中考数学第一轮复习导学案频率与概率

中考数学第一轮复习导学案频率与概率

- 1 - 频率与概率 ◆ 课前热身 1.盒子里有 3 支红色笔芯，2 支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同．从中任意拿出一支笔 芯，则拿出黑色笔芯的概率是（ ） A． 2 3 B． 1 5 C． 2 5 D． 3 5 2.做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖 1000 次．经过统计得“凸面向上”的频率约为 0.44， 则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（ ） A. 0.22 B. 0.44 C. 0.50 D. 0.56 3.一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒．当你抬头看 信号灯时，是绿灯的概率是 （ ） A． 1 12 B． 1 3 C． 5 12 D． 1 2 4.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共 40 个，除颜色外其他完全相同．小明 通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在 15％左右，则口袋中红色球可 能有（ ） A．4 个 B．6 个 C．34 个 D．36 个 【参考答案】 1. C 2. C 3. C 4. B ◆考点聚焦 知识点 频率、概率 大纲要求 1.灵活运用用列举法计算简单事件的概率 2.了解并初步学会概率的简单应用 考查重点和常考题型 主要考查概率的简单应用和用列举法计算简单事件的概率 ◆备考兵法 频率：在相同条件下重复 n 次实验，事件 A 发生的次数 m 与实验总次数 n 的比值。 注意：频率在一定程度 上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机 - 2 - 的，在实验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复实验的 条件下可以近似地作为这个事件的概率。 概率：事件 A 的频率 n m 接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件 A 的概率，记作 P（A）。 注意：①概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映；②概率是事件在大量重复实 验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的 概率，但二者不能简单地等同；③必然事件与不可能事件可以看作随机事件的两种特殊情况， 因此，任何事件发生的概率都满足 0≤P（A）P（A）≤1，必然事件的概率是 1，不可能事件 的概率是 0。 ◆考点链接 求概率的方法 （1）利用概率的定义直接求概率_________________． （2）用___________________和___________________求概率； （3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率． ◆典例精析 例 1（贵州省黔东南州）赏郎中学初三某班的同学积极参加体育锻炼，该班班长在篮球场对 自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据： 第一回投球 第二回投球 第三回投球 第四回投球 第五回投球 第六回投球 每回投球次数 5 10 15 20 25 30 每回进球次数 3 8 16 17 18 相应频率 0.6 0.8 0.4 0.8 0.68 0.6 （1）请将数据表补充完整. （2）画出班长进球次数的频率分布折线图. （3）就数据 5、10、15、20、25、30 而言，这组数据的中位数是多少？学 （4）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的 频率将稳定在他投球 1 次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？并说明理由.（结 果用分数表示） 【解析】本例是数据的整理与描述相结合的一道试题，首先是对数据进行分析，然后通过实 验频率来估计概率。本例的关键是同学们如何区分概率与频率。概率是伴随着随机事件客观 - 3 - 存在的，只要有随机事件就一定存在概率。频率是通过实验得到的，随着试验次数的变化而 变化，但是当试验的次数足够多后，频率就在概率附近摆动。为了求一个随机事件的概率， 我们就可以通过多次试验，用所得的频率来估计事件的概率。 解：（1）表中空格中填：6 （2） （3）中位数是 17.5 （4） 105 68 30252015105 181716683   . 例 2 (湖北省武汉市)小明准备今年暑假到北京参加夏令营活动，但只需要一名家长陪同前 往，爸爸、妈妈都很愿意陪同，于是决定用抛掷硬币的方法决定由谁陪同．每次掷一枚硬币， 连掷三次． （1）用树状图列举三次抛掷硬币的所有结果； （2）若规定：有两次或两次以上．．．．．．．正面向上，由爸爸陪同前往北京；有两次或两次以上．．．．．．．反面 向上，则由妈妈陪同前往北京．分别求由爸爸陪同小明前往北京和由妈妈陪同小明前往北京 的概率； （3）若将“每次掷一枚硬币，连掷三次，有两次或两次以上正面向上时，由爸爸陪同小明 前往北京”改为“同时掷三枚硬币，掷一次，有 两枚或两枚以上．．．．．．．正面向上时，由爸爸陪同 小明前往北京”．求：在这种规定下，由爸爸陪同小明前往北京的概率． 【解析】画树状图法或列表法可以引导学生主动参与对事件发生概率的感受和探索，经历事 件发生的实验过程，通过树状图或列表的方式把事件发生的每一种可能都具体的表示出来， 尤其是树状 图法更能直观地表现事物发生的每一种可能，并对收集的实验数据进行分析， 从中获得事件发生概率的计算方法。这两种方法是概率计算中最直观和最常用的计算方法。 解：（1） - 4 - （2） P （由爸爸陪同前往） 1 2 ； （由妈妈陪同前往） ； （3）由（1）的树形图知， （由爸爸陪同前往） ． 