中考卷-2020中考数学试卷（解析版）（117）

中考卷-2020中考数学试卷（解析版）（117）

1 2020 年无锡市初中毕业升学考试 数学试题 一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.﹣7 的倒数是（ ） A. 1 7 B. 7 C. - 1 7 D. ﹣7 【答案】C 【解析】 【分析】 此题根据倒数的含义解答，乘积为 1 的两个数互为倒数，所以﹣7 的倒数为 1÷（﹣7）． 【详解】解：﹣7 的倒数为：1÷（﹣7）＝﹣ 1 7 ． 故选 C． 【点睛】此题考查的知识点是倒数．解答此题的关键是要知道乘积为 1 的两个数互为倒数，所以﹣7 的倒数 为 1÷（﹣7）． 2.函数 2 3 1y x   中自变量 x 的取值范围是（ ） A. 2x  B. 1 3x  C. 1 3x  D. 1 3 x 【答案】B 【解析】 【分析】 由二次根式的被开方数大于等于 0 问题可解 【详解】解：由已知，3x﹣1≥0 可知 1 3x  ，故选 B． 【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围，解答时注意通过二次根式被开方数要大于等于零求出 x 取值 范围． 3.已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 24，25 B. 24，24 C. 25，24 D. 25，25 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均数的计算公式和中位数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：（21+23+25+25+26）÷5=24； 2 把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是 25，则中位数是 25； 故应选：A． 【点睛】此题考查了平均数和中位数，掌握平均数的计算公式和中位数的定义是本题的关键． 4.若 2x y  ， 3z y   ，则 x z 的值等于（ ） A. 5 B. 1 C. -1 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】 将两整式相加即可得出答案． 【详解】∵ 2x y  ， 3z y   ， ∴    1x y z y x z       ， ∴ x z 的值等于 1 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5.正十边形的每一个外角的度数为（ ） A. 36 B. 30° C. 144 D. 150 【答案】A 【解析】 【分析】 利用多边形的外角性质计算即可求出值． 【详解】解：360°÷10＝36°， 故选：A． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键． 6.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 等腰三角形 C. 平行四边形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的性质求解． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； B、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确； C、平行四边形是不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误． 故选：B 【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴 3 折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180°后与原图形重合． 7.下列选项错误的是（ ） A. 1cos60 2   B. 2 3 5a a a  C. 1 2 22  D. 2( 2 ) 2 2x y x y   【答案】D 【解析】 【分析】 分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可． 【详解】解：A． 1cos60 2   ，本选项不合题意； B． 2 3 5a a a  ，本选项不合题意； C． 1 2 22  1，本选项不合题意； D．2（x−2y）＝2x−4y，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法，二次根式的除法以及去括号与添括号， 熟记相关运算法则是解答本题的关键． 8.反比例函数 ky x  与一次函数 8 16 15 15y x  的图形有一个交点 1 ,2B m     ，则 k 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 4 3 【答案】C 【解析】 【分析】 把点 B 坐标代入一次函数解析式，求出 m 的值，可得出 B 点坐标，把 B 点的坐标代入反比例函数解析式 即可求出 k 的值． 【详解】解：由题意，把 B（ 1 2 ，m）代入 8 16 15 15y x  ，得 m= 4 3 ∴B（ 1 2 ， 4 3 ） ∵点 B 为反比例函数 ky x  与一次函数 8 16 15 15y x  的交点， ∴k=x·y ∴k= 1 2 × 4 3 = 2 3 ． 故选：C． 