2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)

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文档介绍

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)

‎2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)‎ ‎ ‎ 一、选择题共12小题.每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.‎ ‎1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=(  )‎ A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}‎ ‎2.(5分)=(  )‎ A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1+i D.1﹣i ‎3.(5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  )‎ A.y= B.y= C.y=±x D.y=‎ ‎5.(5分)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q ‎6.(5分)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(  )‎ A.Sn=2an﹣1 B.Sn=3an﹣2 C.Sn=4﹣3an D.Sn=3﹣2an ‎7.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于(  )‎ A.[﹣3,4] B.[﹣5,2] C.[﹣4,3] D.[﹣2,5]‎ ‎8.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(  )‎ A.2 B.2 C.2 D.4‎ ‎9.(5分)函数f(x)=(1﹣cosx)sinx在[﹣π,π]的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=(  )‎ A.10 B.9 C.8 D.5‎ ‎11.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π ‎12.(5分)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,1] C.[﹣2,1] D.[﹣2,0]‎ ‎ ‎ 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分.‎ ‎13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t=  .‎ ‎14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为  .‎ ‎15.(5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为  .‎ ‎16.(5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ=  .‎ ‎ ‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=﹣5.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{}的前n项和.‎ ‎18.(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下:‎ 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:‎ ‎0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5‎ ‎2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4‎ 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:‎ ‎3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4‎ ‎1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5‎ ‎(Ⅰ)分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?‎ ‎(Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°‎ ‎(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;‎ ‎(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.‎ ‎20.(12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)﹣x2﹣4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4.‎ ‎(Ⅰ)求a,b的值;‎ ‎(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.‎ ‎21.(12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22.(10分)(选修4﹣1:几何证明选讲)‎ 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.‎ ‎(Ⅰ)证明:DB=DC;‎ ‎(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.‎ ‎23.(选修4﹣4:坐标系与参数方程)‎ 已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.‎ ‎(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)‎ ‎24.(选修4﹣5:不等式选讲)‎ 已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.‎ ‎(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;‎ ‎(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题共12小题.每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.‎ ‎1.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=(  )‎ A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}‎ ‎【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值,确定出集合B,找出两集合的公共元素,即可求出交集.‎ ‎【解答】解:根据题意得:x=1,4,9,16,即B={1,4,9,16},‎ ‎∵A={1,2,3,4},‎ ‎∴A∩B={1,4}.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2013•新课标Ⅰ)=(  )‎ A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1+i D.1﹣i ‎【分析】利用分式的分母平方,复数分母实数化,运算求得结果.‎ ‎【解答】解:====﹣1+i.‎ 故选 B.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2013•新课标Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】‎ 本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个,共有C42种结果,满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种,得到概率.‎ ‎【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,‎ 试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个,共有C42=6种结果,‎ 满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2,有2种结果,分别是(1,3),(2,4),‎ ‎∴要求的概率是 =.