2013年四川省高考数学试卷(文科)

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文档介绍

2013年四川省高考数学试卷(文科)

‎2013年四川省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设集合A={1,2,3},集合B={﹣2,2},则A∩B=(  )‎ A.∅ B.{2} C.{﹣2,2} D.{﹣2,1,2,3}‎ ‎2.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是(  )‎ A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台 ‎3.(5分)如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是(  )‎ A.A B.B C.C D.D ‎4.(5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则(  )‎ A.¬p:∃x∈A,2x∈B B.¬p:∃x∉A,2x∈B C.¬p:∃x∈A,2x∉B D.¬p:∀x∉A,2x∉B ‎5.(5分)抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是(  )‎ A. B.2 C. D.1‎ ‎6.(5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<‎ ‎)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(5分)若变量x,y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a,最小值为b,则a﹣b的值是(  )‎ A.48 B.30 C.24 D.16‎ ‎9.(5分)从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是(  )‎ A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1]‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.(5分)lg+lg的值是  .‎ ‎12.(5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=  .‎ ‎13.(5分)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=  .‎ ‎14.(5分)设sin2α=﹣sinα,α∈(,π),则tan2α的值是  .‎ ‎15.(5分)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,﹣1)的距离之和最小的点的坐标是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)在等比数列{an}中,a2﹣a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A﹣B)cosB﹣sin(A﹣B)sin(A+C)=﹣.‎ ‎(Ⅰ)求sinA的值;‎ ‎(Ⅱ)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.‎ ‎18.(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.‎ ‎(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3);‎ ‎(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.‎ 甲的频数统计表(部分) ‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2100‎ ‎1027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2100‎ ‎1051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.‎ ‎19.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.‎ ‎(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;‎ ‎(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1﹣QC1D的体积.(锥体体积公式:,其中S为底面面积,h为高)‎ ‎20.(13分)已知圆C的方程为x2+(y﹣4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.‎ ‎(Ⅰ)求k的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且.请将n表示为m的函数.‎ ‎21.(14分)已知函数,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2.‎ ‎(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,证明:x2﹣x1≥1;‎ ‎(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2013年四川省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2013•四川)设集合A={1,2,3},集合B={﹣2,2},则A∩B=(  )‎ A.∅ B.{2} C.{﹣2,2} D.{﹣2,1,2,3}‎ ‎【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集.‎ ‎【解答】解:∵集合A={1,2,3},集合B={﹣2,2},‎ ‎∴A∩B={2}.‎ 故选B ‎ ‎ ‎2.(5分)(2013•四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是(  )‎ A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台 ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.‎ ‎【解答】解:由三视图知,从正面和侧面看都是梯形,‎ 从上面看为圆形,下面看是圆形,并且可以想象到该几何体是圆台,‎ 则该几何体可以是圆台.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2013•四川)如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是(  )‎ A.A B.B C.C D.D ‎【分析】直接利用共轭复数的定义,找出点A表示复数z的共轭复数的点即可.‎ ‎【解答】解:两个复数是共轭复数,两个复数的实部相同,虚部相反,对应的点关于x轴对称.‎ 所以点A表示复数z的共轭复数的点是B.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2013•四川)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则(  )‎ A.¬p:∃x∈A,2x∈B B.¬p:∃x∉A,2x∈B C.¬p:∃x∈A,2x∉B D.