高考数学专题复习练习：第五章 5_3向量的夹角

高考数学专题复习练习：第五章 5_3向量的夹角

‎1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．‎ ‎2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 ‎|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，‎ ‎|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 ‎3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 ‎(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0.‎ ‎(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；‎ 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.‎ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(4)cos θ＝.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|.‎ ‎4．平面向量数量积满足的运算律 ‎(1)a·b＝b·a；‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝||＝.‎ ‎(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；‎ 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．‎ ‎2．平面向量数量积运算的常用公式 ‎(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.‎ ‎(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.‎ ‎(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　)‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)‎ ‎(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)‎ ‎(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是[0，]．(　×　)‎ ‎1．(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于(　　)‎ A．－12 B．6‎ C．－6 D．12‎ 答案　D 解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，‎ 由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，‎ ‎∴10＋2－k＝0，解得k＝12.‎ ‎2．(2017·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝|b|,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝，故选C.‎ ‎3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于(　　)‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ 答案　A 解析　∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．‎ ‎∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.‎ ‎4．(2016·北京)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．‎ 答案　 解析　设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，‎ 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.‎ ‎5．(2016·厦门模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________.‎ 答案　 解析　∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，‎ ‎∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，‎ ‎∴|a＋b|＝＝ ‎＝＝.‎ 题型一　平面向量数量积的运算 例1　(1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)‎ A．－ B. C. D. ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．‎ 答案　(1)B　(2)1　1‎ 解析　(1)如图，由条件可知＝－，‎ ＝＋＝＋ ‎＝＋，‎ 所以· ‎＝(－)·(＋)‎ ‎＝2－·－2.‎ 因为△ABC是边长为1的等边三角形，‎ 所以||＝||＝1，∠BAC＝60°，‎ 所以·＝－－＝.‎ ‎(2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，‎ 则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.‎ 因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，‎ 故·的最大值为1.‎ 方法二　由图知，‎ 无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，‎ 当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，‎ ‎∴(·)max＝||·1＝1.‎ 思维升华　平面向量数量积的三种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎(3)利用数量积的几何意义求解．‎ ‎　(1)(2016·全国丙卷)已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．‎ 答案　(1)A　(2) 解析　(1)∵||＝1，||＝1，‎ cos∠ABC＝＝，‎ 又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.‎ ‎(2)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，‎ ‎∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋，‎ ‎∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos 60°＋2×＋×12×cos 60°＋××12×cos 120°＝.‎ 题型二　平面向量数量积的应用 命题点1　求向量的模 例2　(1)(2016·西安模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．‎ 答案　(1)2　(2)＋1‎ 解析　(1)因为＝(＋)‎ ‎＝(2a＋2b＋2a－6b)‎ ‎＝2a－2b，‎ 所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)‎ ‎＝4×(3－2×2××cos ＋4)＝4，‎ 所以||＝2.‎ ‎(2)设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1，‎ 知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．‎ 又O＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)‎ ‎＝(x－1，y＋)，‎ ‎∴|＋＋|＝.‎ 问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．‎ ‎∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，‎ 故的最大值为＋1.‎ 即|＋＋|的最大值是＋1.‎ 命题点2　求向量的夹角 例3　(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.‎ ‎(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________________．‎ 答案　(1)　(2)∪ 解析　(1)因为a2＝(3e1－2e2)2‎ ‎＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，‎ 所以|a|＝3，‎ 因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，‎ 所以|b|＝2，‎ a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)‎ ‎＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，‎ 所以cos β＝＝＝.‎ ‎(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，‎ ‎∴(2a－3b)·c＜0，‎ 即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，‎ ‎∴4k－6－6＜0，‎ ‎∴k＜3.‎ 又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.‎ 当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，‎ 即2a－3b与c反向．‎ 综上，k的取值范围为∪.‎ 思维升华　平面向量数量积求解问题的策略 ‎(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎②|a±b|＝＝.‎ ‎③若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎　(1)(2015·湖北)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.‎ ‎(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)‎ A. B．2‎ C. D．6‎ 答案　(1)9　(2)C 解析　(1)因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.‎ ‎(2)∵·＝－1，‎ ‎∴||·||·cos 120°＝－1，‎ 即||·||＝2，‎ ‎∴||2＝|－|2＝2－2·＋2‎ ‎≥2||·||－2·＝6，‎ ‎∴||min＝.‎ 题型三　平面向量与三角函数 例4　(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ 解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.‎ 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，‎ 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.‎ ‎(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，‎ 即sin x－cos x＝，‎ 所以sin＝，‎ 因为04，且tsin θ取最大值4时，求·.‎ 解　(1)由题设知＝(n－8，t)，‎ ‎∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.‎ 又∵||＝||，‎ ‎∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.‎ 当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，‎ ‎∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．‎ ‎(2)由题设知＝(ksin θ－8，t)，‎ ‎∵与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16，‎ tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ ‎＝－2k(sin θ－)2＋.‎ ‎∵k>4，∴0<<1，‎ ‎∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值.‎ 由＝4，得k＝8，‎ 此时θ＝，＝(4,8)，‎ ‎∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.‎