高考数学专题复习练习:9_1 直线的方程

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高考数学专题复习练习:9_1 直线的方程

‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围:直线l倾斜角的范围是[0°,180°).‎ ‎2.斜率公式 ‎(1)若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k=tan α.‎ ‎(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上且x1≠x2,则l的斜率k=.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0)‎ 不含直线x=x0‎ 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 两点式 = 不含直线x=x1 (x1≠x2)和直线y=y1 (y1≠y2)‎ 截距式 +=1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ )‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × )‎ ‎(3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( × )‎ ‎(4)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( × )‎ ‎(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )‎ ‎(6)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( √ )‎ ‎1.(2016·天津模拟)过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(  )‎ A.1 B.4‎ C.1或3 D.1或4‎ 答案 A 解析 依题意得=1,解得m=1.‎ ‎2.(2016·合肥一六八中学检测)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(  )‎ A.[0,] B.[,π)‎ C.[0,]∪(,π) D.[,)∪[,π)‎ 答案 B 解析 由直线方程可得该直线的斜率为-,‎ 又-1≤-<0,‎ 所以倾斜角的取值范围是[,π).‎ ‎3.如果A·C<0且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C 解析 由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.‎ ‎4.(教材改编)直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a= .‎ 答案 1或-2‎ 解析 令x=0,得直线l在y轴上的截距为2+a;‎ 令y=0,得直线l在x轴上的截距为1+,‎ 依题意2+a=1+,解得a=1或a=-2.‎ ‎5.过点A(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .‎ 答案 3x+2y=0或x-y-5=0‎ 解析 ①当直线过原点时,直线方程为y=-x,即3x+2y=0;②当直线不过原点时,设直线方程为-=1,即x-y=a,将点A(2,-3)代入,得a=5,即直线方程为x-y-5=0.故所求直线的方程为3x+2y=0或x-y-5=0.‎ 题型一 直线的倾斜角与斜率 例1 (1)(2016·北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为α,斜率为k,那么“α>”是“k>”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 .‎ 答案 (1)B (2)(-∞,-]∪[1,+∞)‎ 解析 (1)当<α<π时,k<0;‎ 当k>时,<α<.‎ 所以“α>”是“k>”的必要不充分条件,故选B.‎ ‎ (2)如图,‎ ‎∵kAP==1,‎ kBP==-,‎ ‎∴k∈(-∞,- ]∪[1,+∞).‎ 引申探究 ‎1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.‎ 解 ∵P(-1,0),A(2,1),B(0,),‎ ‎∴kAP==,‎ kBP==.‎ 如图可知,直线l斜率的取值范围为.‎ ‎2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的范围.‎ 解 如图,直线PA的倾斜角为45°,‎ 直线PB的倾斜角为135°,‎ 由图象知l的倾斜角的范围为[0°,45°]∪[135°,180°).‎ 思维升华 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当α∈时,斜率k∈[0,+∞);当α=时,斜率不存在;当α∈时,斜率k∈(-∞,0).‎ ‎ (2017·南昌月考)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为(  )‎ A.150° B.135° C.120° D.不存在 答案 A 解析 由y=得x2+y2=2(y≥0),它表示以原点O为圆心,以为半径的圆的一部分,其图象如图所示.‎ 显然直线l的斜率存在,‎ 设过点P(2,0)的直线l为y=k(x-2),则圆心到此直线的距离d=,‎ 弦长|AB|=2=2,‎ 所以S△AOB=××2 ‎≤=1,‎ 当且仅当(2k)2=2-2k2,即k2=时等号成立,‎ 由图可得k=-(k=舍去),故直线l的倾斜角为150°.‎ 题型二 求直线的方程 例2 根据所给条件求直线的方程:‎ ‎(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;‎ ‎(2)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;‎ ‎(3)直线过点(5,10),到原点的距离为5.‎ 解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α,则sin α=(0<α<π),‎ 从而cos α=±,则k=tan α=±.‎ 故所求直线方程为y=±(x+4).‎ 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.‎ ‎(2)设直线l在x,y轴上的截距均为a.