¬p:∀x∉A,2x∉B ‎【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题.‎ ‎【解答】解:∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,‎ ‎∴命题p:∀x∈A,2x∈B 的否定是:‎ ‎¬p:∃x∈A,2x∉B.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2013•四川)抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是(  )‎ A. B.2 C. D.1‎ ‎【分析】由抛物线y2=8x得焦点F(2,0),再利用点到直线的距离公式可得点F(2,0)到直线的距离.‎ ‎【解答】解:由抛物线y2=8x得焦点F(2,0),‎ ‎∴点F(2,0)到直线的距离d==1.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2013•四川)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值,求出函数的周期T==π,解得ω=2.由函数当x=时取得最大值2,得到+φ=+kπ(k∈Z),取k=0得到φ=﹣.由此即可得到本题的答案.‎ ‎【解答】解:∵在同一周期内,函数在x=时取得最大值,x=时取得最小值,‎ ‎∴函数的周期T满足=﹣=,‎ 由此可得T==π,解得ω=2,‎ 得函数表达式为f(x)=2sin(2x+φ)‎ 又∵当x=时取得最大值2,‎ ‎∴2sin(2•+φ)=2,可得+φ=+2kπ(k∈Z)‎ ‎∵,∴取k=0,得φ=﹣‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2013•四川)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据题意,由频率与频数的关系,计算可得各组的频率,进而可以做出频率分布表,结合分布表,进而可以做出频率分布直方图.‎ ‎【解答】解:根据题意,频率分布表可得:‎ 分组 频数 频率 ‎[0,5)‎ ‎1‎ ‎0.05‎ ‎[5,10)‎ ‎1‎ ‎0.05‎ ‎[10,15)‎ ‎4‎ ‎0.20‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎[30,35)‎ ‎3‎ ‎0.15‎ ‎[35,40)‎ ‎2‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ 进而可以作频率直方图可得:‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2013•四川)若变量x,y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a,最小值为b,则a﹣b的值是(  )‎ A.48 B.30 C.24 D.16‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域,设z=5y﹣x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距最大,只需求出直线,过可行域内的点B(8,0)时的最小值,过点A(4,4)时,5y﹣x最大,从而得到a﹣b的值.‎ ‎【解答】解:满足约束条件的可行域如图所示 在坐标系中画出可行域,‎ 平移直线5y﹣x=0,经过点B(8,0)时,5y﹣x最小,最小值为:﹣8,‎ 则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8.‎ 经过点A(4,4)时,5y﹣x最大,最大值为:16,‎ 则目标函数z=5y﹣x的最大值为16.‎ z=5y﹣x的最大值为a,最小值为b,则a﹣b的值是:24.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2013•四川)从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】依题意,可求得点P的坐标P(﹣c,),由AB∥OP⇒kAB=kOP⇒b=c,从而可得答案.‎ ‎【解答】解:依题意,设P(﹣c,y0)(y0>0),‎ 则+=1,‎ ‎∴y0=,‎ ‎∴P(﹣c,),‎ 又A(a,0),B(0,b),AB∥OP,‎ ‎∴kAB=kOP,即==,‎ ‎∴b=c.‎ 设该椭圆的离心率为e,则e2====,‎ ‎∴椭圆的离心率e=.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2013•四川)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是(  )‎ A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1]‎ ‎【分析】根据题意,问题转化为“存在b∈[0,1],使f(b)=f﹣1(b)”,即y=f(x)的图象与函数y=f﹣1(x)的图象有交点,且交点的横坐标b∈[0,1].由y=f(x)的图象与y=f﹣1(x)的图象关于直线y=x对称,得到函数y=f(x)的图象与y=x有交点,且交点横坐标b∈[0,1].因此,将方程化简整理得ex=x2﹣x+a,记F(x)=ex,G(x)=x2﹣x+a,由零点存在性定理建立关于a的不等式组,解之即可得到实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:由f(f(b))=b,可得f(b)=f﹣1(b)‎ 其中f﹣1(x)是函数f(x)的反函数 因此命题“存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立”,转化为 ‎“存在b∈[0,1],使f(b)=f﹣1(b)”,‎ 即y=f(x)的图象与函数y=f﹣1(x)的图象有交点,‎ 且交点的横坐标b∈[0,1],‎ ‎∵y=f(x)的图象与y=f﹣1(x)的图象关于直线y=x对称,‎ ‎∴y=f(x)的图象与函数y=f﹣1(x)的图象的交点必定在直线y=x上,‎ 由此可得,y=f(x)的图象与直线y=x有交点,且交点横坐标b∈[0,1],‎ 根据,化简整理得ex=x2﹣x+a 记F(x)=ex,G(x)=x2﹣x+a,在同一坐标系内作出它们的图象,‎ 可得,即,解之得1≤a≤e 即实数a的取值范围为[1,e]‎ 故选:A ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.(5分)(2013•四川)lg+lg的值是 1 .‎ ‎【分析】直接利用对数的运算性质求解即可.‎ ‎【解答】解:==1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2013•四川)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=  .‎ ‎【分析】依题意,+=,而=2,从而可得答案.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,‎ ‎∴+=,‎ 又O为AC的中点,‎ ‎∴=2,‎ ‎∴+=2,‎ ‎∵+=λ,‎ ‎∴λ=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2013•四川)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= 36 .‎ ‎【分析】由题设函数在x=3时取得最小值,可得 f′(3)=0,解此方程即可得出a的值.