高中数学人教a版必修四课时训练：3-1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3-1-1 word版含答案

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第三章 三角恒等变换 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.1 两角差的余弦公式 课时目标 1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式． 两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝____________________________，其中α、β为任意角． 一、选择题 1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝( ) A．－1 2 B.1 2 C．0 D．1 2．化简 cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( ) A．cos α B．cos β C．cos(2α＋β) D．sin(2α＋β) 3．化简 cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( ) A.1 2 B．－1 2 C. 3 2 D．－ 3 2 4．若 cos(α－β)＝ 5 5 ，cos 2α＝ 10 10 ，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π 6 B.π 4 C.3π 4 D.5π 6 5．若 sin(π＋θ)＝－3 5 ，θ是第二象限角，sin π 2 ＋φ ＝－2 5 5 ，φ是第三象限角，则 cos(θ－φ) 的值是( ) A．－ 5 5 B. 5 5 C.11 5 25 D. 5 6．若 sin α＋sin β＝1－ 3 2 ，cos α＋cos β＝1 2 ，则 cos(α－β)的值为( ) A.1 2 B．－ 3 2 C. 3 4 D．1 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．cos 15°的值是________． 8．若 cos(α－β)＝1 3 ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 9．已知 sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则 cos(α－β)的值是________． 10．已知α、β均为锐角，且 sin α＝ 5 5 ，cos β＝ 10 10 ，则α－β的值为________． 三、解答题 11．已知 tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－11 14 ，α、β均为锐角，求 cos β的值． 12．已知 cos(α－β)＝－4 5 ，sin(α＋β)＝－3 5 ，π 2<α－β<π，3π 2 <α＋β<2π，求β的值． 能力提升 13．已知 cos(α－β 2)＝－1 9 ，sin(α 2 －β)＝2 3 ，且π 2<α<π，0<β<π 2 ，求 cos α＋β 2 的值． 14．已知α、β、γ∈ 0，π 2 ，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值． 1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另 外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注 意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧． 2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三 步进行： ①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值． 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定． §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.1 两角差的余弦公式 答案 知识梳理 cos αcos β＋sin αsin β 作业设计 1．C 2.B 3．A [原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)] ＝cos(－60°)＝1 2.] 4．C [sin(α－β)＝－2 5 5 (－π 2<α－β<0)．sin 2α＝3 10 10 ， ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝ 10 10 · 5 5 ＋ 3 10 10 · －2 5 5 ＝－ 2 2 ， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π 4 .] 5．B [∵sin(π＋θ)＝－3 5 ， ∴sin θ＝3 5 ，θ是第二象限角， ∴cos θ＝－4 5. ∵sin π 2 ＋φ ＝－2 5 5 ，∴cos φ＝－2 5 5 ， φ是第三象限角， ∴sin φ＝－ 5 5 . ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝ －4 5 × －2 5 5 ＋3 5 × － 5 5 ＝ 5 5 .] 6．B [由题意知 sin α＋sin β＝1－ 3 2 ① cos α＋cos β＝1 2 ② ①2＋②2⇒cos(α－β)＝－ 3 2 .] 7. 2＋ 6 4 8.8 3 解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝8 3. 9．－1 2 解析 由 sin α＋sin β＝－sin γ ① cos α＋cos β＝－cos γ ② ①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－1 2. 10．－π 4 解析 ∵α、β∈ 0，π 2 ， ∴cos α＝2 5 5 ，sin β＝3 10 10 ， ∵sin α0， ∴π 2<α－β 2<π，0<α 2 －β<π 2. ∴sin(α－β 2)＝ 1－cos2α－β 2 ＝4 5 9 . cos(α 2 －β)＝ 1－sin2α 2 －β＝ 5 3 . ∴cosα＋β 2 ＝cos[(α－β 2)－(α 2 －β)]＝cos(α－β 2)cos(α 2 －β)＋sin(α－β 2)sin(α 2 －β)＝(－1 9)× 5 3 ＋ 4 5 9 ×2 3 ＝7 5 27 . 14．解 由已知，得 sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β. 平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1. ∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝1 2 ， ∴β－α＝±π 3. ∵sin γ＝sin β－sin α>0， ∴β>α，∴β－α＝π 3.