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文档介绍
2013年四川省高考数学试卷(文科)
2013年四川省高考数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5分)设集合A={1,2,3},集合B={﹣2,2},则A∩B=( ) A.∅ B.{2} C.{﹣2,2} D.{﹣2,1,2,3} 2.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( ) A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台 3.(5分)如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是( ) A.A B.B C.C D.D 4.(5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则( ) A.¬p:∃x∈A,2x∈B B.¬p:∃x∉A,2x∈B C.¬p:∃x∈A,2x∉B D.¬p:∀x∉A,2x∉B 5.(5分)抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是( ) A. B.2 C. D.1 6.(5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ< )的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( ) A. B. C. D. 7.(5分)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( ) A. B. C. D. 8.(5分)若变量x,y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a,最小值为b,则a﹣b的值是( ) A.48 B.30 C.24 D.16 9.(5分)从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 10.(5分)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是( ) A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1] 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(5分)lg+lg的值是 . 12.(5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ= . 13.(5分)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= . 14.(5分)设sin2α=﹣sinα,α∈(,π),则tan2α的值是 . 15.(5分)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,﹣1)的距离之和最小的点的坐标是 . 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(12分)在等比数列{an}中,a2﹣a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和. 17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A﹣B)cosB﹣sin(A﹣B)sin(A+C)=﹣. (Ⅰ)求sinA的值; (Ⅱ)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影. 18.(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生. (Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3); (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2100 1027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2100 1051 696 353 当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大. 19.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点. (Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1﹣QC1D的体积.(锥体体积公式:,其中S为底面面积,h为高) 20.(13分)已知圆C的方程为x2+(y﹣4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点. (Ⅰ)求k的取值范围; (Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且.请将n表示为m的函数. 21.(14分)已知函数,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2. (Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,证明:x2﹣x1≥1; (Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围. 2013年四川省高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5分)(2013•四川)设集合A={1,2,3},集合B={﹣2,2},则A∩B=( ) A.∅ B.{2} C.{﹣2,2} D.{﹣2,1,2,3} 【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集. 【解答】解:∵集合A={1,2,3},集合B={﹣2,2}, ∴A∩B={2}. 故选B 2.(5分)(2013•四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( ) A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形. 【解答】解:由三视图知,从正面和侧面看都是梯形, 从上面看为圆形,下面看是圆形,并且可以想象到该几何体是圆台, 则该几何体可以是圆台. 故选D. 3.(5分)(2013•四川)如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是( ) A.A B.B C.C D.D 【分析】直接利用共轭复数的定义,找出点A表示复数z的共轭复数的点即可. 