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  )‎ A.y= B.y= C.y=±x D.y=‎ ‎【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=±x,代入可得答案.‎ ‎【解答】解:由双曲线C:(a>0,b>0),‎ 则离心率e===,即4b2=a2,‎ 故渐近线方程为y=±x=x,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q ‎【分析】举反例说明命题p为假命题,则¬p为真命题.引入辅助函数f(x)=x3+x2‎ ‎﹣1,由函数零点的存在性定理得到该函数有零点,从而得到命题q为真命题,由复合命题的真假得到答案.‎ ‎【解答】解:因为x=﹣1时,2﹣1>3﹣1,所以命题p:∀x∈R,2x<3x为假命题,则¬p为真命题.‎ 令f(x)=x3+x2﹣1,因为f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0.所以函数f(x)=x3+x2﹣1在(0,1)上存在零点,‎ 即命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2为真命题.‎ 则¬p∧q为真命题.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2013•新课标Ⅰ)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(  )‎ A.Sn=2an﹣1 B.Sn=3an﹣2 C.Sn=4﹣3an D.Sn=3﹣2an ‎【分析】由题意可得数列的通项公式,进而可得其求和公式,化简可得要求的关系式.‎ ‎【解答】解:由题意可得an=1×=,‎ ‎∴Sn==3﹣=3﹣2=3﹣2an,‎ 故选D ‎ ‎ ‎7.(5分)(2013•新课标Ⅰ)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于(  )‎ A.[﹣3,4] B.[﹣5,2] C.[﹣4,3] D.[﹣2,5]‎ ‎【分析】本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为t<1我们可得,分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式.‎ ‎【解答】解:由判断框中的条件为t<1,可得:‎ 函数分为两段,即t<1与t≥1,‎ 又由满足条件时函数的解析式为:s=3t;‎ 不满足条件时,即t≥1时,函数的解析式为:s=4t﹣t2‎ 故分段函数的解析式为:s=,‎ 如果输入的t∈[﹣1,3],画出此分段函数在t∈[﹣1,3]时的图象,‎ 则输出的s属于[﹣3,4].‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2013•新课标Ⅰ)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(  )‎ A.2 B.2 C.2 D.4‎ ‎【分析】根据抛物线方程,算出焦点F坐标为().设P(m,n),由抛物线的定义结合|PF|=4,算出m=3,从而得到n=,得到△POF的边OF上的高等于2,最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积.‎ ‎【解答】解:∵抛物线C的方程为y2=4x ‎∴2p=4,可得=,得焦点F()‎ 设P(m,n)‎ 根据抛物线的定义,得|PF|=m+=4,‎ 即m+=4,解得m=3‎ ‎∵点P在抛物线C上,得n2=4×3=24‎ ‎∴n==‎ ‎∵|OF|=‎ ‎∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2‎ 故选:C ‎ ‎ ‎9.(5分)(2013•新课标Ⅰ)函数f(x)=(1﹣cosx)sinx在[﹣π,π]的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由函数的奇偶性可排除B,再由x∈(0,π)时,f(x)>0,可排除A,求导数可得f′(0)=0,可排除D,进而可得答案.‎ ‎【解答】解:由题意可知:f(﹣x)=(1﹣cosx)sin(﹣x)=﹣f(x),‎ 故函数f(x)为奇函数,故可排除B,‎ 又因为当x∈(0,π)时,1﹣cosx>0,sinx>0,‎ 故f(x)>0,可排除A,‎ 又f′(x)=(1﹣cosx)′sinx+(1﹣cosx)(sinx)′‎ ‎=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x,‎ 故可得f′(0)=0,可排除D,‎ 故选C ‎ ‎ ‎10.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=(  )‎ A.10 B.9 C.8 D.5‎ ‎【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式,求出cosA的值,再由a与c的值,利用余弦定理即可求出b的值.‎ ‎【解答】解:∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0,即cos2A=,A为锐角,‎ ‎∴cosA=,‎ 又a=7,c=6,‎ 根据余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc•cosA,即49=b2+36﹣b,‎ 解得:b=5或b=﹣(舍去),‎ 则b=5.‎ 故选D ‎ ‎ ‎11.(5分)(2013•新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π ‎【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,依据三视图的数据,得出组合体长、宽、高,即可求出几何体的体积.‎ ‎【解答】‎ 解:三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是:4,2,2,半个圆柱的底面半径为2,母线长为4.‎ ‎∴长方体的体积=4×2×2=16,‎ 半个圆柱的体积=×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是16+8π;‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,1] C.[﹣2,1] D.[﹣2,0]‎ ‎【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由导数求切线斜率可得l的斜率,进而数形结合可得a的范围.‎ ‎【解答】解:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,‎ 由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,当直线介于l和x轴之间符合题意,直线l为曲线的切线,且此时函数y=|f(x)|‎ 在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x,‎ 求其导数可得y′=2x﹣2,因为x≤0,故y′≤﹣2,故直线l的斜率为﹣2,‎ 故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可,即a∈[﹣2,0]‎ 故选:D ‎ ‎ 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分.‎ ‎13.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t= 2 .‎ ‎【分析】由于•=0,对式子=t+(1﹣t)两边与作数量积可得=0,经过化简即可得出.‎ ‎【解答】解:∵,,∴=0,‎ ‎∴tcos60°+1﹣t=0,∴1=0,解得t=2.‎ 故答案为2.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2013•新课标Ⅰ)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为 3 .‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.‎ ‎【解答】解:不等式组表示的平面区域如图所示,‎ 由得A(3,3),‎ z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z,z最大时,y值最小,‎ 即:当直线z=2x﹣y过点A(3,3)时,‎ 在y轴上截距最小,此时z取得最大值3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为  .