‎ ‎【解答】解:由题设函数在x=3时取得最小值,‎ ‎∵x∈(0,+∞),‎ ‎∴得x=3必定是函数的极值点,‎ ‎∴f′(3)=0,‎ f′(x)=4﹣,‎ 即4﹣=0,‎ 解得a=36.‎ 故答案为:36.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2013•四川)设sin2α=﹣sinα,α∈(,π),则tan2α的值是  .‎ ‎【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简,根据sinα不为0求出cosα的值,由α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值,进而求出tanα的值,所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后,将tanα的值代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα,α∈(,π),‎ ‎∴cosα=﹣,sinα==,‎ ‎∴tanα=﹣,‎ 则tan2α===.‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2013•四川)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,﹣1)的距离之和最小的点的坐标是 (2,4) .‎ ‎【分析】如图,设平面直角坐标系中任一点P,利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD,从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程,联立方程组求交点坐标即可.‎ ‎【解答】解:如图,设平面直角坐标系中任一点P,‎ P到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,﹣1)的距离之和为:PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD,‎ 故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.‎ ‎∵A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,﹣1),‎ ‎∴AC,BD的方程分别为:,,‎ 即2x﹣y=0,x+y﹣6=0.‎ 解方程组得Q(2,4).‎ 故答案为:(2,4).‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)(2013•四川)在等比数列{an}中,a2﹣a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.‎ ‎【分析】等比数列的公比为q,由已知可得,a1q﹣a1=2,4‎ ‎,解方程可求q,a1,然后代入等比数列的求和公式可求 ‎【解答】解:设等比数列的公比为q,‎ 由已知可得,a1q﹣a1=2,4‎ 联立可得,a1(q﹣1)=2,q2﹣4q+3=0‎ ‎∴或q=1(舍去)‎ ‎∴=‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2013•四川)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A﹣B)cosB﹣sin(A﹣B)sin(A+C)=﹣.‎ ‎(Ⅰ)求sinA的值;‎ ‎(Ⅱ)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出A的余弦值,然后求sinA的值;‎ ‎(Ⅱ)利用,b=5,结合正弦定理,求出B的正弦函数,求出B的值,利用余弦定理求出c的大小,然后求解向量在方向上的投影.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由,‎ 可得,‎ 即,‎ 即,‎ 因为0<A<π,‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)由正弦定理,,所以=,‎ 由题意可知a>b,即A>B,所以B=,‎ 由余弦定理可知.‎ 解得c=1,c=﹣7(舍去).‎ 向量在方向上的投影:=ccosB=.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2013•四川)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.‎ ‎(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3);‎ ‎(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.‎ 甲的频数统计表(部分) ‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2100‎ ‎1027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2100‎ ‎1051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.‎ ‎【分析】(I)由题意可知,当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,从而得出输出y的值为1的概率为;输出y的值为2的概率为;输出y的值为3的概率为;‎ ‎(II)当n=2100时,列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率的表格,再比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大.‎ ‎【解答】解:(I)当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=;‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=;‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=;‎ ‎∴输出y的值为1的概率为;输出y的值为2的概率为;输出y的值为3的概率为;‎ ‎(II)当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:‎ ‎ 输出y的值为1的频率 ‎ 输出y的值为2的频率 ‎ 输出y的值为3的频率 ‎ 甲 ‎ 乙 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2013•四川)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.‎ ‎(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;‎ ‎(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1﹣QC1D的体积.(锥体体积公式:,其中S为底面面积,h为高)‎ ‎【分析】(Ⅰ)在平面ABC内,过点P作直线l和BC平行,根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A1BC平行.‎ 等腰三角形ABC中,根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC,故l⊥AD.再由AA1⊥底面ABC,可得 AA1⊥l.