高中数学(人教版a版选修2-1)配套课时作业:第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质

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高中数学(人教版a版选修2-1)配套课时作业:第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质

2.3.2 双曲线的简单几何性质 课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握 直线与双曲线的位置关系. 1.双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2 -y2 b2 =1 (a>0,b>0) y2 a2 -x2 b2 =1 (a>0,b>0) 图形 性 质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 实轴长=____,虚轴长=____ 离心率 渐近线 2.直线与双曲线 一般地,设直线 l:y=kx+m (m≠0)① 双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1 (a>0,b>0)② 把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当 b2-a2k2=0,即 k=±b a 时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C 相交于 ________. (2)当 b2-a2k2≠0,即 k≠±b a 时, Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点,此时称直线与双曲线相交; Δ=0⇒直线与双曲线有________公共点,此时称直线与双曲线相切; Δ<0⇒直线与双曲线________公共点,此时称直线与双曲线相离. 一、选择题 1.下列曲线中离心率为 6 2 的是( ) A.x2 2 -y2 4 =1 B.x2 4 -y2 2 =1 C.x2 4 -y2 6 =1 D.x2 4 -y2 10 =1 2.双曲线x2 25 -y2 4 =1 的渐近线方程是( ) A.y=±2 5x B.y=±5 2x C.y=± 4 25x D.y=±25 4 x 3.双曲线与椭圆 4x2+y2=1 有相同的焦点,它的一条渐近线方程为 y= 2x,则双曲线 的方程为( ) A.2x2-4y2=1 B.2x2-4y2=2 C.2y2-4x2=1 D.2y2-4x2=3 4.设双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y=± 2x B.y=±2x C.y=± 2 2 x D.y=±1 2x 5.直线 l 过点( 2,0)且与双曲线 x2-y2=2 仅有一个公共点,则这样的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 6.已知双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支上, 且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为( ) A .4 3 B 5 3 C. 2 D .7 3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.两个正数 a、b 的等差中项是5 2 ,一个等比中项是 6,且 a>b,则双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 的离 心率 e=______. 8.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,且 a=10,c-b=6,则顶点 A 运动的轨迹方程是________________. 9.与双曲线x2 9 - y2 16 =1 有共同的渐近线,并且经过点(-3,2 3)的双曲线方程为 __________. 三、解答题 10.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)经过点 15 4 ,3 ,且一条渐近线为 4x+3y=0; (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为π 3. 11.设双曲线 x2-y2 2 =1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2),求直线 AB 的方程. 能力提升 12.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 3+1 2 D. 5+1 2 13.设双曲线 C:x2 a2 -y2=1 (a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; 1.双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 (a>0,b>0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其顶点为(±a, 0),实轴长为 2a,虚轴长为 2b;其上任一点 P(x,y)的横坐标均满足|x|≥a. 2.双曲线的离心率 e=c a 的取值范围是(1,+∞),其中 c2=a2+b2,且b a = e2-1,离心率 e 越大,双曲线的开口越大.可以通过 a、b、c 的关系,列方程或不等式求离心率的值或 范围. 3.双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 (a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±b ax,也可记为x2 a2 -y2 b2 =0;与双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x2 a2 -y2 b2 =λ (λ≠0). 2.3.2 双曲线的简单几何性质 知识梳理 1. 