【解答】解:两个复数是共轭复数,两个复数的实部相同,虚部相反,对应的点关于x轴对称. 所以点A表示复数z的共轭复数的点是B. 故选B. 4.(5分)(2013•四川)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则( ) A.¬p:∃x∈A,2x∈B B.¬p:∃x∉A,2x∈B C.¬p:∃x∈A,2x∉B D.¬p:∀x∉A,2x∉B 【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题. 【解答】解:∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”, ∴命题p:∀x∈A,2x∈B 的否定是: ¬p:∃x∈A,2x∉B. 故选C. 5.(5分)(2013•四川)抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是( ) A. B.2 C. D.1 【分析】由抛物线y2=8x得焦点F(2,0),再利用点到直线的距离公式可得点F(2,0)到直线的距离. 【解答】解:由抛物线y2=8x得焦点F(2,0), ∴点F(2,0)到直线的距离d==1. 故选D. 6.(5分)(2013•四川)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( ) A. B. C. D. 【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值,求出函数的周期T==π,解得ω=2.由函数当x=时取得最大值2,得到+φ=+kπ(k∈Z),取k=0得到φ=﹣.由此即可得到本题的答案. 【解答】解:∵在同一周期内,函数在x=时取得最大值,x=时取得最小值, ∴函数的周期T满足=﹣=, 由此可得T==π,解得ω=2, 得函数表达式为f(x)=2sin(2x+φ) 又∵当x=时取得最大值2, ∴2sin(2•+φ)=2,可得+φ=+2kπ(k∈Z) ∵,∴取k=0,得φ=﹣ 故选:A. 7.(5分)(2013•四川)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( ) A. B. C. D. 【分析】根据题意,由频率与频数的关系,计算可得各组的频率,进而可以做出频率分布表,结合分布表,进而可以做出频率分布直方图. 【解答】解:根据题意,频率分布表可得: 分组 频数 频率 [0,5) 1 0.05 [5,10) 1 0.05 [10,15) 4 0.20 … … … [30,35) 3 0.15 [35,40) 2 0.10 合计 100 1.00 进而可以作频率直方图可得: 故选:A. 8.(5分)(2013•四川)若变量x,y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a,最小值为b,则a﹣b的值是( ) A.48 B.30 C.24 D.16 【分析】先根据条件画出可行域,设z=5y﹣x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距最大,只需求出直线,过可行域内的点B(8,0)时的最小值,过点A(4,4)时,5y﹣x最大,从而得到a﹣b的值. 【解答】解:满足约束条件的可行域如图所示 在坐标系中画出可行域, 平移直线5y﹣x=0,经过点B(8,0)时,5y﹣x最小,最小值为:﹣8, 则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8. 经过点A(4,4)时,5y﹣x最大,最大值为:16, 则目标函数z=5y﹣x的最大值为16. z=5y﹣x的最大值为a,最小值为b,则a﹣b的值是:24. 故选C. 9.(5分)(2013•四川)从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 【分析】依题意,可求得点P的坐标P(﹣c,),由AB∥OP⇒kAB=kOP⇒b=c,从而可得答案. 【解答】解:依题意,设P(﹣c,y0)(y0>0), 则+=1, ∴y0=, ∴P(﹣c,), 又A(a,0),B(0,b),AB∥OP, ∴kAB=kOP,即==, ∴b=c. 设该椭圆的离心率为e,则e2====, ∴椭圆的离心率e=. 故选C. 10.(5分)(2013•四川)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是( ) A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1] 【分析】根据题意,问题转化为“存在b∈[0,1],使f(b)=f﹣1(b)”,即y=f(x)的图象与函数y=f﹣1(x)的图象有交点,且交点的横坐标b∈[0,1].由y=f(x)的图象与y=f﹣1(x)的图象关于直线y=x对称,得到函数y=f(x)的图象与y=x有交点,且交点横坐标b∈[0,1].因此,将方程化简整理得ex=x2﹣x+a,记F(x)=ex,G(x)=x2﹣x+a,由零点存在性定理建立关于a的不等式组,解之即可得到实数a的取值范围. 【解答】解:由f(f(b))=b,可得f(b)=f﹣1(b) 其中f﹣1(x)是函数f(x)的反函数 因此命题“存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立”,转化为 “存在b∈[0,1],使f(b)=f﹣1(b)”, 即y=f(x)的图象与函数y=f﹣1(x)的图象有交点, 且交点的横坐标b∈[0,1], ∵y=f(x)的图象与y=f﹣1(x)的图象关于直线y=x对称, ∴y=f(x)的图象与函数y=f﹣1(x)的图象的交点必定在直线y=x上, 由此可得,y=f(x)的图象与直线y=x有交点,且交点横坐标b∈[0,1], 根据,化简整理得ex=x2﹣x+a 记F(x)=ex,G(x)=x2﹣x+a,在同一坐标系内作出它们的图象, 可得,即,解之得1≤a≤e 即实数a的取值范围为[1,e] 故选:A 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(5分)(2013•四川)lg+lg的值是 1 . 【分析】直接利用对数的运算性质求解即可. 【解答】解:==1. 故答案为:1. 12.(5分)(2013•四川)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ= . 【分析】依题意,+=,而=2,从而可得答案. 【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O, ∴+=, 又O为AC的中点, ∴=2, ∴+=2, ∵+=λ, ∴λ=2. 故答案为:2. 13.(5分)(2013•四川)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= 36 . 