4 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟知一次函数反比例函数图像的交点坐标都适合 两个函数解析式是解题关键． 9.如图，在四边形 ABCD 中 AB CD ， 90ABC BCD     ， 3AB  ， 3BC  ，把 Rt ABC 沿 着 AC 翻折得到 Rt AEC ，若 3tan 2AED  ，则线段 DE 的长度为（ ） A. 6 3 B. 7 3 C. 3 2 D. 2 7 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知，易求得 2 3AC  ，延长CD 交 AE 于 F ，可得 2AF CF  ，则 =1EF ，再过点 D 作 DG EF ， 设 3DG x ，则 2GE x ， 7ED x ， 1 2FG x  ，在 tR FGD 中，根据 3FG GD ，代入数值， 即可求解． 【详解】解：如图 ∵ 90B   ， 3BC  ， 3AB  ， ∴ 30BAC  ， ∴ 2 3AC  ， ∵ 90DCB  ， ∴ //ABCD ， ∴ 30DCA   ，延长 CD 交 AE 于 F ， ∴ 2AF CF  ，则 =1EF ， =60EFD  ， 过点 D 作 DG EF ，设 3DG x ，则 2GE x ， 7ED x ， ∴ 1 2FG x  ， ∴在 tR FGD 中， 3FG GD ，即  3 1 2 = 3x x ， 5 解得： 1= 3x ， ∴ 7 3ED  ． 故选 B． 【点睛】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质， 正确设出未知数是顺利解题的关键． 10.如图，等边 ABC 的边长为 3，点 D 在边 AC 上， 1 2AD  ，线段 PQ 在边 BA 上运动， 1 2PQ  ，有下 列结论： ① CP 与QD 可能相等；② ΔAQD 与 BCP 可能相似；③四边形 PCDQ 面积的最大值为 31 3 16 ；④四边 形 PCDQ 周长的最小值为 373 2  ．其中，正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】 ①通过分析图形，由线段 PQ 在边 BA 上运动，可得出QD PAP C＜ ，即可判断出CP 与QD 不可能相等； ②假设 ΔAQD 与 BCP 相似，设 AQ x ，利用相似三角形的性质得出 AQ x 的值，再与 AQ 的取值范 围进行比较，即可判断相似是否成立； ③过 P 作 PE⊥BC 于 E，过 F 作 DF⊥AB 于 F，利用函数求四边形 PCDQ 面积的最大值，设 AQ x ，可 表示出 3 132 2P xE        ， 1 2 3 3 2 4DF    ，可用函数表示出 PBCS ， DAQS ，再根据 ABC PBC DAQS S S    ，依据 2.5x 0 ，即可得到四边形 PCDQ 面积的最大值； ④作点 D 关于直线 AB 的对称点 D1，连接 D D1，与 AB 相交于点 Q，再将 D1Q 沿着 AB 向 B 端平移 PQ 个 单位长度，即平移 1 2 个单位长度，得到 D2P，与 AB 相交于点 P，连接 PC，此时四边形 PCDQ 的周长为： 2CP DQ CD PQ CD CD PQ      ，其值最小，再由 D1Q=DQ=D2P， 1 1 2 1 2AD D D AD   ，且 ∠AD1D2=120°，可得 2CD CD PQ  的最小值，即可得解． 6 【详解】解：①∵线段 PQ 在边 BA 上运动， 1 2PQ  ， ∴QD PAP C＜ , ∴ CP 与QD 不可能相等， 则①错误； ②设 AQ x ， ∵ 1 2PQ  ， 3AB  ， ∴ 13- =2.52AQ 0 ，即 2.5x 0 ， 假设 ΔAQD 与 BCP 相似， ∵∠A=∠B=60°， ∴ AD AQ BP BC  ，即 1 2 1 33 2 x x    ， 从而得到 22 5 3 0x x   ，解得 1x  或 1.5x  （经检验是原方程的根）， 又 2.5x 0 ， ∴解得的 1x  或 1.5x  符合题意， 即 ΔAQD 与 BCP 可能相似， 则②正确； ③如图，过 P 作 PE⊥BC 于 E，过 F 作 DF⊥AB 于 F， 设 AQ x ， 由 1 2PQ  ， 3AB  ，得 13- =2.52AQ 0 ，即 2.5x 0 ， ∴ 13 2PB x   ， ∵∠B=60°， ∴ 3 132 2P xE        ， ∵ 1 2AD  ，∠A =60°， 7 ∴ 1 2 3 3 2 4DF    , 则 1 1 3 1 3 3 53 32 2 2 2 4 2PBCS BC PE x x                  ， 1 1 3 3 2 2 4 8DAQS AQ DF x x      ， ∴四边形 PCDQ 面积为： 1 3 3 3 3 5 3 3 3 5 33 +2 2 4 2 8 8 8ABC PBC DAQS S S x x x              , 又∵ 2.5x 0 ， ∴当 2.5x  时，四边形 PCDQ 面积最大，最大值为： 3 3 5 3 31 3+ 2.5=8 8 16  ， 即四边形 PCDQ 面积最大值为 31 3 16 ， 则③正确； ④如图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 D1，连接 D D1，与 AB 相交于点 Q，再将 D1Q 沿着 AB 向 B 端平 移 PQ 个单位长度，即平移 1 2 个单位长度，得到 D2P，与 AB 相交于点 P，连接 PC， ∴D1Q=DQ=D2P， 1 1 2 1 2AD D D AD   ，且∠AD1D2=120°， 此时四边形 PCDQ 的周长为： 2CP DQ CD PQ CD CD PQ      ，其值最小， ∴∠D1AD2=30°，∠D2A D=90°， 2 3 2AD  ， ∴根据股股定理可得，     2 2 2 2 2 2 3 39= 3 =2 2CD AC AD        ， ∴四边形 PCDQ 的周长为： 2 39 1 1 393 32 2 2 2CP DQ CD PQ CD CD PQ                , 则④错误， 所以可得②③正确， 故选：D． 