）如图，已知：中，，，，，P点在AC上（与点A，C不重合），Q点在BC上.‎ ‎（1）当的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；‎ ‎（2）当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；‎ ‎（3）试问：在AB上是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长.‎ ‎11．（泰州市，2001）阅读下面的短文，并解答下列问题：‎ 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似形.‎ 如图，甲，乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（）‎ 设，分别表示这两个正方体的表面积，则 又设，分别表示这两个正方体的体积，则 ‎ （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）．‎ ‎ A．两个球体 B．两个圆锥体 ‎ C．两个圆柱体 D．两个长方体 ‎ （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ‎__________；②相似体表面积的比等于_______；③相似体体积的比等于______．‎ ‎ （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体．一个小朋友上幼儿园时身高为米，体重为18千米，到了初三时，身高为米.问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）.‎ ‎12．（淄博市，2002）如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比（注：只须写出图中已有线段的一组比即可），并证明你的猜想.‎ ‎13．（福州市，2002）如图，已知中，，D在AB边上移动（不与A，B重合），交AC于E，连结CD.设，.‎ ‎（1）当D为AB中点时，求的值. ‎ ‎（2）若，，求关于的关系式及的取值范围.‎ ‎（3）是否存在点D，使得成立？‎ ‎ 若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由.‎ 参考答案：‎ ‎1．解：设，，，‎ ‎∽‎ ‎∴ ①‎ ‎∵∽，‎ ‎∴ ②‎ 由①得 由②得 ‎∵ ∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎2．设直线与AB，CD，分别交于点G，M，N.，.∵∴.又，∴.∴.∴旗杆（米）‎ ‎3．过C作于E，则.∴，（米）‎ ‎4．（1）证，；‎ ‎（2）作，垂足为点H.∵，又∵，，∴，∴.过点A作，垂足为点M，∵∽，∴，∴.又∵,∴,∴点H是DM的中点.又∵，∴.∵，∴，∴.‎ ‎5．（1）平行线的性质定理，等腰三角形的判定定理，平行线分线段成比例定理；（2）转化思想；（3）‎ ‎6．①，②，③∴，④又∵，⑤∽，∴，⑥又∵与中对顶角相等 ‎7．过点E作AC的垂线交BC于点P.中，作，，E、F分别为垂足，证∽，∽可得 ‎8．略 ‎9．（1）连结PC，则.证得即可.（2）当点P不是边AB的中点时，仍然成立，连结PC，则.过点P作，垂足为点E.先证，再证∽.∴，.从而有.‎ ‎10．（1）∵∴∵ ∴∽，∴ ∴ ∴ ‎ ‎（2）∵的周长与四边形PABQ的周长相等，‎ ‎∴ 的周长） ∵，∴， 解得，‎ ‎（3）‎ ‎①据题意，如图（a），当，时，由勾股定理逆定理，得，∴的AB上的高为，设，∵ ∴∽，∴，∴解得，，即，当，时，同理可得 ②据题意，如图（b），当，时，由等腰直角三角形得，M到PQ距离为.设，∵ ∴∽，∴，解得，，即 ‎11．（1）A； （2）①相似比，②相似比的平方，③相似比的立方；‎ ‎（3）设他的体重为千克，则.解得（千克）‎ ‎12．（1）证∽；（2）（或）.先证∽，再证∽.‎ ‎13．（1）；（2）（）；（3）不存在点D，使得成立.‎