【分析】由题设函数在x=3时取得最小值,可得 f′(3)=0,解此方程即可得出a的值. 【解答】解:由题设函数在x=3时取得最小值, ∵x∈(0,+∞), ∴得x=3必定是函数的极值点, ∴f′(3)=0, f′(x)=4﹣, 即4﹣=0, 解得a=36. 故答案为:36. 14.(5分)(2013•四川)设sin2α=﹣sinα,α∈(,π),则tan2α的值是 . 【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简,根据sinα不为0求出cosα的值,由α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值,进而求出tanα的值,所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后,将tanα的值代入计算即可求出值. 【解答】解:∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα,α∈(,π), ∴cosα=﹣,sinα==, ∴tanα=﹣, 则tan2α===. 故答案为: 15.(5分)(2013•四川)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,﹣1)的距离之和最小的点的坐标是 (2,4) . 【分析】如图,设平面直角坐标系中任一点P,利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD,从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程,联立方程组求交点坐标即可. 【解答】解:如图,设平面直角坐标系中任一点P, P到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,﹣1)的距离之和为:PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD, 故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点. ∵A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,﹣1), ∴AC,BD的方程分别为:,, 即2x﹣y=0,x+y﹣6=0. 解方程组得Q(2,4). 故答案为:(2,4). 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(12分)(2013•四川)在等比数列{an}中,a2﹣a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和. 【分析】等比数列的公比为q,由已知可得,a1q﹣a1=2,4 ,解方程可求q,a1,然后代入等比数列的求和公式可求 【解答】解:设等比数列的公比为q, 由已知可得,a1q﹣a1=2,4 联立可得,a1(q﹣1)=2,q2﹣4q+3=0 ∴或q=1(舍去) ∴= 17.(12分)(2013•四川)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A﹣B)cosB﹣sin(A﹣B)sin(A+C)=﹣. (Ⅰ)求sinA的值; (Ⅱ)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影. 【分析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出A的余弦值,然后求sinA的值; (Ⅱ)利用,b=5,结合正弦定理,求出B的正弦函数,求出B的值,利用余弦定理求出c的大小,然后求解向量在方向上的投影. 【解答】解:(Ⅰ)由, 可得, 即, 即, 因为0<A<π, 所以. (Ⅱ)由正弦定理,,所以=, 由题意可知a>b,即A>B,所以B=, 由余弦定理可知. 解得c=1,c=﹣7(舍去). 向量在方向上的投影:=ccosB=. 18.(12分)(2013•四川)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生. (Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3); (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2100 1027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2100 1051 696 353 当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大. 【分析】(I)由题意可知,当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,从而得出输出y的值为1的概率为;输出y的值为2的概率为;输出y的值为3的概率为; (II)当n=2100时,列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率的表格,再比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大. 【解答】解:(I)当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=; 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=; 当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=; ∴输出y的值为1的概率为;输出y的值为2的概率为;输出y的值为3的概率为; (II)当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下: 输出y的值为1的频率 输出y的值为2的频率 输出y的值为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大. 19.(12分)(2013•四川)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点. (Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1﹣QC1D的体积.(锥体体积公式:,其中S为底面面积,h为高) 【分析】(Ⅰ)在平面ABC内,过点P作直线l和BC平行,根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A1BC平行. 等腰三角形ABC中,根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC,故l⊥AD.再由AA1⊥底面ABC,可得 AA1⊥l.