标准方程 x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0) y2 a2 -x2 b2 =1(a>0,b>0) 图形 性 质 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c 范围 x≥a 或 x≤-a,y∈R y≥a 或 y≤-a,x∈R 对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 顶点 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 轴长 实轴长=2a,虚轴长=2b 离心率 e=c a(e>1) 渐近线 y=±b ax y=±a bx 2.(1)一点 (2)两个 一个 没有 作业设计 1.B [∵e= 6 2 ,∴e2=c2 a2 =3 2 ,∴b2 a2 =1 2 ,故选 B.] 2.A 3.C [由于椭圆 4x2+y2=1 的焦点坐标为 0,± 3 2 , 则双曲线的焦点坐标为 0,± 3 2 ,又由渐近线方程为 y= 2x,得a b = 2,即 a2=2b2,又 由 3 2 2=a2+b2,得 a2=1 2 ,b2=1 4 ,又由于焦点在 y 轴上,因此双曲线的方程为 2y2-4x2 =1.故选 C.] 4.C [由题意知,2b=2,2c=2 3,则 b=1,c= 3,a= 2;双曲线的渐近线方程为 y = ± 2 2 x.] 5.C [点( 2,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲 线仅有一个公共点,另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.] 6.B [||PF1|-|PF2||=2a,即 3|PF2|=2a, 所以|PF2|=2a 3 ≥c-a,即 2a≥3c-3a,即 5a≥3c, 则c a ≤5 3.] 7. 13 3 解析 a+b=5,ab=6,解得 a,b 的值为 2 或 3. 又 a>b,∴a=3,b=2.∴c= 13,从而 e=c a = 13 3 . 8.x2 9 -y2 16 =1(x>3) 解析 以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中点为原点建立直角坐标系,则 B(-5,0),C(5,0), 而|AB|-|AC|=6<10.故 A 点的轨迹是双曲线的右支,其方程为x2 9 -y2 16 =1(x>3). 9. x2 9 4 -y2 4 =1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x2 9 -y2 16 =1 有相同的渐近线,∴可设所求双曲线的方程为x2 9 -y2 16 =λ (λ≠0).∵点(-3,2 3)在双曲线上, ∴λ=-32 9 -2 32 16 =1 4. ∴所求双曲线的方程为x2 9 4 -y2 4 =1. 10.解 (1)因直线 x=15 4 与渐近线 4x+3y=0 的交点坐标为 15 4 ,-5 ,而 3<|-5|,故双 曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为x2 a2 -y2 b2 =1,由 15 4 2 a2 -32 b2 =1, b2 a2 = 4 3 2, 解得 a2=9, b2=16. 故所求的双曲线方程为x2 9 -y2 16 =1. (2)设 F1、F2 为双曲线的两个焦点.依题意,它的焦点在 x 轴上. 因为 PF1⊥PF2,且|OP|=6, 所以 2c=|F1F2|=2|OP|=12,所以 c=6. 又 P 与两顶点连线夹角为π 3 , 所以 a=|OP|·tanπ 6 =2 3,所以 b2=c2-a2=24. 故所求的双曲线方程为x2 12 -y2 24 =1. 11.解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB 的方程为 y-2=k(x-1), 即 y=kx+2-k,由 y=kx+2-k x2-y2 2 =1 得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0, 当Δ>0 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 1=x1+x2 2 =k2-k 2-k2 , ∴k=1,满足Δ>0,∴直线 AB 的方程为 y=x+1. 方法二 (用点差法解决) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x21-y21 2 =1 x22-y22 2 =1 , 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=1 2(y1-y2)(y1+y2). ∵x1≠x2,∴y1-y2 x1-x2 =2x1+x2 y1+y2 , ∴kAB=2×1×2 2×2 =1,∴直线 AB 的方程为 y=x+1, 代入 x2-y2 2 =1 满足Δ>0. ∴直线 AB 的方程为 y=x+1. 12. D [设双曲线方程为x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线方程为 y=b ax, 而 kBF=-b c ,∴b a·(-b c)=-1,整理得 b2=ac. ∴c2-a2-ac=0,两边同除以 a2,得 e2-e-1=0, 解得 e=1+ 5 2 或 e=1- 5 2 (舍去),故选 D.] 13.解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得 x2 a2 -y2=1, x+y=1 有两个不同的解, 消去 y 并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,① ∴ 1-a2≠0, Δ=4a4+8a21-a2>0, 解得- 20,∴0 6 2 且 e≠ 2. ∴双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 6 2 , 2 ∪( 2,+∞). (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1). ∴(x1,y1-1)= 5 12(x2,y2-1), 由此可得 x1= 5 12x2.∵x1,x2 都是方程①的根, 且 1-a2≠0,∴x1+x2=17 12x2=- 2a2 1-a2 , x1x2= 5 12x22=- 2a2 1-a2 ,消去 x2 得- 2a2 1-a2 =289 60 , 即 a2=289 169.又∵a>0,∴a=17 13.
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