2019九年级数学下册 专题突破讲练 概率计算基本类型讲解—操作次数决定解题策略试题

2019九年级数学下册 专题突破讲练 概率计算基本类型讲解—操作次数决定解题策略试题

操作次数决定解题策略 以概率事件中操作次数为依据分列各种情形下的解题策略 ‎1. 一次操作问题 当问题情形是从若干元素中抽取一个元素（如一次操作问题）时，可以直接应用公式P（A）＝（m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数）。‎ ‎2. 两次操作问题 当问题情形是从若干元素中抽取两个元素或对某个试验进行两次操作时，可选用列表法或树形图法。‎ 方法归纳：无论是列表法还是树形图法都要列举出事件发生的所有可能情况，不能遗漏，求某一事件的概率其实质就是求所求情况数与总情况数之比。解答两次以上摸球类概率问题时注意是不是放回。‎ 总结：‎ ‎1. 能够用列举法求概率。‎ ‎2. 能借助列表法或树形（状）图解决较为复杂的概率问题。‎ 例题1 在九张质地都相同的卡片上分别写有数字－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率是__________。‎ 解析：让绝对值不大于2的数的个数除以数的总数即为所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率。‎ 答案：∵数的总个数有9个，绝对值不大于2的数有－2，－1，0，1，2共5个，∴任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率是。‎ 点拨：本题考查概率公式，只进行了一次操作，用所求情况数与总情况数之比求概率即可。得到绝对值不大于2的数的个数是解决本题的易错点。‎ 例题2 一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为。‎ ‎（1）求口袋中黄球的个数；‎ ‎（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；‎ 8‎ ‎（3）现规定：摸到红球得5分，摸到蓝球得2分，摸到黄球得3分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率。‎ 解析：（1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解此方程即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；（3）由于乙同学第一次已摸到一个红球，第二次摸到一个蓝球，若再随机摸一次，则有4种等可能结果，分别计算4种情况的得分，再求三次摸球所得分数之和不低于10分的概率。‎ 答案：（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝1，经检验：x＝1是原分式方程的解；∴口袋中黄球的个数为1个；‎ ‎（2）画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，∴两次摸出都是红球的概率为：＝；‎ ‎（3）∵摸到红球得5分，摸到蓝球得2分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，第三次再随机摸一次，可能是红、红、黄、蓝。即在这次摸球游戏中乙同学摸球情况是：红、蓝、红，红、蓝、红，红、蓝、黄，红、蓝、蓝，共4种情况，得分不低于10分的有3种情况，∴所求概率为。‎ 点拨：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率。列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件。第（1）题属于一次操作，第（2）题属于二次操作，第（3）题实质是一次操作，因为乙同学第一次摸球和第二次摸球已经确定，求概率的事件是第三次摸球发生的情况而不是整个的三次摸球游戏。‎ 三次及三次以上操作概率问题的解题策略 对于两步以上随机事件发生的概率问题，宜选用树形图法来确定事件发生的概率。‎ 例题 甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是__________。‎ 解析：‎ 8‎ 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙二人相邻的情况，再利用概率公式求解即可。‎ 答案：画树状图得：‎ ‎∵共有6种等可能的结果，甲、乙二人相邻有4种情况，∴甲、乙二人相邻的概率是＝。‎ 点拨：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎2. 要从小强、小红和小华三人中随机选两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎*3. 一签筒内有四支签，分别标记号码1、2、3、4。已知小武以每次取一支且取后不放回的方式取两支签，若每一种结果发生的机会都相同，则这两支签的号码数总和是奇数的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎**4. 已知甲袋有5张分别标示1～5的号码牌，乙袋有6张分别标示6～11的号码牌，慧婷分别从甲、乙两袋中各抽出一张号码牌。若同一袋中每张号码牌被抽出的机会相等，则她抽出两张号码牌，其数字乘积为3的倍数的概率是（ ）‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎5. 一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是__________。‎ 8‎ ‎6. 在1，2，3，4四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，则组成的两位数大于40的概率是__________。‎ ‎*7. 某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是__________。‎ ‎**8. 如图所示，小明和小龙做转陀螺游戏，他们同时分别转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是__________。