再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1 . ‎ ‎(Ⅱ)过点D作DE⊥AC,证明DE⊥平面AA1C1C.直角三角形ACD中,求出AD的值,可得 DE 的值,从而求得 =的值,再根据三棱锥A1﹣QC1D的体积 ==••DE,运算求得结果.‎ ‎【解答】‎ 解:(Ⅰ)在平面ABC内,过点P作直线l和BC平行,由于直线l不在平面A1BC内,而BC在平面A1BC内,‎ 故直线l与平面A1BC平行.‎ 三角形ABC中,∵AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,∴AD⊥BC,∴l⊥AD.‎ 再由AA1⊥底面ABC,可得 AA1⊥l.‎ 而AA1∩AD=A,‎ ‎∴直线l⊥平面ADD1A1 . ‎ ‎(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,过点D作DE⊥AC,‎ ‎∵侧棱AA1⊥底面ABC,故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱,‎ 故DE⊥平面AA1C1C.‎ 直角三角形ACD中,∵AC=2,∠CAD=60°,∴AD=AC•cos60°=1,∴DE=AD•sin60°=.‎ ‎∵===1,‎ ‎∴三棱锥A1﹣QC1D的体积 ==••DE=×1×=.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2013•四川)已知圆C的方程为x2+(y﹣4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.‎ ‎(Ⅰ)求k的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且.请将n表示为m的函数.‎ ‎【分析】(Ⅰ)将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,根据两函数图象有两个交点,得到根的判别式的值大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)由M、N在直线l上,设点M、N坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2,以及|OQ|2,代入已知等式中变形,再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2‎ ‎,用k表示出m,由Q在直线y=kx上,将Q坐标代入直线y=kx中表示出k,代入得出的关系式中,用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式,并求出m的范围即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)将y=kx代入x2+(y﹣4)2=4中,得:(1+k2)x2﹣8kx+12=0(*),‎ 根据题意得:△=(﹣8k)2﹣4(1+k2)×12>0,即k2>3,‎ 则k的取值范围为(﹣∞,﹣)∪(,+∞);‎ ‎(Ⅱ)由M、N、Q在直线l上,可设M、N坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),‎ ‎∴|OM|2=(1+k2)x12,|ON|2=(1+k2)x22,|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2,‎ 代入=+得:=+,‎ 即=+=,‎ 由(*)得到x1+x2=,x1x2=,‎ 代入得:=,即m2=,‎ ‎∵点Q在直线y=kx上,∴n=km,即k=,代入m2=,化简得5n2﹣3m2=36,‎ 由m2=及k2>3,得到0<m2<3,即m∈(﹣,0)∪(0,),‎ 根据题意得点Q在圆内,即n>0,‎ ‎∴n==,‎ 则n与m的函数关系式为n=(m∈(﹣,0)∪(0,)).‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2013•四川)已知函数,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2.‎ ‎(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,证明:x2﹣x1≥1;‎ ‎(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(I)根据分段函数中两段解析式,结合二次函数及对数函数的性质,即可得出函数f(x)的单调区间;‎ ‎(II)由导数的几何意义知,点A处的切线的斜率为f′(x1),点B处的切线的斜率为f′(x2),再利用f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,斜率之积等于﹣1,得出(2x1+2)(2x2+2)=﹣1,最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1;‎ ‎(III)先根据导数的几何意义写出函数f(x)在点A、B处的切线方程,再利用两直线重合的充要条件列出关系式,从而得出a=lnx2+()2﹣1,最后利用导数研究它的单调性和最值,即可得出a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(I)函数f(x)的单调减区间(﹣∞,﹣1),函数f(x)的单调增区间[﹣1,0),(0,+∞);‎ ‎(II)由导数的几何意义知,点A处的切线的斜率为f′(x1),点B处的切线的斜率为f′(x2),‎ 函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,有f′(x1)f′(x2)=﹣1,‎ 当x<0时,(2x1+2)(2x2+2)=﹣1,∵x1<x2<0,∴2x1+2<0,2x2+2>0,‎ ‎∴x2﹣x1=[﹣(2x1+2)+(2x2+2)]≥=1,‎ ‎∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,有x2﹣x1≥1;‎ ‎(III)当x1<x2<0,或0<x1<x2时,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2,‎ 当x1<0时,函数f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线方程为y﹣(x+2x1+a)=(2x1+2)(x﹣x1);‎ 当x2>0时,函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y﹣lnx2=(x﹣x2);‎ 两直线重合的充要条件是,‎ 由①及x1<0<x2得0<<2,由①②得a=lnx2+()2﹣1=﹣ln+()2﹣1,‎ 令t=,则0<t<2,且a=t2﹣t﹣lnt,设h(t)=t2﹣t﹣lnt,(0<t<2)‎ 则h′(t)=t﹣1﹣=,∴h(t)在(0,2)为减函数,‎ 则h(t)>h(2)=﹣ln2﹣1,∴a>﹣ln2﹣1,‎ ‎∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围(﹣ln2﹣1,+∞).‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;minqi5;qiss;沂蒙松;ywg2058;wfy814;吕静;caoqz(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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