2020-2021学年广东省广州市海珠外国语实验中学九年级（上）期中考试数学试卷 解析版

2020-2021学年广东省广州市海珠外国语实验中学九年级（上）期中考试数学试卷 解析版

2020-2021学年广东省广州市海珠外国语实验中学九年级（上）期中数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）A．11B．12C．11或12D．152．将二次函数y＝x2的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到函数（　　）的图象．A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x+1）2﹣23．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的对称轴和顶点坐标分别是（　　）A．x＝﹣1，（1，3）B．x＝﹣1，（﹣1，3）C．x＝1，（﹣1，3）D．x＝1，（1，3）4．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）A．﹣2或4B．4C．﹣2D．2或﹣45．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（8，y3）都在二次函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则下列结论正确的是（　　）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y26．关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）A．k≥﹣1B．k≥﹣1且k≠0C．k≤﹣1D．k≤1且k≠07．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A．B．C．D．8．如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（　　）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣，有下列结论：①abc＞0；②b+2c＞0；③a+5b+2c＜0．其中，正确结论的个数是（　　） A．3个B．2个C．1个D．0个10．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）A．﹣1B．2C．22D．30二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是　　．12．方程3x（2x+1）＝2x+1解为　　．13．若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝　　．14．有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝　　． 15．已知函数y＝，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范围是　　．16．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝　　mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝　　mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小．三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）解方程：（1）（x﹣2）2＝（2x+3）2（用合适的方法）（2）3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）18．（8分）如图，二次函数y＝x2+x+3的图象与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积．19．（9分）已知二次函数y＝x2+2x﹣1．（1）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该函数的图象．x…　　　　　　　　　　… y…　　　　　　　　　　…（2）结合图象，写出使y＞0的x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，请直接写出平移后所得图象对应的函数解析式．20．（8分）2020年疫情期间，长沙市教育局出台《长沙市中小学线上教学工作实施意见》，长沙市推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学，据统计，第一批公益课受益学生4万人次，第三批公益课受益学生4.84万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？21．（10分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．22．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．①若m＝n，求a的值；②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，求a的值． 2020-2021学年广东省广州市海珠外国语实验中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）A．11B．12C．11或12D．15【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系定理看看是否符合，再求出三角形的周长即可．【解答】解：x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0，x﹣3＝0，x1＝2，x2＝3，根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；故选：C．2．将二次函数y＝x2的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到函数（　　）的图象．A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x+1）2﹣2【分析】先确定抛物线y＝x2 的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后利用顶点式写出平移后所得抛物线的函数关系式．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后所得抛物线的函数关系式是y＝（x﹣1）2﹣2．故选：B．3．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的对称轴和顶点坐标分别是（　　）A．x＝﹣1，（1，3）B．x＝﹣1，（﹣1，3）C．x＝1，（﹣1，3）D．x＝1，（1，3）【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴和顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，∴该函数的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，3），故选：D．4．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）A．﹣2或4B．4C．﹣2D．2或﹣4【分析】设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，求出y，即可得出选项．【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，解得：y＝4或﹣2，当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，所以x2+2x＝4．故选：B．5．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（8，y3）都在二次函数y＝ax2（a ＜0）的图象上，则下列结论正确的是（　　）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【分析】判断出二次函数的对称轴为y轴，再根据二次函数的增减性解答．【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，开口向下，且关于y轴对称，∴当x＝8时和x＝﹣8时对应的y值是相等的，∴x＜0时，y随x的增大而增大，∵﹣8＜﹣2＜﹣1，∴y，3＜y1＜y2．故选：C．6．关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）A．k≥﹣1B．k≥﹣1且k≠0C．k≤﹣1D．k≤1且k≠0【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答．【解答】解：（1）当k＝0时，﹣6x+9＝0，解得x＝；（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，∴△＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．