【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等 8 知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解． 二、填空题（每题 2 分，满分 16 分，将答案填在答题纸上） 11.因式分解： 2 2ab ab a   __________． 【答案】  21a b  【解析】 【分析】 先提取公因式 a，再利用公式法继续分解． 【详解】解：    22 22 2 1 1ab ab a a b b a b       ， 故答案为：  21a b  ． 【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要 注意分解彻底． 12.2019 年我市地区生产总值逼近 12000 亿元，用科学记数法表示 12000 是__________． 【答案】 41.2 10 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数.确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数. 【详解】解：∵12000= 41.2 10 ， 故答案为： 41.2 10 . 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键. 13.已知圆锥的底面半径为1cm ，高为 3cm ，则它的侧面展开图的面积为=__________． 【答案】 22 cm 【解析】 【分析】 先利用勾股定理求出圆锥的母线 l 的长，再利用圆锥的侧面积公式：S 侧=πrl 计算即可． 【详解】解：根据题意可知，圆锥的底面半径 r=1cm，高 h= 3cm ， ∴圆锥的母线 2 2 2l r h   ， ∴S 侧=πrl=π×1×2=2π（cm2）． 故答案为：2πcm2． 【点睛】此题考查圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是个扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长 是底面圆的周长 l．掌握圆锥的侧面积公式：S 侧= 1 2 •2πr•l=πrl 是解题的关键． 9 14.如图，在菱形 ABCD 中， 50B   ，点 E 在 CD 上，若 AE AC ，则 BAE  __________． 【答案】115° 【解析】 【分析】 先根据菱形性质求出∠BCD，∠ACE，再根据 AE AC 求出∠AEC，最后根据两直线平行，同旁内角互补 解题即可． 【详解】解：四边形 ABCD 是菱形， 50B   ， ∴AB∥CD， ∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE= 1 2 ∠BCD=65°， ∵ AE AC ， ∴∠ACE=∠AEC=65°， ∴∠BAE=180°-∠AEC=115°． 【点睛】本题考查了菱形性质，等腰三角形性质，解题方法较多，根据菱形性质求解∠ACE 是解题关键． 15.请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为 y 轴：__________． 【答案】 2y x= （答案不唯一） 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质，对称轴为 y 轴，即 b=0，写出满足条件的函数解析式即可. 【详解】解：设函数的表达式为 y=ax2+bx+c， ∵图象的对称轴为 y 轴， ∴对称轴为 x= 2 b a  =0， ∴b=0， ∴满足条件的函数可以是： 2y x= .（答案不唯一） 故答案是：y=x2（答案不唯一） 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 16.我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段 话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？ 则该问题的井深是___________尺． 【答案】8 【解析】 10 【分析】 先设绳长 x 尺，由题意列出方程，然后根据绳长即可求出井深． 【详解】解：设绳长 x 尺， 由题意得 1 3 x-4= 1 4 x-1， 解得 x=36， 井深： 1 3 ×36-4=8（尺）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键． 17.