2020高中数学 第1章 解三角形余弦定理

2020高中数学 第1章 解三角形余弦定理

余弦定理 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 余弦定理 ‎1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；‎ ‎2. 能够运用余弦定理等知识解决一些测量学以及与几何计算等有关的实际问题；‎ ‎3. 通过对定理的研究，培养猜想、论证能力，同时在学习中感受数学的对称美与和谐美。‎ 填空题 解答题 ‎ 勾股定理是余弦定理的特殊情况；‎ ‎ 高考可以直接考查余弦定理，更多情况是将其与正弦定理等内容结合进行考查。‎ 二、重难点提示 重点：余弦定理的证明与运用。‎ 难点：判定三角形解的情况。‎ ‎ 1. 余弦定理的推导 ‎ 中，，如何将向量关系转化为数量关系，能得出什么样的结论呢？‎ ‎2. 余弦定理的内容及其常见变形 内容：，，‎ 变形：，，。‎ ‎3. 余弦定理解斜三角形的类型 ‎（1）SAS、SSS ‎（2）SSA ‎ 例题1 在中，，证明：是等边三角形。‎ ‎ 思路分析：由题意得B=，条件 3‎ 有两种转化方法，一种是用正弦定理化边为角，然后在A、C两个角中消掉一个角，再解含一个角的三角方程。另一种方法是化角为边，即由B=运用余弦定理构造三条边的关系，再进一步变形。现给出思路2的求解过程。‎ 解：，得B=，由余弦定理得，变形为，又，消得，得a=c，又B=，故是等边三角形. ‎ ‎ 例题2 在中，‎ ‎ （1）求边上的高h；‎ ‎ （2）求边上的中线长m。‎ ‎ 思路分析：三角形的三边长知道，则该三角形的形状确定，故其三个角、三边上的中线及三条边上的高都可以确定，本题即在这个背景下命题。第一小问求其中一边上的高可用等面积法或通过解直角三角形求解；第二小问是求某边上的中线，可将中线置入某个三角形中求解，通过两次解三角形得出答案。‎ 答案：‎ 解： （1）过点B作，交AC或其延长线于点D，不妨设为锐角，在中，，‎ 故高。‎ ‎ （2）取AC中点E，在中，由余弦定理得，‎ 在中，，故，得中线长。‎ ‎【方法提炼】‎ ‎ （江西）在中，内角A，B，C所对应的边分别为，若，‎ ‎，则的面积 。‎ 答案：‎ 3‎ ‎ ‎ 技巧点拨：在实现三角形边角转化时，若出现的形式，一般考虑运用余弦定理化边为角；若仅出现一个角，通常也考虑用余弦定理化角为边。‎ 3‎