故选：A．7．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）A．B． C．D．【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【解答】解：由方程组得ax2＝﹣a，∵a≠0∴x2＝﹣1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选：C．8．如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（　　） A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．【解答】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A没错；B、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，把（25，1200），（50，2000）代入得，解得：，∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故B没错；C、在A点的速度为＝105m/min，在B点的速度为＝＝45m/min，故C错误；D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，将t＝20代入S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得S＝1200，故D没错．故选：C．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣，有下列结论：①abc＞0；②b+2c＞0；③a+5b+2c＜0．其中，正确结论的个数是（　　） A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据二次函数的图象的位置，确定a、b、c的符号，通过对称轴，与x轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可．【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，故abc＞0，因此①正确，对称轴为x＝﹣，即﹣＝﹣，即2a＝3b，也就是a＝b，由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即b﹣b+c＞0，因此有b+2c＞0，所以②正确，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，（1）当x＝1时，y＝a+b+c＜0，（2）（1）+（2）得，5a﹣b+2c＜0，又2a＝3b，则4a＝6b，∴5a﹣b+2c＝a+4a﹣b+2c＝a+5b+2c＜0，因此③正确，故选：A．10．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）A．﹣1B．2C．22D．30 【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝2，由一元二次方程解的定义得到α2﹣2α﹣4＝0，则α2＝2α+4，然后将其代入所求的代收式，并求值．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0，∴α2＝2α+4∴α3+8β+6＝α•α2+8β+6＝α•（2α+4）+8β+6＝2α2+4α+8β+6＝2（2α+4）+4α+8β+6＝8α+8β+14＝8（α+β）+14＝30，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是　a＞﹣1　．【分析】利用二次函数的性质得到1+a＞0，然后解关于a的不等式即可．【解答】解：∵抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，∴1+a＞0，∴a＞﹣1．故答案为a＞﹣1．12．方程3x（2x+1）＝2x+1解为　x1＝﹣，x2＝　．【分析】先变形得到3x（2x+1）﹣（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：3x（2x+1）﹣（2x+1）＝0， （2x+1）（3x﹣1）＝0，2x+1＝0或3x﹣1＝0，所以x1＝﹣，x2＝．故答案为x1＝﹣，x2＝．13．若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝　﹣1　．【分析】利用抛物线与x轴的交点问题，利用关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3得到二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），然后利用抛物线的对称性得到二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），从而得到方程x2﹣2x+k＝0另一个解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝﹣1．故答案为﹣1．14．有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝　4m或6m　． 【分析】设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，根据矩形的面积公式结合花圃的面积是72m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，根据题意得：x（30﹣3x）＝72，整理得：x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝4，x2＝6．答：AB的长4m或6m．故答案是：4m或6m．15．已知函数y＝，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范围是　k＝1或k＜﹣8　．【分析】求出抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1和抛物线y＝﹣（x﹣7）2+1交点坐标（4，﹣8），然后利用函数图象求出直线y＝k与函数图象有两个交点时k的范围即可．【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标为（1，1），y＝﹣（x﹣7）2+1的顶点坐标为（7，1），解方程﹣（x﹣1）2+1＝﹣（x﹣1）2+1得x＝4，则抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1和抛物线y＝﹣（x﹣7）2+1相交于点（4，﹣8），如图，直线y＝﹣8与函数图象有三个交点，当k＜﹣8时，直线y＝k与函数图象有2个交点，当k＝1时，直线y＝k与函数图象有2个交点， 所以使y＝k成立的x值恰好有2个时，k＝1或k＜﹣8．故答案为k＝1或k＜﹣8．16．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝　10.0　mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝　　mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小．【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，∵a＝3＞0，∴当x＝﹣＝10.0时，y有最小值，设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+（x12+x22+…+xn2），∵n＞0，∴当x＝﹣＝时，w有最小值．故答案为10.0，． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）解方程：（1）（x﹣2）2＝（2x+3）2（用合适的方法）（2）3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）【分析】（1）先开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）（x﹣2）2＝（2x+3）2，（x﹣2）＝±（2x+3），x﹣2＝﹣（2x+3）或x﹣2＝2x+3，解得x1＝﹣，x2＝﹣5；（2）3x2﹣4x+2＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24，x＝，x1＝，x2＝．18．（8分）如图，二次函数y＝x2+x+3的图象与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积． 【分析】（1）y＝x2+x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4或﹣1，即可求解；（2）△ABC的面积＝×AB×OC，即可求解．【解答】解：（1）y＝x2+x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，即y＝x2+x+3＝0，解得：x＝4或﹣1，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0）、（0，3）；（2）△ABC的面积＝×AB×OC＝（4+1）×3＝．