二次函数 2 3 3y ax ax   的图像过点  6,0A ，且与 y 轴交于点 B ，点 M 在该抛物线的对称轴上，若 ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，则点 M 的坐标为__________． 【答案】 3 , 92     或 3 ,62      【解析】 【分析】 先求出点 B 的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABM=90°时，如图 1，过点 M 作 MF⊥y 轴于点 F，易证△BFM∽△AOB，然后根据相似三角形的性质可求得 BF 的长，进而可得点 M 坐标；当 ∠BAM=90°时，辅助线的作法如图 2，同样根据△BAE∽△AMH 求出 AH 的长，继而可得点 M 坐标． 【详解】解：对 2 3 3y ax ax   ，当 x=0 时，y=3，∴点 B 坐标为（0，3）， 抛物线 2 3 3y ax ax   的对称轴是直线： 3 3 2 2 ax a    ， 当∠ABM=90°时，如图 1，过点 M 作 MF⊥y 轴于点 F，则 3 2MF  ， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 又∠MFB=∠BOA=90°， ∴△BFM∽△AOB， ∴ MF BF OB OA  ，即 3 2 3 6 BF ，解得：BF=3， ∴OF=6， ∴点 M 的坐标是（ 3 2 ，6）； 11 当∠BAM=90°时，如图 2，过点 A 作 EH⊥x 轴，过点 M 作 MH⊥EH 于点 H，过点 B 作 BE⊥EH 于点 E，则 3 96 2 2MH    ， 同上面的方法可得△BAE∽△AMH， ∴ AE BE MH AH  ，即 3 6 9 2 AH  ，解得：AH=9， ∴点 M 的坐标是（ 3 2 ，﹣9）； 综上，点 M 的坐标是 3 , 92     或 3 ,62      ． 故答案为： 3 , 92     或 3 ,62      ． 【点睛】本题考查了抛物线与 y 轴的交点和对称轴、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质等知 识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18.如图，在 Rt ABC 中， 90ACB   ， 4AB  ，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上，且 2DB AD ， 3AE EC 连接 BE ， CD ，相交于点O ，则 ABO 面积最大值为__________． 12 【答案】 8 3 【解析】 【分析】 作 DG∥AC，交 BE 于点 G，得到 2 3OD CD ，进而得到 2 3ABO ABCS S△ △ ，求出 ABC 面积最大值 1 4 2=42   ，问题得解． 【详解】解：如图 1，作 DG∥AC，交 BE 于点 G， ∴ ,BDG BAE ODG OCE△ ∽△ △ ∽△ ， 2 ,3 DG BD AE AB  ∴ ∵ 1 3 CE AE  , ∴ 2 21 DG CE   ∵ ODG OCE△ ∽△ ∴ =2DG OD CE OC  ∴ 2 3OD CD ∵AB=4， ∴ 2 3ABO ABCS S△ △ ∴若 ABO 面积最大，则 ABC 面积最大， 如图 2，当点△ABC 为等腰直角三角形时， ABC 面积最大，为 1 4 2=42   ， ∴ ABO 面积最大值为 2 84=3 3  13 + 故答案为： 8 3 【点睛】本题考查了三角形面积最大问题，相似等知识点，通过 OD 与 CD 关系将求 ABO 面积转化为求 ABC 面积是解题关键 三、解答题：本大题共 10 小题，共 84 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．考 生根据要求作答． 19.计算： （1） 22 5 16    （2） 1 1a b a b b a    ． 【答案】（1）5；（2） a b a b   【解析】 【分析】 (1)利用幂的运算，绝对值的定义，及算术平方根的定义计算即可解出答案； （2）根据同分母分式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式=4+5－4=5； （2）原式= 1 1+ b a b a b a    － = 1+1+ba a b   = +ba a b ． 【点睛】本题考查了实数的运算以及分式的加减法，熟记相关的定义与运算法则是解题的关键． 20.解方程： （1） 2 1 0x x   （2） 2 0 4 1 5 x x      【答案】（1） 1 5 2x   ；（2） 0 1x  【解析】 【分析】 （1）根据公式法求解即可； 14 （2）先分别求每一个不等式，然后即可得出不等式组的解集． 【详解】（1）由方程可得 a=1，b=1，c=-1， x= 2 4 2 b b c a a   = 21 1 4 1 1 2 1       = 1 5 2   ； （2）解不等式-2x≤0，得 x≥0， 解不等式 4x+1<5，得 x<1， ∴不等式的解集为 0 1x  ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解不等式组，掌握运算法则是解题关键． 21.如图，已知 / /AB CD ， AB CD ， BE CF ． 求证：（1） ABF DCE   ； （2） //AF DE ． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）先由平行线的性质得∠B=∠C，从而利用 SAS 判定△ABF≌△DCE； （2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行线的判定 可得结论． 【详解】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， ∵BE=CF， ∴BE-EF=CF-EF， 即 BF=CE， 在△ABF 和△DCE 中， = = AB CD B C BF CE     ∴△ABF≌△DCE（SAS）； （2）∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC， ∴∠AFE=∠DEF， ∴AF∥DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规 15 范性． 22.现有 4 张正面分别写有数字 1、2、3、4 的卡片，将 4 张卡片的背面朝上，洗匀． （1）若从中任意抽取 1 张，抽的卡片上的数字恰好为 3 的概率是________； （2）若先从中任意抽取 1 张（不放回），再从余下的 3 张中任意抽取 1 张，求抽得的 2 张卡片上的数字之 和为 3 的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） 1 4 ；（2） 1 3 【解析】 【分析】 （1）根据概率公式计算即可； （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，可得抽得的 2 张卡片上的数字之和为 3 的倍数的结果数，根 据概率公式计算即可． 【详解】解：（1）从中任意抽取 1 张，抽的卡片上的数字恰好为 3 的概率为 1 4 ； 故答案为： 1 4 （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中抽得的 2 张卡片上的数字之和为 3 的倍数的结果为 4 种，所以抽得的 2 张卡 片上的数字之和为 3 的倍数的概率= 4 1 12 3  【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率，解答中注意利用列表法或树状图法展示所有可能的结果 求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率． 23.小李 2014 年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014 年底到 2019 年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元） 年份 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年 收入 3 8 9 a 14 18 支出 1 4 5 6 c 6 存款余额 2 6 10 15 b 34 （1）表格中 a ________； 16 （2）请把下面的条形统计图补充完整：（画图后标注相应的数据） （3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？ 【答案】（1）11；（2）见解析；（3）2018 年支出最多，为 7 万元 【解析】 【分析】 （1）本年度收入减去支出后的余额加上上一年存入银行的余额作为本年的余额，则可建立一元一次方程 10 ＋a−6＝15，然后解方程即可； （2）根据题意得 15 14{ 18 6 34 c b b     ＝ ＝ ，再解方程组得到 2018 年的存款余额，然后补全条形统计图； （3）利用（2）中 c 的值进行判断． 【详解】解：（1）10＋a−6＝15， 解得 a＝11， 故答案为 11； （2）根据题意得 15 14{ 18 6 34 c b b     ＝ ＝ ， 解得 22 7 b c    ＝ ＝ ， 即存款余额为 22 万元， 补全条形统计图如下： ； （3）由图表可知：小李在 2018 年的支出最多，支出了为 7 万元． 【点睛】本题考查了图像统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩 形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较． 17 24.如图，已知 ABC 是锐角三角形 AC AB ． （1）请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线 l ，使l 上的各点到 B 、C 两点的距离相等；设直线 l 与 AB 、 BC 分别交于点 M 、 N ，作一个圆，使得圆心 O 在线段 MN 上，且与边 AB 、 BC 相切；（不写 作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 5 3BM  ， 2BC  ，则 O 的半径为________． 【答案】（1）见解析；（2） 1 2r  【解析】 【分析】 （1）由题意知直线l 为线段 BC 的垂直平分线，若圆心O 在线段 MN 上，且与边 AB 、 BC 相切，则再作 出 ABC 的角平分线，与 MN 的交点即为圆心 O； （2）过点 O 作OE AB ，垂足为 E ，根据 BMN BNO BMOS S S △ △ △ 即可求解． 