2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 (北京卷)

2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 (北京卷)

绝密★启用前 ‎2016年普通高等学校招生全国考试 数学（文）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）复数 ‎ ‎（A）i（B）1+i（C） （D）‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 ‎（A）8‎ ‎（B）9‎ ‎（C）27‎ ‎（D）36 ‎ ‎（4）下列函数中，在区间 上为减函数的是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 ‎（A）1 （B）2 （C） （D）2‎ ‎（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为 ‎（A）−1 （B）3 （C）7 （D）8 ‎ ‎（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 立定跳远（单位：米）‎ ‎1.96‎ ‎1.92‎ ‎1.82‎ ‎1.80‎ ‎1.78‎ ‎1.76‎ ‎1.74‎ ‎1.72‎ ‎1.68‎ ‎1.60‎ ‎30秒跳绳（单位：次）‎ ‎63‎ a ‎75‎ ‎60‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎70‎ a−1‎ b ‎65‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 ‎（A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛 ‎ ‎（C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9）已知向量 ，则a与b夹角的大小为_________.‎ ‎（10）函数的最大值为_________.‎ ‎（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.‎ ‎(12) 已知双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ,0），则a=_______；b=_____________.‎ ‎(13)在△ABC中， ，a=c，则=_________.‎ ‎(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ‎①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；‎ ‎②这三天售出的商品最少有_______种.‎ 三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn= an+ bn，求数列{cn}的前n项和.‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.‎ ‎（Ⅰ）求ω的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.‎ ‎（17）（本小题13分）‎ 某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？‎ ‎（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求证：；‎ ‎(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得?说明理由.‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.‎ ‎（I）求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.‎ ‎（20）（本小题13分）‎ 设函数 ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷)参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10）2 （11） （12）1 2 ‎ ‎（13）1 （14）16 29‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（I）等比数列的公比，‎ 所以，．‎ 设等差数列的公差为．‎ 因为，，‎ 所以，即．‎ 所以（，，，）．‎ ‎（II）由（I）知，，．‎ 因此．‎ 从而数列的前项和 ‎．‎ ‎（16）（共13分）‎ 解：（I）因为 ‎，‎ 所以的最小正周期．‎ 依题意，，解得．‎ ‎（II）由（I）知．‎ 函数的单调递增区间为（）．‎ 由，‎ 得．‎ 所以的单调递增区间为（）．‎ ‎（17）（共14分）‎ 解：（I）由用水量的频率分布直方图知，‎ 该市居民该月用水量在区间，，，，内的频 率依次为，，，，．‎ 所以该月用水量不超过立方米的居民占%，用水量不超过立方米的居民占%．‎ 依题意，至少定为．‎ ‎（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：‎ 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 分组 频率 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：‎ ‎（元）．‎ ‎（18）（共13分）‎ 解：（I）因为平面，‎ 所以．‎ 又因为，‎ 所以平面．‎ ‎（II）因为，，‎ 所以．‎ 因为平面，‎ 所以．‎ 所以平面．‎ 所以平面平面．‎ ‎（III）棱上存在点，使得平面．证明如下：‎ 取中点，连结，，．‎ 又因为为的中点，‎ 所以．‎ 又因为平面，‎ 所以平面．‎ ‎ ‎ ‎（19）（共14分）‎ 解：（I）由题意得，，．‎ 所以椭圆的方程为．‎ 又，‎ 所以离心率．‎ ‎（II）设（，），则．‎ 又，，所以，‎ 直线的方程为．‎ 令，得，从而．‎ 直线的方程为．‎ 令，得，从而．‎ 所以四边形的面积 ‎．‎ 从而四边形的面积为定值．‎ ‎（20）（共13分）‎ 解：（I）由，得．‎ 因为，，‎ 所以曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（II）当时，，‎ 所以．‎ 令，得，解得或．‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，当且时，存在，，‎ ‎，使得．‎ 由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．‎ ‎（III）当时，，，‎ 此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．‎ 当时，只有一个零点，记作．‎ 当时，，在区间上单调递增；‎ 当时，，在区间上单调递增．‎ 所以不可能有三个不同零点．‎ 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．‎ 故是有三个不同零点的必要条件．‎ 当，时，，只有两个不同 点， 所以不是有三个不同零点的充分条件．‎ 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．‎