福建省永安市两校联考2020届高三上学期第一次月考数学（文）试题

福建省永安市两校联考2020届高三上学期第一次月考数学（文）试题

‎“永安一中”、“漳平一中”两校联考2019-2020学年上学期第一次月考高三数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.‎ ‎1.已知函数的图形如图所示，设集合，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由函数图像可知，，所以。故选C。 ‎ ‎2.若，则“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“”（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将复数化简成形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出的取值范围，即可判断与的关系。‎ ‎【详解】，所以共轭复数，‎ 因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限 所以，解得 ‎ 所以“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“” 充要条件，故选C ‎【点睛】本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出的取值范围，属于一般题。‎ ‎3.若向量，，则与共线的向量可以是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.‎ ‎【详解】‎ 故选B ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.‎ ‎4.执行下边的程序框图，输入，则输出S的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定流程图功能，然后求解输出值即可.‎ ‎【详解】由流程图可知流程图的功能为计算的值，‎ 故输出值.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：‎ ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎5.将偶函数的图像向右平移个单位，得到的图像，则的一个单调递减区间（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简函数的解析式，然后结合平移变换的结论得到的解析式，最后确定其单调区间即可.‎ ‎【详解】由函数的解析式可得：，‎ 函数为偶函数，则时，，即，‎ 令可得，‎ 故，‎ 图像向右平移个单位，可得，‎ 函数的单调递减区间满足：，‎ 解得：，‎ 当时，单调递减区间为，故选项B正确，‎ 其余选项无法找到整数k满足所给的区间.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性，三角函数的平移方法，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，假如从第天开始每天走的路程少于30里，则的最小值是（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 每天走的路程可看成一个等比数列，根据条件可求出等比数列的通项公式，从而可知道每天走的路程，选出正确答案.‎ ‎【详解】由题意，记每天走的路程为是公比为的等比数列，又由，解得，所以，则， ，即从第4天开始，走的路程少于30里，则n的最小值是4，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用，求出其通项公式是解决本题的关键.‎ ‎7.在中，角所对的边分别为，若，则的值是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理，化简可得，联立题目给出的等式可算出，接着根据同角三角函数的基本关系可得到，.‎ ‎【详解】在中，由余弦定理得，，‎ 根据题意，，可得，A为锐角，则，因此，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查根据三角形中的边角关系式求三角函数值，利用余弦定理等价变形是解决本题的关键.‎ ‎8.已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若 在内单调递减，则下面结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可判断函数f（x）的周期为6，对称轴为x＝3，所以有f（12.5）＝f（0.5），f（-4.5）＝f（1.5），f（3.5）＝f（2.5），因为0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且函数在（0，3）内单调递减，从而判断大小 ‎【详解】∵函数满足，∴=，‎ ‎∴f（x）在R上是以6为周期的函数，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），‎ 又为偶函数，∴f（x）的对称轴为x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），‎ 又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，‎ 且在（0，3）内单调递减，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）‎ 即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5）‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数周期性与对称性的推导，考查了周期与单调性的综合运用，利用周期与对称把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法，属于中档题．‎ ‎9.有两个等差数列，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把等式右边变为两个等差数列前项和的比的形式，最后利用等差数列的下标性质求出的值.