19．（9分）已知二次函数y＝x2+2x﹣1．（1）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该函数的图象．x…　﹣3　　﹣2　　﹣1　　0　　1　…y…　2　　﹣1　　﹣2　　﹣1　　2　…（2）结合图象，写出使y＞0的x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，请直接写出平移后所得图象对应的函数解析式． 【分析】（1）首先确定顶点坐标，以顶点为中心，对称取值，列表、描点，连线画出函数图象即可；（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，利用函数图象即可解决问题；（3）根据平移后的顶点坐标，即可写出抛物线的解析式．【解答】解：（1）填表如下，x…﹣3﹣2﹣101…y…2﹣1﹣2﹣12…描点，连线画出函数图象如图所示，（2）对于抛物线y＝x2+2x﹣1，令y＝0，得到x2+2x﹣1＝0，解得x＝﹣1+或﹣1﹣， 由图象可知，使y＞0的x的取值范围是x＜﹣1﹣或x＞﹣1+．（3）抛物线y＝（x+1）2﹣2，沿x轴向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝（x﹣2）2．20．（8分）2020年疫情期间，长沙市教育局出台《长沙市中小学线上教学工作实施意见》，长沙市推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学，据统计，第一批公益课受益学生4万人次，第三批公益课受益学生4.84万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【分析】（1）设这个增长率为x，根据第一批及第三批公益课受益学生人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据第四批公益课受益学生人次数＝第三批公益课受益学生人次数×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设这个增长率为x，依题意，得：4（1+x）2＝4.84，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：这个增长率为10%．（2）4.84×（1+10%）＝5.324（万人次）．答：第四批公益课受益学生将达到5.324万人次．21．（10分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2＝1﹣2k、x1•x2＝k2﹣1，将其代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2中，解之即可得出k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0，解得：k≤，∴实数k的取值范围为k≤．（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2＝1﹣2k，x1•x2＝k2﹣1．∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2，∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0，解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）．∴实数k的值为﹣2．22．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c可求出a、b、c的值，即可确定二次函数关系式；（2）由对称可知，直线BC与直线x＝1的交点就是要求的点M，求出直线BC的关系式即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得， ，解得，，∴抛物线的关系式为y＝＝x2﹣2x﹣3；（2）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝﹣＝1，∵点M在对称轴x＝1上，且△ACM的周长最短，∴MC+MA最小，∵点A、点B关于直线x＝1对称，∴连接BC交直线x＝1于点M，此时MC+MA最小，设直BC的关系式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得，，∴直线BC的关系式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，∴点M（1，﹣2），∴在抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ACM的周长最短，此时M（1，﹣2）．23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式； （2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，即可求解；（2）过点B作直线AC的平行线n交y轴于点N，过点P作AC的平行线交y轴于点M，△ACP的面积等于△ACB的面积的一半，则CM＝CN，即可求解；（3）①当MC∥AQ且MC＝AQ时，M与C关于对称轴x＝﹣1对称，AQ＝MC＝2，即可求解；②当AC∥MQ且AC＝MQ时，点M到x轴的距离为3，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则﹣m2﹣2m+3＝﹣3，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；（2）过点B作直线AC的平行线n交y轴于点N，过点P作AC的平行线交y轴于点m， ∵△ACP的面积等于△ACB的面积的一半，∴CM＝CN，由点A、C的坐标得，，解得，直线AC的表达式为：y＝x+3，设直线n的解析式为y＝x+q，将B（1，0）代入，得：1+q＝0，即q＝﹣1，则直线n的表达式为：y＝x﹣1，故点N（0，﹣1），即ON＝1，则CN＝4，CM＝CN＝2，则OM＝CO+CM＝2+3＝5，故点M（0，5），则直线m的表达式为：y＝x+5…②，联立①②并解得：x＝﹣1或﹣2， 故点P（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）①当MC∥AQ且MC＝AQ时，M与C关于对称轴x＝﹣1对称，∴AQ＝MC＝2，∴Q1（﹣1，0），Q2（﹣5，0），②当AC∥MQ且AC＝MQ时，因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上，所以点M到x轴的距离为3．设M（m，﹣m2﹣2m+3），∴﹣m2﹣2m+3＝﹣3，∴m2+2m﹣6＝0，∴，∴，；综上：存在点Q有四个，分别为：Q1（﹣1，0），Q2（﹣5，0），，．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．①若m＝n，求a的值；②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，求a的值． 【分析】（1）直接将AB两点代入解析式可求c，以及a，b之间的关系式．（2）根据抛物线的性质可知，当a＞0时，抛物线对称轴右边的y随x增大而增大，结合抛物线对称轴x＝﹣和A、B两点位置列出不等式即可求解；（3）①根据抛物线的对称性得出＝﹣，解得a＝；②根据M、N的坐标，易证得两点都在直线y＝﹣2x﹣3上，即M、N是直线y＝﹣2x﹣3与抛物线y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4的交点，然后根据根与系数的关系得出p+（﹣2﹣p）＝﹣，解得a＝1．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，﹣4）和B（2，0）．∴，∴c＝﹣4，2a+b＝2．（2）由（1）可得：y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4，对称轴为x＝﹣＝，∵抛物线在A、B两点间从左到右上升，即y随x的增大而增大；①当a＞0时，开口向上，对称轴在A点左侧或经过A点，即：≤0，解得：a≤1∴0＜a≤1②当a＜0时，开口向下，对称轴在B点右侧或经过B点，即≥2，解得：a≥﹣1； ∴﹣1≤a＜0，综上，若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a≤1；（3）①若m＝n，则点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于直线x＝﹣对称，∴＝﹣，∴a＝；②∵m＝﹣2p﹣3，∴M（p，m）在直线y＝﹣2x﹣3上，∵n＝2p+1＝﹣2（﹣2﹣p+2）+1＝﹣2（﹣p﹣2）﹣3，∴N（﹣2﹣p，n）在直线y＝﹣2x﹣3上，即M、N是直线y＝﹣2x﹣3与抛物线y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4的交点，∴p和﹣2﹣p是方程ax2+（2﹣2a）x﹣4＝﹣2x﹣3的两个根，整理得ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，∴p+（﹣2﹣p）＝﹣，∴a＝1．