湖北省武汉二桥中学2019-2020年九年级下学期3月月考数学试题（答案解析版）

湖北省武汉二桥中学2019-2020年九年级下学期3月月考数学试题（答案解析版）

‎2019-2020学年度九年级月考数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）‎ ‎1.-2019的相反数是（ ）‎ A. 2019 B. -2019 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.‎ ‎【详解】解：2019的相反数是﹣2019．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.‎ ‎2.若代数式在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（　　）‎ A. x > -1 B. x = -1 C. x ¹ 0 D. x ¹ -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．‎ ‎【详解】由题意得 x＋1≠0，‎ 解得x≠−1，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．‎ ‎3.计算 x- 2x的结果（ ）‎ A. －1 B. -x C. x D. x ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 合并同类项即可求解．‎ ‎【详解】x- 2x=-x 故选B．‎ ‎【点睛】此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知合并同类项法则．‎ ‎4.计算( x +1)( x - 2)的结果是（ ）‎ A. x - 2 B. x+ 2 C. x- x + 2 D. x - x - 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据多项式的乘法即可求解．‎ ‎【详解】( x +1)( x - 2)= x-2x+x+2=x-x+2‎ 故选C．‎ ‎【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知多项式乘多项式的运算法则．‎ ‎5.如图，下列选项中不是正六棱柱的三视图的是（ 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ ‎【详解】正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．‎ ‎6.为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵V=Sh（V为不等于0的常数），∴（h≠0），S是h的反比例函数．‎ 根据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．‎ 故选C．‎ ‎7.对于反比例函数，下列说法正确的个数是（ ）‎ ‎①函数图象位于第一、三象限；②函数值 y 随 x 的增大而减小；③若 A(-1， ），B（2，），C(1，)是图象上三个点，则 <<；④P 为图象上任一点，过 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q，则△OPQ 的面积是定值．‎ A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【详解】中,＞0，∴函数图象位于第一、三象限，①正确；‎ 函数在各象限中，y随x的增大而减小，故②错误；‎ 若 A(-1， ），B（2，），C(1，)是图象上三个点，则<<，故③错误；‎ ‎④P 为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积等于，为定值，故④正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0‎ ‎，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．‎ ‎8.如图，身高 1.8m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影 BA 由 B 向 A 走去，当走到 C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC＝3.2m，CA＝0.8m，则树的高度为(　　)‎ A 4.8m B. 6.4m C. 8m D. 9m ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相似三角形对应线段成比例解题．‎ ‎【详解】因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，‎ 设树高x米，则，‎ 即 ‎∴x＝9‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题主要考查相似三角形中的对应线段成比例，解题的关键是找到对应边进行列式求解．‎ ‎9.如图，DABC 内接于⊙ O ，AD 是DABC 边 BC 上的高，D 为垂足．若 BD = 1，AD = 3，BC = 7， 则⊙O 的半径是（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点A作直径AH，连接CH，根据勾股定理分别求出AB、AC，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．‎ ‎【详解】过点A作直径AH，连接CH，‎ ‎∵BD＝1，BC＝7，‎ ‎∴CD＝6．‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴AB＝，AC＝，‎ ‎∵AH为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACH＝90，‎ ‎∴∠ADB＝∠ACH，‎ 由圆周角定理得，∠B＝∠H，‎ ‎∴△ABD∽△AHC，‎ ‎∴，即，‎ 解得，AH＝5，‎ ‎∴⊙O的半径＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握相似三角形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键．‎ ‎10.n 个数按一定的规律排列成 1，－3，9，－27，81，－243，…，其中最后三个数的和为 5103，则 n 为（　）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由所给数，找到规律为相邻数据符号相反，后一个数是前一个数的−3倍，设最后三个数依次为x，−3x，9x，则有x＋（−3x）＋9x＝5103，解出x＝729，再由6561＝38＝（−3）8＝（−3）n−1，即可求n．‎ ‎【详解】观察数据可得，相邻数据符号相反，后一个数是前一个数的−3倍，‎ ‎∴第1个数为（−3）0，第2个数为（−3）1，第n个数可设为（−3）n−1，‎ 设最后三个数依次为x，−3x，9x，‎ 则有x＋（−3x）＋9x＝5103，‎ 解得：x＝729，‎ 第n个数为9×729=6561＝38＝（−3）8＝（−3）n−1，‎ ‎∴n−1＝8，‎ ‎∴n＝9，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，列出正确的一元一次方程是解题的关键．