‎ ‎【详解】设等差数列前项和分别，‎ ‎，,故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列前项和和等差数列的下标性质，考查了数学运算能力.‎ ‎10.甲船在岛A的正南B处，以的速度向正北航行，，同时乙船自岛A出发以的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以B岛为顶点，角度是120度的三角形，设两船距离最近时航行时间为t（h），距离为s（km），此时甲船到B岛距离为（10-4t）km，乙船距离B岛6t（km），利用余弦定理，求出甲乙两船相距最近时，他们的航行时间.‎ ‎【详解】两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以B岛为顶点，角度是120度的三角形，设两船距离最近时航行时间为t（h），距离为s（km），此时甲船到B岛距离为（10-4t）km，乙船距离B岛6t（km），且有，由余弦定理得 ‎，化简得，，抛物线开口向上，在对称轴处有最小值，即当时，取最小值.选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形问题在实际中的应用.‎ ‎11.在中，点满足，，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎△ABC中,点M,N满足，,‎ 所以，‎ 结合题意可得：x=,y=−，‎ 所以x+y=.‎ 本题选择A选项.‎ ‎12.已知定义域为的函数，对任意的都有，且.当时，不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，求导可得在R上单调递增，求的解集，等价于求的解集，接着利用在R上单调递增，可得到答案.‎ ‎【详解】设，则，， 在R上单调递增，又，求的解集，等价于求的解集，在R上单调递增，，且，，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导函数解不等式，构造一个新函数是解决本题关键.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.‎ ‎13.以轴的非负半轴为始边的角，其终边经过点，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可求得，然后和差公式展开可求得的值.‎ ‎【详解】根据题意得， ，‎ ‎【点睛】本题主要考查利用终边上一点的坐标求三角函数值以及和差公式的应用.‎ ‎14.数列中，，则该数列的前22项和等于_______.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一求出数列的前4项，得此数列是以3为周期的周期数列，从而求得该数列的前22项和.‎ ‎【详解】在数列中，因为，所以，则数列是以3为周期的周期数列，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查周期数列的前n项和，确定其周期是解决本题的关键.‎ ‎15.已知平面向量，，，则在方向上的射影为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平方运算可构造方程求得，根据射影的公式可求得结果.‎ ‎【详解】 ‎ 解得：‎ 在方向上的射影为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查在 方向上的射影的求解问题，关键是能够通过模长的平方运算求得数量积的值.‎ ‎16.已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题方程恰有两个不同的实数根，得与有2个交点，利用数形结合得a的不等式求解即可 ‎【详解】由题可知方程恰有两个不同的实数根，所以与有2个交点，‎ 因为表示直线的斜率，当时，，设切点坐标为，，‎ 所以切线方程为，而切线过原点，所以，，，‎ 所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，‎ 所以实数的取值范围是.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知在公差不为零的等差数列中，成等比数列.‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）若数列满足，，求.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1) 设等差数列的公差为，根据等比数列的定义进行基本量运算,求出数列的通项公式;(2)求出数列的通项公式,根据裂项相消法计算数列的和.‎ 试题解析:‎ ‎（I）设等差数列的公差为，，则依题意得：‎ ‎；‎ ‎（II）由（I）有，所以，‎ ‎.‎ ‎18.已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．‎ ‎（Ⅰ）求ω的值和f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0在区间[0，]上有两个实数解，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ），函数的增区间为．（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用三角函数恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，即可求得结论；‎ ‎（Ⅱ）由题意，函数的图象和直线在区间上有两个不同的交点，利用正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的图象特征，即可求解的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，函数 ‎ 所以函数的最小正周期为，∴，即 ．‎ 令，求得，‎ 可得函数的增区间为．‎ ‎（Ⅱ）在区间上，则，则，‎ 即，‎ 关于x的方程在区间上有两个实数解，‎ 则的图象和直线在区间上有两个不同的交点，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及把关于x的方程在区间上有两个实数解，转化为两个函数图象的交点个数是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎19.