数学理卷·2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考（2017

数学理卷·2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考（2017

天津市耀华中学2018届高三上学期第一次月考 数学试卷（理科）‎ 一、 选择题：本大题共小题，每小题分，共分 ‎1.已知是虚数单位，则复数 ‎2.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值是 ‎3.阅读右面的程序框图，则输出的 ‎4.在的二项展开式中，的系数为 ‎5.已知，那么是的 ‎ ‎ ‎6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为 7. 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则的大小关系为 ‎ ‎ ‎8.已知函数，若方程恰有四个不同的解，则的取值范围是 一、 填空题：本大题共小题，每小题分，共分 ‎9.设集合，，若，则实数 ‎10.设数列是首相为，公差为的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为 ‎11.直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为 ‎12.函数的最小值为 ‎13.已知棱长为的正四面体的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为 ‎14.梯形中，，点在线段上，点在线段上，且，则的最小值为 ‎ 二、 解答题：本大题共个小题，共计分 ‎15.（本小题满分13分）‎ 设的内角所对的边分别为，且 ‎(1)求的值 ‎(2)求的值 ‎16.（本小题满分13分）‎ 一盒中装有张各写有一个数字的卡片，其中张卡片上的数字是，张卡片上的数字是，张卡片上的数字是.从盒中任取张卡片.‎ ‎(1)求所取张卡片上的数字完全相同的概率 ‎(2)表示所取张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望.‎ ‎（注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数）‎ ‎17.（本小题满分13分）‎ 如图，，为的中点，，.‎ ‎(1)求证：‎ ‎(2)求证：‎ ‎ ‎ ‎(3)设为线段上一点，，试确定实数的值，使得二面角为 ‎18.（本小题满分13分）‎ 正项等比数列的前项和记为，，.‎ ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)等差数列的各项为正，且，又成等比数列，设，求数列的前项和.‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为.‎ ‎(1)求椭圆的方程 ‎ (2)若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知函数的最小值为，其中.‎ ‎(1)求的值 ‎(2)若对任意的，有成立，求实数的最小值 ‎(3)证明：‎ 数学参考答案（理科）‎ 一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分 ‎1.A； 2.C； 3.B； 4.C； 5.B； 6.D； 7.A； 8.B 二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分 ‎9.； 10.； 11.3； 12. ； 13.； 14.‎ 三、解答题：本大题共个小题，共计分 ‎15.（本小题满分13分）‎ 解：(1)由与余弦定理得，，又，解得 (2) 又，，与正弦定理得，，.‎ 所以 ‎16.（本小题满分13分）‎ 解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 (2) 的所有可能值为1，2，3，且 ‎，，‎ ‎，故的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而 ‎17.（本小题满分13分）‎ ‎(1)证明：以C为原点建立空间直角坐标系，， ，‎ 则，，‎ 易知为平面ABC的一个法向量，‎ ‎，；‎ ‎(2)证明：，，，‎ ‎，，，‎ ‎；‎ ‎(3)解：由(2)知平面BCD的法向量为 ‎，，，‎ 而，设平面QCD的法向量为，‎ 由得，，‎ 令，则，，即，‎ 故，‎ 解得，由得，.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 解：(1)设公比为，则，得 ‎，，；‎ ‎(2)设的公差为，由，可设，‎ 又，，，由题意可得，‎ 解得，等差数列的各项为正，‎ ‎，，；‎ ‎，则，①‎ ‎，②‎ 由①-②得，‎ ‎，.‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 解：(1)由题设，，，解得 椭圆的方程为；‎ ‎(2)由题设，以，为直径的圆的方程为，圆心到直线的距离为 由得，①，，‎ 设，，‎ 由得，，‎ ‎，，，‎ 由得，，解得，满足①，‎ ‎∴直线的方程为.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 解：(1)的定义域为 ‎，由，得 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，‎ 为唯一的极小值，也是最小值，‎ 故由题意，所以.‎ ‎(2)当时，取，有，故不符合题意 当时，令，即 令，得，‎ ‎①当时，，在上恒成立，因此在上单调递减，从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.‎ ‎②当时，，对于，‎ 故在内单调递增，因此，当取时，，‎ 即不成立.‎ 故不符合题意.‎ ‎(3)证明：当时，不等式左边右边，所以不等式成立，‎ 当时，‎ 在(2)中取得，，从而 所以 综上.‎