【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

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【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

知识点 考纲下载 直线的方程 ‎ 在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.‎ ‎ 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.‎ ‎ 掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.‎ 两直线的位置关系 ‎ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.‎ ‎ 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.‎ ‎ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.‎ 圆的方程 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.‎ 直线、圆的位置关系 ‎ 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.‎ ‎ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.‎ ‎ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ 椭 圆 ‎ 了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎ 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.‎ 双曲线 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ 抛物线 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.‎ 曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.理解数形结合的思想,了解圆锥曲线的简单应用.‎ 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0,π).‎ ‎2.直线的斜率 条件 公式 直线的倾斜角θ,且θ≠90°‎ k=tan__θ 直线过点A(x1,y1),B(x2,y2)且x1≠x2‎ k= ‎3.直线方程的五种形式 名称 已知条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x1,y1)‎ y-y1=k(x-x1)‎ 不含直线x=x1‎ 斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 续 表 名称 已知条件 方程 适用范围 两点式 两点(x1,y1),(x2,y2)‎ = ‎(x1≠x2,y1≠y2)‎ 不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)‎ 截距式 ‎ 直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b +=1‎ ‎(a≠0,b≠0)‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0‎ ‎(A2+B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.(  )‎ ‎(2)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.(  )‎ ‎(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(  )‎ ‎(4)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.(  )‎ ‎(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√‎ ‎ (教材习题改编)经过点P0(2,-3),倾斜角为45°的直线方程为(  )‎ A.x+y+1=0       B.x+y-1=0‎ C.x-y+5=0 D.x-y-5=0‎ 解析:选D.由点斜式得直线方程为 y-(-3)=tan 45°(x-2)=x-2,‎ 即x-y-5=0,故选D.‎ ‎ 如果AC<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选C.由题意知直线的斜率k=-<0,直线在y轴上的截距b=->0,故选C.‎ ‎ 经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y=________.‎ 解析:tan ===y+2,‎ 因此y+2=-1,y=-3.‎ 答案:-3‎ ‎ (教材习题改编)经过点(-4,3)且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________.‎ 解析:由题意可设方程为x+y=a,‎ 所以a=-4+3=-1.‎ 所以直线方程为x+y+1=0.‎ 答案:x+y+1=0‎ ‎      直线的倾斜角与斜率 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)直线2xcos α-y-3=0的倾斜角的变化范围是(  )‎ A.         B. C. D. ‎(2)已知直线l:x-my+m=0上存在点M满足与两点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率kMA与kMB之积为3,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[-, ]‎ B.∪ C.∪ D.以上都不对 ‎【解析】 (1)直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α.由于α∈,所以≤cos α≤,因此k=2cos α∈[1,].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,].由于θ∈[0,π),所以θ∈,即倾斜角的变化范围是.‎ ‎(2)设M(x,y),由kMA·kMB=3,得·=3,即y2=3x2-3.‎ 联立得x2+x+6=0.‎ 要使直线l:x-my+m=0上存在点M满足与两点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率kMA与kMB之积为3,则Δ=-24≥0,即m2≥.所以实数m的取值范围是∪.故选C.‎ ‎【答案】 (1)B (2)C 若本例(1)中直线变为x+ycos θ-3=0(θ∈R),则直线的倾斜角α的取值范围为________.‎ 解析:当cos θ=0时,方程变为x-3=0,其倾斜角为;‎ 当cos θ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-.‎ 因为cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,‎ 所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),‎ 即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),‎ 又α∈[0,π),所以α∈∪,‎ 综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是.‎ 答案: ‎(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ‎①求出斜率k=tan α的取值范围.‎ ‎②利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.‎ 求倾斜角时要注意斜率是否存在.‎ ‎(2)斜率的求法 ‎①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率.‎ ‎②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈∪,则k的取值范围是________.‎ 解析:当α∈时,k=tan α∈;‎ 当α∈时,k=tan α∈[-,0).‎ 综上k∈[-,0)∪.‎ 答案:[-,0)∪ ‎2.曲线y=x3-x+5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________.‎ 解析:记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ,‎ 因为y′=3x2-1≥-1,‎ 所以tan θ≥-1,‎ 所以θ为钝角时,应有θ∈;‎ θ为锐角时,tan θ≥-1显然成立.‎ 综上,θ的取值范围是∪.