已知数列的前项和为，并且满足 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，求证：‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用和项可求得的通项公式，注意别漏了说明；‎ ‎（2）先用错位相减法求出数列的前项和，从而可知 ‎【详解】（1） ,①‎ ‎ 当 时， ，②‎ 由①—②可得： ,且 ‎ 数列 是首项为1，公差为2的等差数列，即 ‎ ‎（2）由（1）知数列， ,‎ 则 ,① ‎ ‎∴ ,②‎ 由①﹣②得 ‎ ,‎ ‎∴ ,.‎ ‎【点睛】本题主要考查给出的一个关系式求数列的通项公式以及用错位相减法求数列的前n项和.‎ ‎20.如图，四边形中，，，，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）记，当为何值时，面积有最小值？求出最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据四边形的内角和为，求出，因为，，所以可求出，然后在中，利用正弦定理可求得CD；‎ ‎（2）根据正弦定理，可得，，，通过降幂公式和和差公式化简后，可得的最小值.‎ ‎【详解】（1）在四边形中，因为，，‎ 所以 ，‎ 在中,可得，，‎ 由正弦定理得:,解得： .‎ ‎（2）因为，可得, ‎ 四边形内角和得， ‎ 在中，. ‎ 在中，， ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时，取最小值.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正弦定理求边角以及正弦定理在解决实际问题的应用.‎ ‎21.设函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间； ‎ ‎（2）若函数的最小值为，证明：．‎ ‎【答案】（1）单调减区间为，单调增区间；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，通分之后因式分解，令，可得增区间，令，可得减区间，注意别漏掉函数的定义域；‎ ‎（2）根据（1）可求得函数的最小值，然后对函数求导，求出的最大值，结论得证.‎ ‎【详解】（1）根据题意，可得的定义域为，对求导可得，，令可得，‎ 当时，；当 时，，‎ 单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎（2）由（1） ,‎ ‎，容易得到在上单调递减， ‎ ‎，当时，；当时，，‎ 在单调递增，单调递减， ‎ ‎.‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查用导数求含参函数的单调区间；‎ ‎（2）本题主要考查利用导函数证明不等式，求出的最大值是解决本题的关键.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标，直线的参数方程为（为参数），与交于，两点．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）设点；若、、成等比数列，求的值 ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为 ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎(2)把的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得，，可得到，根据因为，，成等比数列，列出方程，即可求解．‎ ‎【详解】(1)由题意，曲线的极坐标方程可化为，‎ 又由，可得曲线的直角坐标方程为，‎ 由直线的参数方程为（为参数），消去参数，得，‎ 即直线的普通方程为； ‎ ‎(2)把的参数方程代入抛物线方程中，得， ‎ 由，设方程的两根分别为，，‎ 则，，可得，． ‎ 所以，，． ‎ 因为，，成等比数列，所以，即，‎ 则，解得解得或（舍），‎ 所以实数.‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞2的解集；‎ ‎(2)若对任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) .(2) [－1，2＋]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对分情况讨论，去绝对值处理，从而求解出结果；‎ ‎（2）对任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，即求函数 ‎，根据绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值为|a|，故原不等式等价于|a|≥a3－3a－3，分情况讨论，进行求解。‎ ‎【详解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.‎ ‎,当x≤1时，f(x)＝1－x＋2－x＝3－2x，‎ 由f(x)＞2可得，‎ 即 解得x＜；‎ ‎,当1＜x≤2时，f(x)＝x－1＋2－x＝1，‎ 此时f(x)＞2无解；‎ ‎,当x＞2时，f(x)＝x－1＋x－2＝2x－3，‎ 此时由f(x)＞2可得，‎ 即，‎ 解得x＞。‎ 综上，可得不等式f(x)＞2的解集为。‎ ‎(2)因为f(x)＝|x－a|＋|x－2a|≥|(x－a)－(x－2a)|＝|a|，‎ 故f(x)取得最小值|a|，‎ 因此原不等式等价于|a|≥a3－3a－3。‎ ‎，当a≥0时，有a≥a2－3a－3，‎ 即a2－4a－3≤0，‎ 解得2－≤a≤2＋，‎ 此时有0≤a≤2＋；‎ ‎，当a＜0时，有－a≥a2－3a－3，‎ 即a2－2a－3≤0，‎ 解得－1≤a≤3，‎ 此时有－1≤a＜0。‎ 综上，可知a的取值范围是[－1，2＋]。‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，主要采用的方法是分类讨论，本题还考查了含参绝对值函数的最值问题，解决问题的方法是利用绝对值不等式的性质进行求解。‎