‎ ‎【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式,设球的半径为R,根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π,我们易求出截面圆的半径为1,根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,我们易求出该球的半径,进而求出球的表面积.‎ ‎【解答】解:设球的半径为R,∵AH:HB=1:2,∴平面α与球心的距离为R,‎ ‎∵α截球O所得截面的面积为π,‎ ‎∴d=R时,r=1,‎ 故由R2=r2+d2得R2=12+(R)2,∴R2=‎ ‎∴球的表面积S=4πR2=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2013•新课标Ⅰ)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ= ﹣ .‎ ‎【分析】f(x)解析式提取 ‎,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由x=θ时,函数f(x)取得最大值,得到sinθ﹣2cosθ=,与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值.‎ ‎【解答】解:f(x)=sinx﹣2cosx=(sinx﹣cosx)=sin(x﹣α)(其中cosα=,sinα=),‎ ‎∵x=θ时,函数f(x)取得最大值,‎ ‎∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ=,‎ 又sin2θ+cos2θ=1,‎ 联立得(2cosθ+)2+cos2θ=1,解得cosθ=﹣.‎ 故答案为:﹣‎ ‎ ‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)(2013•新课标Ⅰ)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=﹣5.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{}的前n项和.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设出等差数列{an}的首项和公差,直接由S3=0,S5=﹣5列方程组求出,然后代入等差数列的通项公式整理;‎ ‎(Ⅱ)把(Ⅰ)中求出的通项公式,代入数列{}的通项中进行列项整理,则利用裂项相消可求数列{}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的首项为a1,公差为d,则.‎ 由已知可得,即,解得a1=1,d=﹣1,‎ 故{an}的通项公式为an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)•(﹣1)=2﹣n;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.‎ 从而数列{}的前n项和 Sn=‎ ‎=.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2013•新课标Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下:‎ 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:‎ ‎0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5‎ ‎2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4‎ 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:‎ ‎3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4‎ ‎1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5‎ ‎(Ⅰ)分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?‎ ‎(Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用平均数的计算公式即可得出,据此即可判断出结论;‎ ‎(Ⅱ)利用已知数据和茎叶图的结构即可完成.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设A药观测数据的平均数据的平均数为,设B药观测数据的平均数据的平均数为,‎ 则=×(0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+‎ ‎2.4)=2.3.‎ ‎×(3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5)=1.6.‎ 由以上计算结果可知:.由此可看出A药的效果更好.‎ ‎(Ⅱ)根据两组数据得到下面茎叶图:‎ 从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在2,3上.而B药疗效的试验结果由的叶集中在0,1上.由此可看出A药的疗效更好.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2013•新课标Ⅰ)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°‎ ‎(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;‎ ‎(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题目给出的边的关系,可想到去AB中点O,连结OC,OA1,可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论;‎ ‎(Ⅱ)在三角形OCA1中,由勾股定理得到OA1⊥OC,再根据OA1⊥AB,得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1‎ 的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求体积.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:如图,‎ 取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.‎ 因为CA=CB,所以OC⊥AB.‎ 由于AB=AA1,,故△AA1B为等边三角形,‎ 所以OA1⊥AB.‎ 因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.‎ 又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C;‎ ‎(Ⅱ)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,‎ 所以.‎ 又,则,故OA1⊥OC.‎ 因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.‎ 又△ABC的面积,故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ex(ax+b)﹣x2﹣4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4.‎ ‎(Ⅰ)求a,b的值;‎ ‎(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求导函数,利用导数的几何意义及曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4,建立方程,即可求得a,b的值;‎ ‎(Ⅱ)利用导数的正负,可得f(x)的单调性,从而可求f(x)的极大值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=ex(ax+b)﹣x2﹣4x,‎ ‎∴f′(x)=ex(ax+a+b)﹣2x﹣4,‎ ‎∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4‎ ‎∴f(0)=4,f′(0)=4‎ ‎∴b=4,a+b=8‎ ‎∴a=4,b=4;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=4ex(x+1)﹣x2﹣4x,f′(x)=4ex(x+2)﹣2x﹣4=4(x+2)(ex﹣),‎ 令f′(x)=0,得x=﹣ln2或x=﹣2‎ ‎∴x∈(﹣∞,﹣2)或(﹣ln2,+∞)时,f′(x)>0;x∈(﹣2,﹣ln2)时,f′(x)<0‎ ‎∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣2),(﹣ln2,+∞),单调减区间是(﹣2,﹣ln2)‎ 当x=﹣2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(﹣2)=4(1﹣e﹣2).‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2013•新课标Ⅰ)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.‎ ‎【分析】(I)设动圆的半径为R,由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切,可得|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,求出即可;‎ ‎(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2,所以R ‎≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.分①l的倾斜角为90°,此时l与y轴重合,可得|AB|.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,根据,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出.‎ ‎【解答】解:(I)由圆M:(x+1)2+y2=1,可知圆心M(﹣1,0);圆N:(x﹣1)2+y2=9,圆心N(1,0),半径3.‎ 设动圆的半径为R,‎ ‎∵动圆P与圆M外切并与圆N内切,∴|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,‎ 而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,‎ ‎∴a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3.‎ ‎∴曲线C的方程为(x≠﹣2).‎ ‎(II)设曲线C上任意一点P(x,y),‎ 由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2,所以R≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.‎ ‎①l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.‎ ‎②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,‎ 设l与x轴的交点为Q,则,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),‎ 由l于M相切可得:,解得.‎ 当时,联立,得到7x2+8x﹣8=0.‎ ‎∴,.‎ ‎∴|AB|===‎ 由于对称性可知:当时,也有|AB|=.‎ 综上可知:|AB|=或.‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22.(10分)(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣1:几何证明选讲)‎ 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.‎ ‎(Ⅰ)证明:DB=DC;‎ ‎(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.‎ ‎【分析】(I)连接DE交BC于点G,由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE,于是得到∠CBE=∠BCE,BE=CE.由已知DB⊥BE,可知DE为⊙O的直径,Rt△DBE≌Rt△DCE,利用三角形全等的性质即可得到DC=DB.‎ ‎(II)由(I)可知:DG是BC的垂直平分线,即可得到BG=.设DE的中点为O,连接BO,可得∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.得到CF⊥BF.进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=.‎ ‎【解答】(I)证明:连接DE交BC于点G.‎ 由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,‎ ‎∴∠CBE=∠BCE,BE=CE.‎ 又∵DB⊥BE,∴DE为⊙O的直径,∠DCE=90°.‎ ‎∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB.‎ ‎(II)由(I)可知:∠CDE=∠BDE,DB=DC.‎ 故DG是BC的垂直平分线,∴BG=.‎ 设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.‎ 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.‎ ‎∴CF⊥BF.‎ ‎∴Rt△BCF的外接圆的半径=.‎ ‎ ‎ ‎23.(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣4:坐标系与参数方程)‎ 已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.‎ ‎(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)‎ ‎【分析】(Ⅰ)对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程;再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)先求出曲线C2的极坐标方程;再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的参数方程式(t为参数),‎ 得(x﹣4)2+(y﹣5)2=25即为圆C1的普通方程,‎ 即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0.‎ 将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得.‎ ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即为C1的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为:x2+y2﹣2y=0,‎ 由,解得或.‎ ‎∴C1与C2交点的极坐标分别为(,),(2,).‎ ‎ ‎ ‎24.(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣5:不等式选讲)‎ 已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.‎ ‎(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;‎ ‎(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,画出函数y的图象,数形结合可得结论.‎ ‎(Ⅱ)不等式化即 1+a≤x+3,故 x≥a﹣2对都成立.故﹣≥a﹣2,由此解得a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.‎ 设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则 y=,它的图象如图所示:‎ 结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).‎ ‎(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)=1+a,不等式化为 1+a≤x+3,故 x≥a﹣2对都成立.‎ 故﹣≥a﹣2,解得 a≤,故a的取值范围为(﹣1,].‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;qiss;minqi5;szjzl;sxs123;lincy;ywg2058;沂蒙松;刘长柏;王嵩林(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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