【详解】解：（1）①先作 BC 的垂直平分线：分别以 B，C 为圆心，大于 1 2 BC 的长为半径画弧，连接两个 交点即为直线 l，分别交 AB 、 BC 于 M 、 N ； ②再作 ABC 的角平分线：以点 B 为圆心，任意长为半径作圆弧，与 ABC 的两条边分别有一个交点， 再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点 B，即为 ABC 的角平分线，这 条角平分线与线段 MN 的交点即为O ； ③以O 为圆心， ON 为半径画圆，圆O 即为所求； （2）过点 O 作OE AB ，垂足为 E ，设ON OE r  ∵ 5 3BM  ， 2BC  ，∴ 1BN  ，∴ 4 3MN  根据面积法，∴ BMN BNO BMOS S S △ △ △ ∴ 1 4 1 1 51 12 3 2 2 3r r        ，解得 1 2r  ， 故答案为： 1 2r  ． 18 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规 作图． 25.如图， DB 过 O 的圆心，交 O 于点 A 、 B ， DC 是 O 的切线，点C 是切点，已知 30D   ， 3DC  ． （1）求证： Δ ΔBOC BCD ； （2）求 BCD 的周长． 【答案】（1）见解析；（2） BCD 的周长为3 2 3 【解析】 【分析】 （1）由切线的性质可得 90OCD   ，由外角的性质可得 120BOC   ，由等腰三角形的性质 30B OCB     ，可得 30B D     ，可得结论； （2）由直角三角形的性质可得 1OC OB  ， 2DO  ，即可求解． 【详解】证明：（1） DC 是 O 的切线， 90OCD  ， 30D   ， 30 90 120BOC D OCD           ， OB OC ， 30B OCB    ， D OCB   ， BOC BCD△ ∽△ ； （2） 30D   ， 3DC  ， 90OCD   ， 3 3DC OC   ， 2DO OC ， 1OC OB   ， 2DO  ， 19 30B D     ， 3DC BC   ， BCD△ 的周长 3 3 2 1 3 2 3CD BC DB         ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行 推理是本题的关键． 26.有一块矩形地块 ABCD ， 20AB  米， 30BC  米，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形 ABCD 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为 x 米．现决定在等腰梯形 AEHD 和 BCGF 中种 植甲种花卉；在等腰梯形 ABFE 和CDHG 中种植乙种花卉；在矩形 EFGH 中种植丙种花卉．甲、乙、丙 三种花卉的种植成本分别为 20 元/米 2 、60 元/米 2 、40 元/米 2 ，设三种花卉的种植总成本为 y 元． （1）当 5x  时，求种植总成本 y ； （2）求种植总成本 y 与 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过 120 米 2 ，求三种花卉的最低种植总成本． 【答案】（1）当 5x  时， 22000y  ；（2） 400 24000(0 10)    y x x ；（3）当 6x  时， y 最小为 21600． 【解析】 【分析】 （1）根据 1 12 ( ) 20 2 ( ) 60 402 2y EH AD x GH CD x EF EH           ，即可求解； （2）参考（1），由题意得： (30 30 2 ) 20 (20 20 2 ) 60 (30 2 )(20 2 ) 40(0 10)y x x x x x x x               ； （3）     212 30 2 30 2 602S EH AD x x x x x         甲 ， 22 40x xS   乙 ，则 2 22 60 ( 2 40 ) 120x x x x     „ ，即可求解． 【详解】解：（1）当 5x  时， 20 2 10EF x   ， 30 2 20EH x   ， 故 1 12 ( ) 20 2 ( ) 60 402 2y EH AD x GH CD x EF EH           (20 30) 5 20 (10 20) 5 60 20 10 40 22000            ； （2） 20 2EF x  ， 30 2EH x  ，参考（1），由题意得： (30 30 2 ) 20 (20 20 2 ) 60 (30 2 )(20 2 ) 40 400 24000(0 10)y x x x x x x x x                  ； （3）     212 30 2 30 2 602S EH AD x x x x x         甲 ， 同理 22 40x xS   乙 ，  甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过 120 米 2 ， 20 2 22 60 ( 2 40 ) 120x x x x     „ ， 解得： 6x„ ， 故 0 6x „ ， 而 400 24000y x   随 x 的增大而减小，故当 6x  时， y 的最小值为 21600， 即三种花卉的最低种植总成本为 21600 元． 【点睛】本题考查了一次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模 型，然后结合实际选择最优方案． 