中考数学专题复习练习:解直角三角形

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中考数学专题复习练习:解直角三角形

‎ 【例】 设中,于D,若,解三角形ABC.‎ 分析 “解三角形ABC”就是求出的全部未知元素.本题CD不是的边,所以应先从Rt入手.‎ 解:在Rt中,有 ‎∴ ‎ 在Rt中,有 说明 (1)应熟练使用三角函数基本关系式的变形,如 ‎(2)平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用,本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理.事实上,还可以用面积公式求出AB的值:‎ 所以解直角三角形问题,应开阔思路,运用多种工具.‎ ‎【例】 在中,,求.‎ 分析 (1)求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长,也可以根据其中规则面积的和或差;‎ ‎(2)不是直角三角形,可构造直角三角形求解.‎ 解:如图所示,作交CB的延长线于H,于是在中,有,且有 ‎;‎ 在中,,且 ‎,‎ ‎∴ ;‎ 于是,有 ‎,‎ 则有 说明 还可以这样求:‎ ‎【例】 在中,,求AB边上的高CH.‎ ‎ 分析 注意到,在中,构造关于CH的方程.‎ ‎ 解:设,在中,,于是 ‎,‎ 所以有关于h的方程 ‎,‎ 解这个方程,得 ‎,‎ ‎∴ .‎ 说明 这是一个利用三角函数建立方程的例题,是方程思想在解直角三角形中的应用.‎ 在解直角三角形中,根式运算起着重要的作用.本例中关于的计算如果是这样:‎ 就不是好的计算过程,如果看到就有简便的算法 ‎.‎ 典型例题四 例 在中,如图,D、E是AB上的点,,解直角三角形ABC.‎ 解:根据题意知和都是等腰三角形,即.‎ 在等腰中,作于F点,则.‎ ‎.‎ 在Rt中,‎ 又为锐角,‎ ‎∴‎ 在Rt中,.‎ ‎ ‎ 综上可知,在中,‎ 说明:解本题的关键在于选择在等腰中作底边上的高,构造出条件足够(已知两边)的Rt,在解得后,使Rt条件具备,随之使Rt条件也具备.‎ 典型例题五 例 已知,如图,在直角梯形ABCD中,分别为AD、BC的中点,cm,求两底AB、CD的长.‎ 解:过C作于G交EF于H.‎ ‎∵E、F分别是AD、BC的中点,‎ ‎∴.‎ 在Rt中,.‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∵HF为的中位线,‎ 答:AB的长是16.5cm,CD的长是11.5cm.‎ 说明:本题使用“转化思想”,把分散的元素,通过添加辅助线,集中到一个三角形中,然后再解此三角形.‎ 典型例题六 例 分别由下列条件解直角三角形().‎ ‎(1) (2);(3)‎ ‎(4)‎ 解 (1)。‎ ‎∵ ∴ ∴ 。‎ ‎(2)。‎ ‎∵ . ∴ ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎(3) ∵ ∴ ‎ ‎∴ ∴ ∴ ‎ ‎(4) ∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∵ , ∴ .‎ 说明:本题考查直角三角形的解法,解题关键是正确地选用关系式.易错点是选用关系式不当,造成计算错误或增大结果的误差.‎ 典型例题七 例 在中,,解这个三角形.‎ 解法一 ∵ ∴ ‎ 设,则由勾股定理,得 ∴ .‎ ‎∴ .‎ 解法二 ‎ 说明: 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题.‎ 典型例题八 例 (山东省日照市,1999) 如图, 在中,,为 边上一点,是方程3的一个较大的根.求的长(结果取准确值).‎ 解 将方程整理,得 ‎∴ 或.‎ 当方程无实数解.‎ 当时, ‎ 经检验,是原方程的解.‎ 由,可知 在中,.‎ 在中, ‎ 说明:本题综合考查方程与解直角三角形的知识,解题关键是求出的值.易错点是忽视是方程的一个较大的根,出现多余的解或忽视分式方程的验根.‎ 选择题 ‎1.在中,分别是的对边,下列关系式中错误的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.如图,在中,CD为斜边AB上的高,已知AD=8,BD=4,那么 A. B. C. D.‎ ‎3.如图,在四边形ABCD中,则AB=( )‎ A.4 B.5 C. D.‎ ‎4.下列结论中,不正确的是( )‎ A. ‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎5.在 A. B. C. D.‎ ‎6.在的对边,则有( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在中,如果各边长度都扩大2倍,则锐角A的正弦值和余弦值( )‎ A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定 答案:‎ ‎1.A 2.A 3.D 4.D 5.D 6.C 7.A 填空题 ‎1. 在直角三角形ABC中().‎ ‎(1)若已知a、A,则 ‎(2)若已知b、A,则 ‎(3)若已知a、B,则 ‎(4)若已知b、B,则 ‎(5)若已知c、A,则 ‎(6)若已知c、B,则 ‎(7)若已知a、b,则 ‎(8)若已知a、c,则 ‎(9)若已知b、c,则 ‎2.在中,,试根据下表中给出的两个数值,填出其他元素的值:‎ a b c A B ‎(1)‎ ‎4‎ ‎60°‎ ‎(2)‎ ‎3‎ ‎45°‎ ‎(3)‎ ‎5‎ ‎(4)‎ ‎6‎ ‎3.在中,‎ ‎4.如图,矩形ABCD中,O是两对角线交点,于点E,若 ‎5.在中,那么BC这上的高AE=_________.‎ ‎6.如图,已知ABCD是正方形,以CD为一边向CD两旁作等边三角形PCD和等边三角形QCD,那么的值为_________.‎ 答案:‎ ‎1.‎ ‎2.‎ ‎3.6 4.3 5. 6..‎ 解答题 ‎1.不查表,根据下列条件解直角三角形():‎ ‎(1);(2);‎ ‎(3);(4)。‎ ‎2.根据下列条件解直角三角形(,边长保留两个有效数字):‎ ‎3.根据下列条件解直角三角形(,角度精确到1°),边长保留两个有效数字):‎ ‎4.已知:如图,在中,AD为BC边上的高,‎ ‎,求的面积。‎ ‎5.如图,求和点B到直线MC的距离。‎ ‎6.在中,,斜边AB=10,直角边AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根。(1)求m的值;(2)计算 ‎7.解,如果已知两个元素a、b可以求出其余三个未知元素c,∠A,∠B(如图),请你按照下列完成解题过程(注意:求解过程有多种方法,本题只要求在方框内正确地表示一种求解过程)。求解过程。‎ ‎8.如图,在中,是角平分线,且,求AB的值。‎ 答案 ‎1.‎ ‎2.‎ ‎3.‎ ‎4. 5. 6.(1)m=14;(2) 7.8.‎
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