湖南省衡阳一中2021届高三上学期第一次月考数学试题答案

湖南省衡阳一中2021届高三上学期第一次月考数学试题答案

第 1 页 共 4 页 衡阳市第一中学 2021 届高三第一次月考数学参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A B D C A D ABD ABCD ACD AB 填空题 13.  10， 14.  1- ， 15.  24- ， 16. 1 解答题 17. 解：（1）由题意知 BACBA sinsinsin1sinsin-1 222  即 BACBA sinsinsinsinsin 222  ，由正弦定理得 abcba  222 ， 由余弦定理得 2 1 2cos 222  ab cbaC ，又 30   CC （2） 42 22222  cabcabcbaab ，当且仅当 ba  时取等号， 又 34 3sin2 1  abCabS ABC ，则 ABC 面积的最大值为 3 . 18. 解：（1） 23326,510 323232324  aaaaaaaaS ，或，又 则 nana nn  5或 ，又数列 na 为正项数列，则 nan  当 2n  时， 1 1 2n n n nb T T     ；当 1n  时， 1 1 1b T  也满足上式，∴ 12n nb  ． （2）由题可知， 1, 2n n n n na n c a b n     ，记数列 nc 的前 n 项和为 nG  0 1 2 2 11 2 2 2 3 2 1 2 2n n nT n n             ，  1 2 3 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n n nT n n            ，  1 11 2 2 2 1 2 1n n n nT n n           ，故  1 2 1n nT n    ． 19.解：（1）在等腰梯形 ABCD 中，连接 BD，交 AE 于点 O， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形 ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形 ABCD 中， 3C ADE     ， 2 3DAB ABC     ,∴在等腰 ADB 中， 6ADB ABD     ∴ 2 3 6 2DBC       ,即 BD⊥BC，∴BD⊥AE， nG nG2 nG- nG 第 2 页 共 4 页 翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又 , ,OP POB OB POB OP OB O   平面 平面 ， AE POB  平面 ， ,PB POB AE PB   平面 ； （2） 2 7,2 31  OCOECOCPODO 中，由余弦定理可得在连接）知由（  OAEOCAEPOOCPOOCPOPCPOC ,,222 ，又可知中有在 ABCEPO 面 ，则以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标 系，由题意得，各点坐标为,                             0,2 3,2 1,2 3,0,2 1,0,2 3,1,0,0,2 1,2 3,0,0 ECPECEP 设平面 PCE 的一个法向量为 1 ( , , )n x y z ，则 1 1 1 3 00 2 2, , 0 1 3 02 2 x zPE n EC n x y                设 3x  ，则 y=-1,z=1，∴ 1 ( 3,-1,1)n  ， 由题意得平面 PAE 的一个法向量 2 (0,1,0)n  ， 设二面角 A-EP-C 为 ， 1 2 1 2 | | 1 5|cos |= 5| || | 5 n n n n         . 易知二面角 A-EP-C 为钝角，所以 5cos =- 5  . （射影面积法也可） 20.解： (1) 依题意： 155 24201310835 54321  yx ， 故        1841042 25 1 25 1 5 1    i i i ii i i yyxxyyxx ，， ，则        0.981 1154 42 1 1 22 1           n i n i ii n i ii yyxx yyxx r 故管理时间 y 与土地使用面积 x 线性相关 . 第 3 页 共 4 页 (2) 依题意，女性村民中不愿意参与管理的人数是 50 ，计算得 k 2 的观测值为 k 2 = 300×(150×50−50×50) 2 200×100×200×100 = 300×5000×5000 200×100×200×100 = 18.75 > 10.828故有 99.9% 的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关 . (3) 依题意， X 的可能取值为 0,1,2,3, 从该贫困县中随机抽取一名，则取到愿意参与管理的男 性村民的概率为 2 1 . 8 1 2 1)3(,8 3 2 1)2(,8 3 2 1)1(,8 1 2 1)0( 3 3 3 3 2 3 3 1 3 3                  CXPCXPCXPXP 故 x 的分布列为 X 0 1 2 3 P 8 1 8 3 8 3 8 1 则数学期望为   2 3 8 138 328 318 10 XE . 21.（1）由已知， ,A B 的坐标分别是    ,0 , 0,A a B b 由于 ABC 的面积为 3 ， 1 (2 ) 32 b a   ，又由 3 2e  得 2a b ，解得： =1b ，或 = 3b  （舍去）， 2, =1a b  椭圆方程为 2 2 14 x y  ； （2）设直线 PQ 的方程为 2y kx  ， ,P Q 的坐标分别为    1 1 2 2, , ,P x y Q x y 则直线 BP 的方程为 1 1 1 1yy xx   ，令 0y  ，得点 M 的横坐标 1 1 1M xx y   直线 BQ 的方程为 2 2 1 1yy xx   ，令 0y  ，得点 N 的横坐标 2 2 1N xx y   1 2 1 2( 1)( 1)M N x xx x y y      1 2 1 2( 3)( 3) x x kx kx    1 2 2 1 2 1 23 ( ) 9 x x k x x k x x     把直线 2y kx  代入椭圆 2 2 14 x y  得 2 2(1 4 ) 16 12 0k x kx    由韦达定理得 1 2 2 12 1 4x x k   , 1 2 2 16 1 4 kx x k     第 4 页 共 4 页 ∴ 2 2 2 2 2 12 1 4 12 48 91 4 1 4 M N kx x k k k k      2 2 2 12 4 12 48 9 36 3k k k    ，是定值． 22.解：（1）当 1x  时,   2 1ln 1 ln x xf x x     ,令   1ln 1F x x x    ,则   2 1 1 0F x x x     , 因此  F x 在  1, 上为增函数,又    4 53 ln 3 0, 4 ln 4 03 4F F      , ∴  0 3,4x  使得    0 0 0F x f x  ,即 0 0 1ln 1x x   , 当 01 x x  时,   0f x  ,  f x 为减函数；当 0x x 时,   0f x  ,  f x 为增函数； ∴      0 0 0 0min 0 0 1 1 3,41ln 1 x xf x f x xx x        ,所以整数 m 的最大值为 3 （2）法一：要证    f x g x ,即证 2 1ln 0x xx e   , 令   2 1ln x xh x x e   ,则   2 3 21 2 1 2x x x x x e x x xh x x e xe         , 令   3 22xx e x x x     ,则   23 4 1xx e x x     ,    6 4, 6x xx e x x e       , ∵   0x  ,∴  x 在 1, 上为增函数,又  1 2e   ,∴   0x  , ∴  x 在 1, 上为增函数,又  1 2e   ,∴   0x  , ∴  x 在  1, 上为增函数,又  1 2e   ,∴   0x  ,即   0h x  , ∴  h x 在  1, 上为增函数,∴    1 0h x h  ,故    f x g x . 法二：放缩法.