再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1 . (Ⅱ)过点D作DE⊥AC,证明DE⊥平面AA1C1C.直角三角形ACD中,求出AD的值,可得 DE 的值,从而求得 =的值,再根据三棱锥A1﹣QC1D的体积 ==••DE,运算求得结果. 【解答】 解:(Ⅰ)在平面ABC内,过点P作直线l和BC平行,由于直线l不在平面A1BC内,而BC在平面A1BC内, 故直线l与平面A1BC平行. 三角形ABC中,∵AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,∴AD⊥BC,∴l⊥AD. 再由AA1⊥底面ABC,可得 AA1⊥l. 而AA1∩AD=A, ∴直线l⊥平面ADD1A1 . (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,过点D作DE⊥AC, ∵侧棱AA1⊥底面ABC,故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱, 故DE⊥平面AA1C1C. 直角三角形ACD中,∵AC=2,∠CAD=60°,∴AD=AC•cos60°=1,∴DE=AD•sin60°=. ∵===1, ∴三棱锥A1﹣QC1D的体积 ==••DE=×1×=. 20.(13分)(2013•四川)已知圆C的方程为x2+(y﹣4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点. (Ⅰ)求k的取值范围; (Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且.请将n表示为m的函数. 【分析】(Ⅰ)将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,根据两函数图象有两个交点,得到根的判别式的值大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的取值范围; (Ⅱ)由M、N在直线l上,设点M、N坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2,以及|OQ|2,代入已知等式中变形,再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2 ,用k表示出m,由Q在直线y=kx上,将Q坐标代入直线y=kx中表示出k,代入得出的关系式中,用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式,并求出m的范围即可. 【解答】解:(Ⅰ)将y=kx代入x2+(y﹣4)2=4中,得:(1+k2)x2﹣8kx+12=0(*), 根据题意得:△=(﹣8k)2﹣4(1+k2)×12>0,即k2>3, 则k的取值范围为(﹣∞,﹣)∪(,+∞); (Ⅱ)由M、N、Q在直线l上,可设M、N坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2), ∴|OM|2=(1+k2)x12,|ON|2=(1+k2)x22,|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2, 代入=+得:=+, 即=+=, 由(*)得到x1+x2=,x1x2=, 代入得:=,即m2=, ∵点Q在直线y=kx上,∴n=km,即k=,代入m2=,化简得5n2﹣3m2=36, 由m2=及k2>3,得到0<m2<3,即m∈(﹣,0)∪(0,), 根据题意得点Q在圆内,即n>0, ∴n==, 则n与m的函数关系式为n=(m∈(﹣,0)∪(0,)). 21.(14分)(2013•四川)已知函数,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2. (Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,证明:x2﹣x1≥1; (Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围. 【分析】(I)根据分段函数中两段解析式,结合二次函数及对数函数的性质,即可得出函数f(x)的单调区间; (II)由导数的几何意义知,点A处的切线的斜率为f′(x1),点B处的切线的斜率为f′(x2),再利用f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,斜率之积等于﹣1,得出(2x1+2)(2x2+2)=﹣1,最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1; (III)先根据导数的几何意义写出函数f(x)在点A、B处的切线方程,再利用两直线重合的充要条件列出关系式,从而得出a=lnx2+()2﹣1,最后利用导数研究它的单调性和最值,即可得出a的取值范围. 【解答】解:(I)函数f(x)的单调减区间(﹣∞,﹣1),函数f(x)的单调增区间[﹣1,0),(0,+∞); (II)由导数的几何意义知,点A处的切线的斜率为f′(x1),点B处的切线的斜率为f′(x2), 函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,有f′(x1)f′(x2)=﹣1, 当x<0时,(2x1+2)(2x2+2)=﹣1,∵x1<x2<0,∴2x1+2<0,2x2+2>0, ∴x2﹣x1=[﹣(2x1+2)+(2x2+2)]≥=1, ∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,有x2﹣x1≥1; (III)当x1<x2<0,或0<x1<x2时,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2, 当x1<0时,函数f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线方程为y﹣(x+2x1+a)=(2x1+2)(x﹣x1); 当x2>0时,函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y﹣lnx2=(x﹣x2); 两直线重合的充要条件是, 由①及x1<0<x2得0<<2,由①②得a=lnx2+()2﹣1=﹣ln+()2﹣1, 令t=,则0<t<2,且a=t2﹣t﹣lnt,设h(t)=t2﹣t﹣lnt,(0<t<2) 则h′(t)=t﹣1﹣=,∴h(t)在(0,2)为减函数, 则h(t)>h(2)=﹣ln2﹣1,∴a>﹣ln2﹣1, ∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围(﹣ln2﹣1,+∞). 参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;minqi5;qiss;沂蒙松;ywg2058;wfy814;吕静;caoqz(排名不分先后) 2017年2月3日查看更多