‎ 若a=0,即l过点(0,0)及(4,1),‎ ‎∴l的方程为y=x,即x-4y=0.‎ 若a≠0,则设l的方程为+=1,‎ ‎∵l过点(4,1),∴+=1,‎ ‎∴a=5,‎ ‎∴l的方程为x+y-5=0.‎ 综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.‎ ‎(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0;‎ 当斜率存在时,设其为k,‎ 则所求直线方程为y-10=k(x-5),‎ 即kx-y+(10-5k)=0.‎ 由点到直线的距离公式,得=5,解得k=.‎ 故所求直线方程为3x-4y+25=0.‎ 综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.‎ 思维升华 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.‎ ‎ 求适合下列条件的直线方程:‎ ‎(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;‎ ‎(2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-倍;‎ ‎(3)过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点且|AB|=5.‎ 解 (1)设直线l在x,y轴上的截距均为a,‎ 若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),‎ ‎∴l的方程为y=x,即2x-3y=0.‎ 若a≠0,则设l的方程为+=1,‎ ‎∵l过点(3,2),∴+=1,‎ ‎∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0,‎ 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.‎ ‎(2)设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.‎ 又直线经过点A(-1,-3),‎ 因此所求直线方程为y+3=-(x+1),‎ 即3x+4y+15=0.‎ ‎(3)过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1.‎ 解方程组 求得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,‎ 即x=1为所求.‎ 设过A(1,-1)且与y轴不平行的直线为 y+1=k(x-1),‎ 解方程组 得两直线交点为(k≠-2,否则与已知直线平行),‎ 则B点坐标为(,).‎ ‎∴(-1)2+(+1)2=52,‎ 解得k=-,∴y+1=-(x-1),‎ 即3x+4y+1=0.‎ 综上可知,所求直线方程为x=1或3x+4y+1=0.‎ 题型三 直线方程的综合应用 命题点1 与基本不等式相结合求最值问题 例3 已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.‎ 解 方法一 设直线方程为+=1(a>0,b>0),‎ 把点P(3,2)代入得+=1≥2,得ab≥24,‎ 从而S△AOB=ab≥12,当且仅当=时等号成立,这时k=-=-,从而所求直线方程为2x+3y-12=0.‎ 方法二 依题意知,直线l的斜率k存在且k<0.‎ 则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),‎ 且有A,B(0,2-3k),‎ ‎∴S△ABO=(2-3k) ‎=≥ ‎=×(12+12)=12.‎ 当且仅当-9k=,即k=-时,等号成立.‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 故所求直线的方程为2x+3y-12=0.‎ 命题点2 由直线方程解决参数问题 例4 已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a的值.‎ 解 由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2,所以四边形的面积S=×2×(2-a)+×2×(a2+2)=a2-a+4=2+,当a=时,面积最小.‎ 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.‎ ‎(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.‎ ‎(3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.‎ ‎ (2016·潍坊模拟)直线l过点P(1,4),分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点,当|OA|+|OB|最小时,求直线l的方程.‎ 解 依题意,直线l的斜率存在且斜率为负,‎ 设直线l的斜率为k,‎ 则直线l的方程为y-4=k(x-1)(k<0).‎ 令y=0,可得A(1-,0);‎ 令x=0,可得B(0,4-k).‎ ‎|OA|+|OB|=(1-)+(4-k)‎ ‎=5-(k+)‎ ‎=5+(-k+)≥5+4=9.‎ ‎∴当且仅当-k=且k<0,‎ 即k=-2时,|OA|+|OB|取最小值.‎ 这时直线l的方程为2x+y-6=0.‎ ‎11.求与截距有关的直线方程 典例 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).‎ ‎(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;‎ ‎(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数,求a.‎ 错解展示 现场纠错 解 (1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,∴a=2,方程即为3x+y=0.‎ 当直线不经过原点时,截距存在且均不为0.‎ ‎∴=a-2,即a+1=1.‎ ‎∴a=0,方程即为x+y+2=0.‎ 综上,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.‎ ‎(2)由=-(a-2)得a-2=0或a+1=-1,‎ ‎∴a=2或a=-2.‎ 纠错心得 在求与截距有关的直线方程时,注意对直线的截距是否为零进行分类讨论,防止忽视截距为零的情形,导致产生漏解.‎ ‎1.(2016·北京顺义区检测)若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,则实数k的取值范围是(  )‎ A.