2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9-1　直线方程与圆的方程（讲解部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9-1　直线方程与圆的方程（讲解部分）

第九章 平面解析几何 §9.1 直线方程与圆的方程 高考数学 考点一　直线方程 1.直线的倾斜角 (1)对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按① 　逆时针     方向旋 转到和直线重合时,所转的最小正角记为 α ,那么 α 就叫做直线的倾斜角. (2)规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0. (3)范围:直线的倾斜角 α 的取值范围是② 　[0,π)     . 2.直线的斜率 (1)定义:当直线 l 的倾斜角 α ≠   时,其倾斜角 α 的正切值tan α 叫做这条直线 的斜率,斜率通常用小写字母 k 表示,则 k =tan α . 考点清单             . 3.直线方程的几种形式 (2)范围:全体实数R. (3)斜率公式:经过两点 P 1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 )( x 1 ≠ x 2 )的直线的斜率公式为   =③ 名称 方程 说明 适用条件 斜截式 y = kx + b k 是斜率, 与 x 轴不 垂直的直线 b 是纵截距 点斜式 y - y 0 = k ( x - x 0 ) ( x 0 , y 0 )是直线上的已知点, k 是斜率 两点式   =   ( x 1 ≠ x 2 , y 1 ≠ y 2 ) ( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 )是直线上的两个已知点 与两坐标轴均不垂直 的直线 截距式   +   =1 a 是直线的横截距, b 是直线的纵截距 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax + By + C =0( A 2 + B 2 ≠ 0) 当 B =0时,-   是直线的横截距 所有直线 当 A ≠ 0, B ≠ 0时,-   ,-   ,-   分别为直线的斜率、横截距、纵截距 注意　(1)当直线与 x 轴不垂直时,可设直线的方程为 y = kx + b ;当不确定直线 的斜率是否存在时,可设直线的方程为 ky + x + b =0. (2)特殊直线的方程,过 P 1 ( x 1 , y 1 )且垂直于 x 轴的直线方程为 x = x 1 ;过 P 1 ( x 1 , y 1 )且 垂直于 y 轴的直线方程为④      y = y 1      . 知识拓展　 常见的直线系方程 (1)过定点 P ( x 0 , y 0 )的直线系方程: A ( x - x 0 )+ B ( y - y 0 )=0( A 、 B 不同时为0),也可以 表示为 y - y 0 = k ( x - x 0 )和 x = x 0 ; (2)平行于直线 Ax + By + C =0( A 2 + B 2 ≠ 0)的直线系方程: Ax + By + C 0 =0( C ≠ C 0 ); (3)垂直于直线 Ax + By + C =0( A 2 + B 2 ≠ 0)的直线系方程: Bx - Ay + C 0 =0; (4)过两条已知直线 l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 =0(   +   ≠ 0)和 l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 =0(   +   ≠ 0)交点的直线系方程: A 1 x + B 1 y + C 1 + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 )=0( λ ∈R,这个直线系不包 括直线 l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 =0,解题时,注意检验 l 2 的方程是否满足题意,以防丢解). 考点二　圆的方程 圆的方程 名称 方程 圆心 半径 标准 方程 ( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0) ( a , b ) r 一般 方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0 ( D 2 + E 2 -4 F >0)   -   ,-         温馨提示　(1)方程( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 中,若没有给出 r >0,则圆的半径为| r |,实数 r 可以取负值. (2)方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0中, 若 D 2 + E 2 -4 F =0,方程表示点   ;若 D 2 + E 2 -4 F <0,方程不表示任何图形. (3)圆的一般方程的形式特点: (i) x 2 和 y 2 的系数为1; (ii) 没有含 xy 的二次项; (iii) A = C ≠ 0且 B =0是二元二次方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =0表示圆的必要 不充分条件. (4)已知 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ),则以 PQ 为直径的圆的方程为( x - x 1 )( x - x 2 )+( y - y 1 )( y - y 2 )=0. 考法一　 求直线的倾斜角和斜率 知能拓展 例1　 已知点(1,-2)和   在直线 l : ax - y -1=0( a ≠ 0)的两侧,则直线 l 的倾斜 角的取值范围是       (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   ∪   解题导引 　解法一:对含一个参数的直线方程,要善于发现该直线过定点, 然后数形结合,在坐标系中转动直线使点(1,-2)和   在直线 l 的两侧,求 出直线 l 的斜率的取值范围,从而可求倾斜角的取值范围. 解法二:在坐标系中,位于直线 Ax + By + C =0同侧的点( x 0 , y 0 ),代入坐标后, Ax 0 + By 0 + C 符号相同,而位于不同侧的点,代入坐标后符号相反,因此代入两点坐 标,列不等关系式,求出直线 l 的斜率的取值范围,即可得倾斜角的取值范围. 解析 　解法一:设直线 l 的倾斜角为 θ ,且 θ ∈[0,π),点 A (1,-2), B   .直线 l : ax - y -1=0( a ≠ 0)经过定点 P (0,-1),则 k PA =   =-1, k PB =   =   . ∵点(1,-2)和   在直线 l : ax - y -1=0( a ≠ 0)的两侧, ∴ k PA < a < k PB ( a ≠ 0),∴-10), 则圆心( a , b )到直线 x - y -3=0的距离 d =   , ∴ r 2 =   +   ,即2 r 2 =( a - b -3) 2 +3.① ∵所求圆与直线 x - y =0相切,∴   = r , ∴( a - b ) 2 =2 r 2 .② 又∵圆心在直线 x + y =0上,∴ a + b =0.③ 联立①②③,解得   故圆 C 的方程为( x -1) 2 +( y +1) 2 =2. 解法二:∵所求圆的圆心在直线 x + y =0上, ∴设所求圆的圆心为( a ,- a ). 又∵所求圆与直线 x - y =0相切,∴半径 r =   =   | a |. 又所求圆在直线 x - y -3=0上截得的弦长为   ,圆心( a ,- a )到直线 x - y -3=0的距 离 d =   , ∴ d 2 +   = r 2 ,即   +   =2 a 2 , 解得 a =1,∴圆 C 的方程为( x -1) 2 +( y +1) 2 =2. 解法三:设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0, 则圆心为   ,半径 r =     , ∵圆心在直线 x + y =0上,∴-   -   =0,即 D + E =0,① 又∵圆 C 与直线 x - y =0相切, ∴   =     ,即( D - E ) 2 =2( D 2 + E 2 -4 F ),∴ D 2 + E 2 +2 D · E -8 F =0.② 又知圆心   到直线 x - y -3=0的距离 d =   ,由已知得 d 2 +   = r 2 , ∴( D - E +6) 2 +12=2( D 2 + E 2 -4 F ),③ 联立①②③,解得   故所求圆的方程为 x 2 + y 2 -2 x +2 y =0, 即( x -1) 2 +( y +1) 2 =2. 答案　 ( x -1) 2 +( y +1) 2 =2 方法总结     1.选择方程的原则 (1)已知条件多与圆心、半径有关,或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离 等有关,则设圆的标准方程为( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0); (2)已知圆上的三个点的坐标时,设圆的一般方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0( D 2 + E 2 -4 F >0). 2.求圆的方程的方法 (1)待定系数法:①根据题意,选择方程形式(标准方程或一般方程);②根据条件列出关于 a , b , r 或 D , E , F 的方程(组);③解出 a , b , r 或 D , E , F ,代入所选的方程中即可. (2)几何法:在求圆的方程过程中,常利用圆的一些性质或定理直接求出圆 心和半径,进而可写出标准方程.常用的几何性质有:①圆心在过切点且与 切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心在一条直线上.