27.如图，在矩形 ABCD 中， 2AB  ， 1AD  ，点 E 为边 CD 上的一点（与C 、D 不重合）四边形 ABCE 关于直线 AE 的对称图形为四边形 ANME ，延长 ME 交 AB 与点 P ，记四边形 PADE 的面积为 S ． （1）若 3 3DE  ，求 S 的值； （2）设 DE x ，求 S 关于 x 的函数表达式． 【答案】（1） 3 2S  ；（2） 21 1 2 4   xS x x 【解析】 【分析】 （ 1 ） 解 Rt△ADE 可 得 60AED   和 AE 的 长 ， 然 后 根 据 平 行 线 的 性 质 、 对 称 的 性 质 可 得 60BAE AEP   ∠ ，进而可判断 APE 为等边三角形，再根据 S=S△APE+S△ADE 解答即可； （2）过点 E 作 EF AB 于点 F，如图，则四边形 ADEF 是矩形，由（1）得 AEP AED PAE     ， 从而可得 AP PE ，设 AP PE a  ，则 PF a x  ，然后在 Rt PEF 中根据勾股定理即可利用 x 表示 a，然后根据 S=S△APE+S△ADE 即可求出结果． 【详解】解：（1）在 Rt△ADE 中，∵ 3 3DE  ， 1AD  ， ∴ tan 3AED  ，∴ 60AED  ， ∴ 2 32 3AE DE  ， ∵ / /AB CD ，∴ 60 ∠BAE ， ∵四边形 ABCE 关于直线 AE 的对称图形为四边形 ANME ， ∴ AEC AEM   ， 21 ∵ PEC DEM   ， ∴ 60AEP AED     ， ∴ APE 为等边三角形， ∴S=S△APE+S△ADE= 2 3 2 3 1 3 314 3 2 3 2          ； （2）过点 E 作 EF AB 于点 F，如图，则四边形 ADEF是矩形， ∴ AF ED x  ， 1EF AD  ， 由（1）可知， AEP AED PAE     ， ∴ AP PE ， 设 AP PE a  ，则 PF a x  ， 在 Rt PEF 中，由勾股定理，得：  2 21a x a   ，解得： 2 1 2 xa x  ， ∴S=S△APE+S△ADE= 2 21 1 1 1 11 12 2 2 2 4 x xx xx x         ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角 三角形等知识，考查的知识点多、综合性强，熟练掌握上述知识是解题的关键． 28.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线OA交二次函数 21 4y x 的图像于点 A ， 90AOB   ，点 B 在该二次函数的图像上，设过点 0,m （其中 0m  ）且平行于 x 轴的直线交直线OA于点 M ，交直线OB 于点 N ，以线段 OM 、 ON 为邻边作矩形OMPN ． 22 （1）若点 A 的横坐标为 8． ①用含 m 的代数式表示 M 的坐标； ②点 P 能否落在该二次函数的图像上？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由； （2）当 2m  时，若点 P 恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数 表达式． 【答案】（1）① 1 ,2M m m     ；②能， 32 9m  ；（2） ( 2 1)y x  或 ( 2 1)y x   ． 【解析】 【分析】 （1）①求出点 A 的坐标，直线直线OA的解析式即可解决问题． ②求出直线 OB 的解析式，求出点 N 的坐标，利用矩形的性质求出点 P 的坐标，再利用待定系数法求出 m 的值即可． （2）分两种情形：①当点 A 在 y 轴的右侧时，设 21( , )4A a a ，求出点 P 的坐标利用待定系数法构建方程求 出 a 即可．②当点 A 在 y 轴的左侧时，即为①中点 B 的位置，利用①中结论即可解决问题． 【详解】解：（1）①点 A 在 21 4y x 的图象上，横坐标为 8， (8,16)A ， 直线OA的解析式为 2y x ，  点 M 的纵坐标为 m ， 1(2M m ， )m ； ②假设能在抛物线上， 90AOB  Q ， 直线OB 的解析式为 1 2y x  ，  点 N 在直线OB 上，纵坐标为 m ， ( 2 , )N m m  ， MN 的中点的坐标为 3( 4 m ， )m ， 23 3( 2P m  ， 2 )m ，把点 P 坐标代入抛物线的解析式得到 32 9m  ． （2）①当点 A 在 y 轴右侧时，设 21, 4A a a     ，所以直线OA解析式为 1 4y ax ， ∴ 8 ,2M a      ， OB OA ， 直线OB 的解析式为 4y xa   ，可得 ( 2 aN  ， 2) ， 8( 2 aP a   ， 4) ，代入抛物线的解析式得到， 8 42 a a   ， 解得 4 2 4a   ， 直线OA的解析式为 ( 2 1)y x  ． ②当点 A 在 y 轴左侧时，即为①中点 B 位置， ∴直线 OA 的解析式为  4 2 1y x xa      ； 综上所述，直线OA的解析式为 ( 2 1)y x  或 ( 2 1)y x   ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质 等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 24