-6-2‎ 答案 A 解析 解方程组得 因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,‎ 所以k+6>0且k+2<0,所以-6x0+2,则的取值范围为(  )‎ A.(-,-) B.(-∞,-]‎ C.(-,-] D.(-,0)‎ 答案 A 解析 设A(x1,y1),=k,则y0=kx0,‎ ‎∵AB的中点为P(x0,y0),∴B(2x0-x1,2y0-y1).‎ ‎∵A,B分别在直线x+2y-1=0和x+2y+3=0上,‎ ‎∴x1+2y1-1=0,2x0-x1+2(2y0-y1)+3=0,‎ ‎∴2x0+4y0+2=0,即x0+2y0+1=0.‎ ‎∵y0=kx0,∴x0+2kx0+1=0,即x0=-.‎ 又y0>x0+2,∴kx0>x0+2,即(k-1)x0>2,‎ 即(k-1)(-)>2,即<0,‎ 解得-0,bc<0‎ B.ab>0,bc>0‎ C.ab<0,bc>0‎ D.ab<0,bc<0‎ 答案 A 解析 由于直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限,‎ 所以直线存在斜率,将方程变形为y=-x-.‎ 易知-<0且->0,故ab>0,bc<0.‎ ‎6.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (  )‎ A.k1<k2<k3‎ B.k3<k1<k2‎ C.k3<k2<k1‎ D.k1<k3<k2‎ 答案 D 解析 直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2,故选D.‎ ‎7.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是 .‎ 答案 3‎ 解析 直线AB的方程为+=1,‎ ‎∵动点P(x,y)在直线AB上,则x=3-y,‎ ‎∴xy=3y-y2=(-y2+4y)‎ ‎=[-(y-2)2+4]≤3.‎ 即当P点坐标为时,xy取最大值3.‎ ‎8.(2016·潍坊模拟)直线l过点(-2,2)且与x轴,y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则直线l的方程为 .‎ 答案 x+y=0或x-y+4=0‎ 解析 若a=b=0,则直线l过点(0,0)与(-2,2),‎ 直线l的斜率k=-1,直线l的方程为y=-x,即x+y=0.‎ 若a≠0,b≠0,则直线l的方程为+=1,‎ 由题意知解得 此时,直线l的方程为x-y+4=0.‎ ‎9.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是 .‎ 答案 [-2,2]‎ 解析 b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,‎ 如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.‎ ‎∴b的取值范围是[-2,2].‎ ‎10.(2016·山师大附中模拟)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为 .‎ 答案 4‎ 解析 ∵函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1).‎ ‎∴把A(1,1)代入直线方程得m+n=1(mn>0).‎ ‎∴+=(+)·(m+n)=2++≥4‎ ‎(当且仅当m=n=时取等号),‎ ‎∴+的最小值为4.‎ ‎11.(2016·太原模拟)已知两点A(-1,2),B(m,3).‎ ‎(1)求直线AB的方程;‎ ‎(2)已知实数m∈[--1,-1],求直线AB的倾斜角α的取值范围.‎ 解 (1)当m=-1时,直线AB的方程为x=-1,‎ 当m≠-1时,直线AB的方程为y-2=(x+1).‎ 即x-(m+1)y+2m+3=0.‎ ‎(2)①当m=-1时,α=;‎ ‎②当m≠-1时,m+1∈[-,0)∪(0,],‎ ‎∴k=∈(-∞,-]∪[,+∞),‎ ‎∴α∈[,)∪(,].‎ 综合①②知,直线AB的倾斜角α∈[,].‎ ‎12.已知点P(2,-1).‎ ‎(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程;‎ ‎(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?‎ ‎(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过点P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,‎ 此时直线l的斜率不存在,其方程为x=2.‎ 若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),‎ 即kx-y-2k-1=0.‎ 由已知得=2,‎ 解得k=.‎ 此时l的方程为3x-4y-10=0.‎ 综上可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.‎ ‎ (2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图所示.‎ 由l⊥OP,得klkOP=-1,‎ 所以kl=-=2.‎ 由直线方程的点斜式,‎ 得y+1=2(x-2),‎ 即2x-y-5=0.‎ 所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为=.‎ ‎(3)由(2)可知,过点P不存在到原点的距离超过的直线,因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.‎ ‎*13.如图,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.‎ 解 由题意可得kOA=tan 45°=1,‎ kOB=tan(180°-30°)=-,‎ 所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.‎ 设A(m,m),B(-n,n),‎ 所以AB的中点C,‎ 由点C在直线y=x上,且A、P、B三点共线得 解得m=,所以A(,).‎ 又P(1,0),所以kAB=kAP==,‎ 所以lAB:y=(x-1),‎ 即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.‎
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