‎ 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）‎ ‎11.计算：的结果是_____．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次根式的加减法则合并同类二次根式即可．‎ ‎【详解】原式＝（3＋2）‎ ‎＝5，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】本题考查了二次根式的加减法则，能根据法则正确合并同类二次根式是解此题的关键．‎ ‎12.计算结果为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式的加减法法则计算即可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎=‎ ‎=1．‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查分式的加减，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减；熟练掌握运算法则是解题关键．‎ ‎13.如图，在YABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE，若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，则∠AED的度数是______度．‎ ‎【答案】85‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明∠B=∠EAD，然后利用SAS证明△ABC≌△EAD，得出∠AED=∠BAC．再证明△ABE为等边三角形，可得∠BAE=60°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．‎ ‎【详解】∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，∴∠EAD=∠AEB．‎ 又∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠B=∠EAD．在△ABC和△EAD中，∵AB=AE，∠ABC=∠EAD，BC=AD，∴△ABC≌△EAD（SAS），∴∠AED=∠BAC．‎ ‎∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB=∠B，∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE=60°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=85°，∴∠AED=∠BAC=85°．‎ 故答案为85．‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质；熟记平行四边形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．‎ ‎14.在△ABC中，ED∥BC，S四边形BCDE∶S△ABC=21∶25，AD=4，则 DC长为____．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用比例的性质得到S△ADE：S△ABC＝4：25，再证明△ADE∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，从而可求出AC，然后计算AC−AD即可．‎ ‎【详解】∵S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，‎ ‎∴S△ADE：S△ABC＝4：25，‎ ‎∵ED∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AC＝×4＝10，‎ ‎∴CD＝AC−AD＝10−4＝6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．‎ ‎15.把一根 9m 长的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中 1m 长的钢管有 a 根，则 a 的值可能有_____种．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列二元一次方程即可解决问题．‎ ‎【详解】设2m的钢管b根，根据题意得：‎ a＋2b＝9，‎ ‎∵a、b均正整数，‎ ‎∴，，，．‎ a 的值可能有4种，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．‎ ‎16.如图，⊙O 的半径为 3，AB 为圆上一动弦，以 AB 为边作正方形 ABCD，求 OD 的最大值__．‎ ‎【答案】3＋3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把AO绕点A顺时针旋转90得到AO′，得到△AOO′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出OO′，再根据正方形的性质可得AB＝AD，再求出∠BAO＝∠DAO′，然后利用“边角边”证明△ABO和△ADO′全等，根据全等三角形对应边相等可得DO′＝BO，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．‎ ‎【详解】如图，连接AO、BO、把AO绕点A顺时针旋转90得到AO′，连接DO’‎ ‎∴△AOO′是等腰直角三角形，‎ ‎∵AO＝3，‎ ‎∴OO′＝=3，‎ 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90，‎ ‎∵∠BAO＋∠BAO′＝∠DAO′＋∠BAO′＝90，‎ ‎∴∠BAO＝∠DAO′，‎ 在△ABO和△ADO′，‎ ‎，‎ ‎∴△ABO≌△ADO′（SAS），‎ ‎∴DO′＝BO＝3，‎ ‎∴OO′＋O′D≥OD，‎ 当O、O′、D三点共线时，取“＝”，‎ 此时，OD的最大值为3＋3．‎ 故答案为：3＋3．‎ ‎【点睛】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．‎ 三、解答题（共 8 题，共 72 分）‎ ‎17.计算：‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按顺序先分别进行积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，然后再合并同类项即可.‎ ‎【详解】‎ ‎=‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.‎ ‎18.如图，A、D、B、E四点顺次在同一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE．求证：∠C＝∠F．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出AB＝DE，再利用SSS得出△ACB≌△DFE，进而得出答案．‎ ‎【详解】∵AD＝BE，‎ ‎∴AD＋DB＝BE＋DB，‎ ‎∴AB＝DE，‎ 在△ACB与△DFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACB≌△DFE（SSS），‎ ‎∴∠C＝∠F．‎ ‎【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．‎ ‎19.计算： ‎ ‎【答案】1+‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的混合运算即可求解．‎ ‎【详解】解： ‎ ‎＝ ‎ ‎＝‎ ‎＝1+．‎ ‎【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值，是基础知识要熟练掌握．‎ ‎20.请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）‎ ‎　　　‎ ‎（1）如图①，四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D，画出四边形 ABCD 的对称轴 m；‎ ‎（2）如图②，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=∠D，画出 BC 边的垂直平分线 n．‎ ‎（3）如图③，△ABC 的外接圆的圆心是点 O，D 是的中点，画一条直线把△ABC 分成面积相等的两部分．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接AC即为四边形 ABCD 的对称轴 m；‎ ‎（2）连接梯形的对角线交于点M、延长BA、CD交于点N，连接MN即为BC 边的垂直平分线；‎ ‎（3）连接OD，交AC于点Q，可证CQ＝AQ，作过BQ的直线可构造等底同高的三角形，故其面积相等．‎ ‎【详解】（1）如图，连接AC，直线m为所求；‎ ‎（2）如图，直线n为所求 ‎（3）如图，连接OD，交AC于点Q，作直线BQ，则直线BQ即为所求．‎ ‎【点睛】本题考查了尺规作图，圆的有关性质等，解题关键是知道筝形、梯形的对称性，三角形面积的有关性质等．‎ ‎21.如图，等腰三角形 ABC 中，AC＝BC＝13，AB＝10．以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 G，DF⊥AC，垂足为 F，交 CB 的延长线于点 E．‎ ‎(1)求证：直线 EF 是⊙O 的切线；‎ ‎(2)求 sin∠E 值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；‎ ‎（2）根据∠E＝∠CBG，可以把求sin∠E的值得问题转化为求sin∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．‎ ‎【详解】（1）证明：方法1：连接OD、CD．‎ ‎∵BC是直径，‎ ‎∴CD⊥AB．‎ ‎∵AC＝BC．‎ ‎∴D是AB的中点．‎ ‎∵O为CB的中点，‎ ‎∴OD∥AC．‎ ‎∵DF⊥AC，‎ ‎∴OD⊥EF．‎ ‎∴EF是O的切线．‎ 方法2：∵AC＝BC，‎ ‎∴∠A＝∠ABC，‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴∠DBO＝∠BDO，‎ ‎∵∠A＋∠ADF＝90°‎ ‎∴∠EDB＋∠BDO＝∠A＋∠ADF＝90°．‎ 即∠EDO＝90°，‎ ‎∴OD⊥ED ‎∴EF是O的切线．‎ ‎（2）解：连BG．‎ ‎∵BC是直径，‎ ‎∴∠BDC＝90°．‎ ‎∵AC＝BC＝13，AB＝10‎ ‎∴AD=AB=5‎ ‎∴CD＝‎ ‎∵AB•CD＝2S△ABC＝AC•BG，‎ ‎∴BG＝＝．‎ ‎∴CG＝．‎ ‎∵BG⊥AC，DF⊥AC，‎ ‎∴BG∥EF．‎ ‎∴∠E＝∠CBG，‎ ‎∴sin∠E＝sin∠CBG＝＝．‎ ‎【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．‎ ‎22.某超市拟于中秋节前天里销售某品牌月饼，其进价为元/．设第天的销售价格为（元/），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，与满足一次函数关系，且当时，；时，．②与的关系为．‎ ‎（1）当时，与的关系式为　 　；‎ ‎（2）为多少时，当天的销售利润（元）最大？最大利润为多少？‎ ‎（3）若超市希望第天到第天的日销售利润（元）随的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨元/，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）为时，当天的销售利润（元）最大，最大利润为元；（3）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依据题意利用待定系数法，易得出当时，与的关系式为：，‎ ‎（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．‎ ‎（3）要使第天到第天的日销售利润（元）随的增大而增大，则对称轴，求得即可 ‎【详解】（1）依题意，当时，时，，‎ 当时，设，‎ 则有，解得 与的关系式为：‎ ‎（2）依题意，‎ 整理得， ‎ 当时，‎ 随增大而增大 时，取最大值 当时，‎ 时，取得最大值，此时 综上所述，为时，当天的销售利润（元）最大，最大利润为元 ‎（3）依题意，‎ 第天到第天的日销售利润（元）随的增大而增大 对称轴，得 故的最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．‎ ‎23.四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，F 为边 CD 上一点，且∠AEF=90°．‎ ‎（1）如图 1，若 ABCD 为正方形，E 为 BC 中点，求证：．‎ ‎（2）若 ABCD 为平行四边形，∠AFE=∠ADC，‎ ‎①如图 2，若∠AFE=60°，求的值；‎ ‎②如图 3，若 AB=BC，EC=2CF．直接写出 cos∠AFE 值为　　　．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）如图1中，设正方形的边长为2a．只要证明△ABE∽△ECF，可得，求出CF、DF即可解决问题；‎ ‎（2）如图2中，在AD上取一点H，使得FH＝DF．只要证明△AEF是等边三角形，推出AF＝2EF，再证明△AHF∽△FCE，可得EC：HF＝EF：AF＝1：2;‎ ‎（3）如图3，作FT＝FD交AD于点T，作FH⊥AD于H，证△FCE∽△ATF，设CF＝2，则CE＝4，可设AT＝x，则TF＝2x，AD＝CD＝2x＋2，DH＝DT＝，分别用含x的代数式表示出∠AFE和∠D的余弦值，列出方程，求出x的值，即可求出结论．‎ ‎【详解】（1）证明：如图1中，设正方形的边长为2a．