‎ 三、解答题 ‎**9. 一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；否则不算过关。那么能过第二关的概率是多少？‎ ‎**10. 有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁。现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁。‎ ‎（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；‎ ‎（2）求一次打开锁的概率。‎ ‎**11. 把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张。‎ ‎（1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率。‎ ‎（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由。‎ ‎**12. 为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场劵，甲和乙设计了如下的摸球游戏：在不透明口袋中放入编号分别为1、2、3的三个红球及编号为4的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其他没有任何区别，摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个球（第一次摸后不放回），把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球，如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分，如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则乙得0分，得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来。‎ ‎（1）运用列表或画树状图求甲得1分的概率；‎ ‎（2）请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？‎ 8‎ 一、选择题 ‎1. A 解析：所有可能情况是：黑黑、黑白、白黑、白白。‎ ‎2. B 解析：所有可能情况是：小强和小红、小强和小华、小红和小华。‎ ‎*3. B 解析：所有可能情况是：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3），共12种。其和为奇数的情况有8种，所以所求概率是＝。‎ ‎**4. C 解析：根据题意列表得：‎ 所有等可能的结果为30种，其中是3的倍数的有14种，则P＝＝。‎ 二、填空题 ‎5. 解析：如图，‎ 随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，所以两次摸出的小球标号的和等于4的概率＝。‎ ‎6. 解析：根据题意画出树状图如下：‎ 一共有12种情况，组成的两位数大于40的情况有3种，所以P（组成的两位数大于40）＝＝‎ 8‎ ‎ eq f(1,4)。‎ ‎*7. 解：画树状图得：‎ ‎∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有12种情况，∴选出一男一女的概率是：＝。‎ ‎**8. 解析：列表得：‎ ‎（4，6）‎ ‎（5，6）‎ ‎（6，6）‎ ‎（7，6）‎ ‎（8，6）‎ ‎（9，6）‎ ‎（4，5）‎ ‎（5，5）‎ ‎（6，5）‎ ‎（7，5）‎ ‎（8，5）‎ ‎（9，5）‎ ‎（4，4）‎ ‎（5，4）‎ ‎（6，4）‎ ‎（7，4）‎ ‎（8，4）‎ ‎（9，4）‎ ‎（4，3）‎ ‎（5，3）‎ ‎（6，3）‎ ‎（7，3）‎ ‎（8，3）‎ ‎（9，3）‎ ‎（4，2）‎ ‎（5，2）‎ ‎（6，2）‎ ‎（7，2）‎ ‎（8，2）‎ ‎（9，2）‎ ‎（4，1）‎ ‎（5，1）‎ ‎（6，1）‎ ‎（7，1）‎ ‎（8，1）‎ ‎（9，1）‎ ‎∴与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是＝。‎ 三、解答题 ‎**9. 解析：∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关。∴要过第二关有n＝2，则抛掷所出现的点数之和需要大于5，列表得：‎ 8‎ ‎∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，∴能过第二关的概率是＝。‎ ‎**10. 解析：（1）设两把不同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为a、b，其余两把钥匙分别为m、n，根据题意，可以画出如下树形图：‎ 由上图可知，上述试验共有8种等可能结果。（2）由（1）可知，任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有8种可能的结果，一次打开锁的结果有2种，且所有结果的可能性相等。∴P（一次打开锁）＝＝。‎ ‎**11.（1） （2）不公平 解析：（1）6张卡片分两组，从中各随机抽取一张，各种情况画树状图如下：‎ 从树状图可见，取出的两张卡片数字之和共9种情况，其中数字之和为奇数的只有4种，所以取出的两张卡片数字之和为奇数的概率为P＝；‎ ‎（2）由（1）的树状图可知，取出的两张卡片数字之和为偶数有5种情况，从而乙胜的概率为P’＝，而甲胜的概率是P＝，所以两者概率不相等，故这个游戏不公平。‎ 8‎ ‎**12.（1） （2）不公平 解析：（1）列表得：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎－‎ ‎1分 ‎1分 ‎0分 ‎2‎ ‎1分 ‎－‎ ‎1分 ‎0分 ‎3‎ ‎1分 ‎1分 ‎－‎ ‎0分 ‎4‎ ‎0分 ‎0分 ‎0分 ‎－‎ 画树状图得：‎ ‎∴P（甲得1分）＝＝；‎ ‎（2）∵P（乙得1分）＝，∴P（甲得1分）≠P（乙得1分），∴不公平。‎ 8‎