例 3(贵州省安顺市)下表为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价 格，某公司购买的门票种类、数量绘制的统计图表如下： 依据上列图表，回答下列问题： (1)其中观看足球比赛的门票有_____张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的_____％； (2)公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给 100 名员工，在看不到门票的条件下，每人 抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），问员工小华抽到男篮 门票的概率是_____； (3)若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的 1 8 ，求每张乒乓球门票的价格. 【解析】是奥运年，本例以人们熟悉和向往的“奥运”为背景设计问题，重在考查统计与概 率的有关概念、图像信息的捕捉运用能力，是一道统计与概率、解方程相结合的综合性试题。 在“购买奥运门票”的具体情境中，我们只要读懂统计图表即可求出相关概率、乒乓球门票 的价格等，也使统计思想、方程思想在本例中得到了充分地应用。 解：（1）50，20 （2） 10 3 （3）依题意，有 20 1 100 50 800 30 20 8 x x     解得 x ≈530 . 经检验，x =530 是原方程的解. 答：每张乒乓球门票的价格约为 530 元. 正 反 正 反 正 反 正 正 反 正 反 正 反 反 第一次 第二次 第三次 - 5 - 迎考精炼 一、选择题 1．（青海省）将三个均匀的六面分别标有 1、2、3、4、5、6 的正方体同时掷出，出现的数 字分别为 a b c、 、 ，则 正好是直角三角形三边长的概率是（ ） A． 1 216 B． 1 72 C． 1 12 D． 1 36 2．（湖北省黄石市）为了防控输入性甲型 H1N1 流感，某市医院成立隔离治疗发热流涕病人 防控小组，决定从内科 5 位骨干医师中（含有甲）抽调 3 人组成，则甲一定抽调到防控小组 的概率是（ ） A． 3 5 B． 2 5 C． 4 5 D． 1 5 3．（北京市）某班共有 41 名同学，其中有 2 名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右 手写字，老师随机请 1 名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（） A. 0 B. 1 41 C. 2 41 D.1 4.（浙江省舟山市）如图，将点数为 2，3，4 的三张牌按从左到右的方式排列，并 且按从左到右的牌面数字记录排列结果为 234．现在做一个抽放牌游戏：从上述左、中、右 的三张牌中随机抽取一张，然后把它放在其余两张牌的中间，并且重新记录排列结果．例如， 若第 1 次抽取的是左边的一张，点数是 2，那么第 1 次抽放后的排列结果是 324；第 2 次抽 取的是中间的一张，点数仍然是 2，则第 2 次抽放后的排列结果仍是 324．照此游戏规则， 两次抽放后，这三张牌的排列结果仍然是 234 的概率为 （ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 4 5.（山东省济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小 正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形 的两条直角边的长分别是 2 和 4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投 掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间 小正方形区域（含边线）的概率是（ ） - 6 - A. 1 2 B. 1 4 C. 1 5 D. 1 10 6.（四川省遂宁市）做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖 1000 次．经过统计得“凸 面向上”的频率约为 0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率 约为（ ） A.0.22 B.0.44 C.0.50 D.0.56 二、填空题 1.（湖南省长沙市）从某玉米种子中抽取 6 批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1 000 2 000 5 000 发芽种子粒 数 85 398 652 793 1 604 4 005 发芽频率 0.85 0 0.74 5 0.85 1 0.79 3 0.80 2 0.80 1 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 （精确到 0.1）． 2．（广东省）在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均 相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 4 5 ，则 n __________． 3．（辽宁省铁岭市）如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八 部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的 概率是 ． 4．（江苏省）如图，一个圆形转盘被等分成五个 扇形区域，上面分别标有数字 1、2、3、4、5，转盘指针 的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次， 当转盘停止转动时，记指针指向标有偶数所在区域的概 率为 P （偶数），指针指向标有奇数所在区域的概率为 （奇数），则 （偶数） （奇数）（填“  ”“  ”或“ ”）． - 7 - 5．（新疆省乌鲁木齐市）瑞瑞有一个小正方体，6 个面上分别画有平行四边形、圆、等腰梯 形、菱形、等边三角形和直角梯形这 6 个图形．抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是 轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ． 三、解答题 1.