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠B＝∠C＝90°，‎ ‎∵∠AEF＝90°，‎ ‎∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∠FEC＋∠EFC＝90°，‎ ‎∴∠AEB＝∠EFC，‎ ‎∴△ABE∽△ECF，‎ ‎∴‎ ‎∵BE＝EC＝a，AB＝CD＝2a，‎ ‎∴CF＝a，DF＝CD−CF＝a，‎ ‎∴ ；‎ ‎（2）如图2中，在AD上取一点H，使得FH＝DF，‎ ‎∵∠AEF＝90°，∠AFE＝∠D＝60°，‎ ‎∴AF＝2EF，‎ ‎∵FH＝DF，‎ ‎∴△DHF是等边三角形，‎ ‎∴∠FHD＝60°，‎ ‎∴∠AHF＝120°，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠C＝180°−∠D＝120°，‎ ‎∴∠AHF＝∠C，‎ ‎∵∠AFC＝∠D＋∠FAH＝∠EFC＋∠AFE，∠AFE＝∠D，‎ ‎∴∠HAF＝∠EFC，‎ ‎∴△AHF∽△FCE，‎ ‎∴EC：HF＝EF：AF＝1：2，‎ ‎∴；‎ 如图3，作FT＝FD交AD于点T，作FH⊥AD于H，‎ 则∠FTD＝∠FDT，‎ ‎∴180°−∠FTD＝180°−∠D，‎ ‎∴∠ATF＝∠C，‎ 又∵∠TAF＋∠D＝∠AFE＋∠CFE，且∠D＝∠AFE，‎ ‎∴∠TAF＝∠CFE，‎ ‎∴△FCE∽△ATF，‎ ‎∴＝，‎ 设CF＝2，则CE＝4，可设AT＝x，则TF＝2x，AD＝CD＝2x＋2，‎ ‎∴DH＝DT＝，且，‎ 由cos∠AFE＝cos∠D，得，‎ 解得x＝6，（x=0舍去）‎ ‎∴cos∠AFE＝＝．‎ ‎【点睛】本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．‎ ‎24.抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．‎ ‎（1）求点B及点D的坐标．‎ ‎（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．‎ ‎①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．‎ ‎②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．‎ ‎【答案】（1）B的坐标为（3，0） D的坐标为（1，－4）‎ ‎（2）①点P的坐标为（，）②点M坐标为（）或（5，12）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解方程，求出x=3或﹣1，根据抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将抛物线写成顶点式，即可确定顶点D的坐标．‎ ‎（2）①根据抛物线，得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则，得出Q的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为，直线BD的解析式为，解方程组，即可求出点P的坐标．‎ ‎②分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时，分点N 在射线CD上和点N在射线DC上两种情况讨论；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时，由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在．‎ ‎【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），‎ ‎∴当y=0时，，解得x=3或x=﹣1．∴点B的坐标为（3，0）．‎ ‎∵，∴顶点D的坐标为（1，－4）．‎ ‎（2）①如图，‎ ‎∵抛物线与y轴交于点C，‎ ‎∴C点坐标为（0，－3）．‎ ‎∵对称轴为直线x=1，‎ ‎∴点E的坐标为（1，0）．‎ 连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），‎ ‎∴CH=DH=1．‎ ‎∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°．‎ ‎∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形．‎ 分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．‎ ‎∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，‎ ‎∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，‎ ‎∴∠CDB=∠QCO．∴△BCD∽△QOC．∴．‎ ‎∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）.‎ ‎∴直线CQ的解析式为．‎ 又直线BD的解析式为，‎ 由方程组解得：．‎ ‎∴点P的坐标为（，）．‎ ‎②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时，‎ 若点N在射线CD上，如图，‎ 延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．，‎ ‎∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，‎ ‎∴△MCN∽△DBE．∴．∴MN=2CN．‎ 设CN=a，则MN=2a．‎ ‎∵∠CDE=∠DCF=45°，‎ ‎∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形．‎ ‎∴NF=CN=a，CF=a．∴MF=MN+NF=3a．∴MG=FG=a．‎ ‎∴CG=FG﹣FC=a．‎ ‎∴M（a，）．‎ 代入抛物线，解得a=．，‎ ‎∴M（）．‎ 若点N在射线DC上，如图，‎ MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，‎ ‎∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，‎ ‎∴△MCN∽△DBE，∴．‎ ‎∴MN=2CN．．‎ 设CN=a，则MN=2a．‎ ‎∵∠CDE=45°，‎ ‎∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形．，‎ ‎∴NF=CN=a，CF=a．‎ ‎∴MF=MN﹣NF=a，∴MG=FG=a．∴CG=FG+FC=a．∴M（a，）．‎ 代入抛物线，解得a=．‎ ‎∴M（5，12）．‎ ‎（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时，‎ ‎∵∠CMN=∠BDE＜45°，∴∠MCN＞45°．‎ 而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，∴点M不存在．‎ 综上可知，点M坐标为（）或（5，12）．‎