（湖南省长沙市）为了提高返乡农民工再就业能力，劳动和社会保障部门对 400 名返乡农 民工进行了某项专业技能培训，为了解培训的效果，培训结束后随机抽取了部分参调人员进 行技能测试，测试结果分成“不合格”、“合格”、“良好”、“优秀”四个等级，并绘制了如图 所示的统计图，请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）培训结束后共抽取了____________名参训人员进行技能测试； （2）从参加测试的人员中随机抽取一人进行技能展示，其测试结果为“优秀”的概率 为____________． （3）估计这 400 名参加培训的人员中，获得“优秀”的总人数大约是多少？ 2.（山东省东营市）某中学对全校学生 60 秒跳绳的次数进行了统计，全校平均次数是 100 次．某班体育委员统计了全班 50 名学生 60 秒跳绳的成绩，列出的频数分布直方图如下（每 个分组包括左端点，不包括右端点）： 求：（1）该班 60 秒跳绳的平均次数至少是多少？是否超过全校平均次数？ （2）该班一个学生说：“我的跳绳成绩在我班是中位数”，请你给出该生跳绳成绩的 所在范围． （3）从该班中任选一人，其跳绳次数达到或超过校平均次数的概率是多少？ 人数（人） 不合格 合格 良好 优秀 等级 16 14 12 10 8 6 4 2 0 60 80 100 120 140 160 180 次数 4 2 5 7 13 19 频数 O - 8 - 3.（辽宁省铁岭市）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给 他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在 一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的 4 个小球，上面分别标有数字 1、2、3、 4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的 3 个小球中随机摸出一个小 球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选． （1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率； （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 4.（湖北省孝感市）某班 6 名同学组成了一个“帮助他人，快乐自己”的体验小组．他们约 定一学期每人至少参加一次公益活动．学期结束后，他们参加公益活动的统计图如右． （1）这个体验小组一学期参加公益活动的人均次数是 次； （2）从这 6 名同学中任选两名同学（不考虑先后顺序），他们参加公益活动的次数恰好相等 的概率是多少？ 5.（湖南省益阳市）某校数学兴趣小组成员小华对本班上期期末考试数学成绩(成绩取整数， 满分为 100 分)作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图．请你根据 图表提供的信息，解答下列问题： (1) 频数、频率分布表中 a = ，b = ； (2)补全频数分布直方图； (3)数学老师准备从不低于 90 分的学生中选 1 人介绍学习经验，那么取得了 93 分的小华被 选上的概率是多少？ 分 组 49.5~59 .5 59.5~69 .5 69.5~79 .5 79.5~89 .5 89.5~100 .5 合计 频 数 2 a 20 16 4 50 频 0.04 0.16 0.40 0.32 b 1 - 9 - 率 【参考答案】 一、选择题 1. D 2. A 3. C 4. B 5. C 6. C 二、填空题 1.0.8 2.8 3. 1 2 4.< 5. 1 3 三、解答题 1.解：（ 1）40； （2） 1 4 ； （3） 1400 1004 （人）． 2.解：（1）该班 60 秒跳绳的平均次数至少是： ＝100.8． 因为 100.8>100，所以一定超过全校平均次数． （2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，由 4+13+19=36，所以中位数一定在 100～120 范围内． （3）该班 60 秒跳绳成绩大于或等于 100 次的有：19+7+5+2=33（人）， 所以，从该班任选一人，跳绳成绩达到或超过校平均次数的概率为 0.66． 3.解：（1）根据题意可列表： 第一次 第二次 1 2 3 4 成绩(分) 人数 2 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 100.5 6 4 18 20 8 10 12 14 16 O - 10 - 1 —— （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） —— （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） —— （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） —— 从上表可以看出所有可能结果共有 12 种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果 有 8 种， ∴ P （和为奇数） 2 3 （2）不公平． ∵小明先挑选的概率是 （和为奇数） ，小亮先挑选的概率是 （和为偶数） 1 3 ， ∵ 21 33 ，∴不公平． 4.解：（1）3； （2）设这 6 名同学中只参加 1 次公益活动的是 A， 参加了三次公益活动的是 B1、B2、B3， 参加了四次公益活动的是 C1、C2． 从中任选两名同学，有 AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、B1B2、B1B3、B1C1、B1C2、 B2B3、B2C1、B2C2、B3C1、B3C2、C1C2 共 15 种情况． 参加公益活动次数相等的有 B1B2、B1B3、B2B3、C1C2 共 4 种情况 ∴所求概率 4 15P  ． 5.解：(1)a＝8，b＝0.08 (2) (3)小华被选上的概率是： 4 1 成绩(分) 人数 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 100.5 4 20 8 12 16 O