‎ 答案:∪ ‎      求直线的方程 ‎ [典例引领]‎ ‎ 根据所给条件求直线的方程:‎ ‎(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;‎ ‎(2)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;‎ ‎(3)(待定系数法)直线过点(5,10),到原点的距离为5.‎ ‎【解】 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α,则sin α=(0<α<π),‎ 从而cos α=±,‎ 则k=tan α=±.‎ 故所求直线方程为y=±(x+4).‎ 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.‎ ‎(2)设直线l在x,y轴上的截距均为a,‎ 若a=0,即l过点(0,0)及(4,1),‎ 所以l的方程为y=x,即x-4y=0.‎ 若a≠0,则设l的方程为+=1,‎ 因为l过点(4,1),所以+=1,‎ 所以a=5,‎ 所以l的方程为x+y-5=0.‎ 综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.‎ ‎(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0,当斜率存在时,设其为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),‎ 即kx-y+(10-5k)=0.‎ 由点到直线的距离公式,得=5,‎ 解得k=.‎ 故所求直线方程为3x-4y+25=0.‎ 综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.‎ ‎(1)求直线方程的两种常用方法 ‎①直接法:根据已知条件,确定适当的直线方程形式,直接写出直线方程;‎ ‎②待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定的系数,最后代入求出直线的方程.‎ ‎(2)求直线方程应注意的问题 ‎①选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用:选用点斜式或斜截式时,需讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,需讨论直线是否过原点.‎ ‎②求直线方程时,如果没有特别要求,求出的方程应化为一般式Ax+By+C=0(A,B不同时为0).  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.已知A(-1,1),B(3,1),C(1,3),则△ABC的BC边上的高所在直线方程为(  )‎ A.x+y=0       B.x-y+2=0‎ C.x+y+2=0 D.x-y=0‎ 解析:选B.因为B(3,1),C(1,3),‎ 所以kBC==-1,‎ 故BC边上的高所在直线的斜率k=1,‎ 又高线经过点A,‎ 所以其直线方程为x-y+2=0.‎ ‎2.过点M(-1,-2)作一条直线l,使得l夹在两坐标轴之间的线段被点M平分,则直线l的方程为________.‎ 解析:由题意,可设所求直线l的方程为y+2=k(x+1)(k≠0),直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点,则A,B(0,k-2).因为AB的中点为M,所以解得k=-2.所以所求直线l的方程为2x+y+4=0.‎ 答案:2x+y+4=0‎ ‎      直线方程的综合应用(高频考点)‎ 直线方程的综合应用是解析几何的一个基础内容,在高考中常与其他知识结合考查,多以选择题、填空题的形式呈现,难度为中、低档题目.高考中对直线方程的综合应用考查主要有以下两个命题角度:‎ ‎(1)与基本不等式相结合求最值问题;‎ ‎(2)由直线方程解决参数问题.‎ ‎ [典例引领]‎ ‎ 角度一 与基本不等式相结合求最值问题 ‎ 直线l过点P(1,4),分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点,O为坐标原点,当|OA|+|OB|最小时,求l的方程.‎ ‎【解】 依题意,l的斜率存在,且斜率为负,‎ 设直线l的斜率为k,‎ 则直线l的方程为y-4=k(x-1)(k<0).‎ 令y=0,可得A;‎ 令x=0,可得B(0,4-k).‎ ‎|OA|+|OB|=+(4-k)=5- ‎=5+≥5+4=9.‎ 所以当且仅当-k=且k<0,‎ 即k=-2时,|OA|+|OB|取最小值.‎ 这时l的方程为2x+y-6=0.‎ 角度二 由直线方程解决参数问题 ‎ 已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a的值.‎ ‎【解】 由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2,‎ 所以四边形的面积S=×2×(2-a)+×2×(a2+2)=a2-a+4=+,‎ 当a=时,面积最小.‎ 直线方程综合问题的两大类型及其解法 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.‎ ‎(2)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是(  )‎ A.[-2,2]        ‎ B.(-∞,-2]∪[2,+∞)‎ C.[-2,0)∪(0,2] ‎ D.(-∞,+∞)‎ 解析:选C.令x=0,得y=,令y=0,得x=-b,‎ 所以所求三角形的面积为|-b|=b2,且b≠0,b2≤1,所以b2≤4,所以b的取值范围是[-2,0)∪(0,2].‎ ‎2.已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为________.‎ 解析:直线方程可化为+y=1,故直线与x轴的交点为A(2,0),与y轴的交点为B(0,1),由动点P(a,b)在线段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,从而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2+,由于0≤b≤1,故当b=时,ab取得最大值.‎ 答案: ‎ 直线的倾斜角和斜率的关系 ‎(1)任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都存在斜率.‎ ‎(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:‎ α ‎0°‎ ‎0°<α<90°‎ ‎90°‎ ‎90°<α<180°‎ k ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ ‎ 求直线方程的一般方法 ‎(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.‎ ‎(2)待定系数法,具体步骤为:‎ ‎①设所求直线方程的某种形式;‎ ‎②由条件建立所求参数的方程(组);‎ ‎③解这个方程(组)求出参数;‎ ‎④把参数的值代入所设直线方程.‎ ‎ 易错防范 ‎(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.‎ ‎(2)根据斜率求倾斜角,要注意倾斜角的范围.‎ ‎(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.‎ ‎(4)由一般式Ax+By+C=0确定斜率k时易忽视判断B是否为0,当B=0时,k不存在;当B≠0时,k=-.                                            ‎ ‎1.(2018·大连模拟)倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线方程是(  )‎ A.x-y+1=0      B.x-y-=0‎ C.x+y-=0 D.x+y+=0‎ 解析:选D.由于倾斜角为120°,故斜率k=-.又直线过点(-1,0),所以方程为y=-(x+1),即x+y+=0.‎ ‎2.已知直线l的斜率为,在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为(  )‎ A.y=x+2 B.y=x-2‎ C.y=x+ D.y=-x+2‎ 解析:选A.因为直线x-2y-4=0的斜率为,‎ 所以直线l在y轴上的截距为2,‎ 所以直线l的方程为y=x+2.‎ ‎3.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是(  )‎ A.-1<k< B.k>1或k< C.k>或k<1 D.k>或k<-1‎ 解析:选D.设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),‎ 令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,‎ 则-3<1-<3,解得k>或k<-1.‎ ‎4.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+表示的直线是(  )‎ 解析:选C.因为x<0时,ax>1,所以0<a<1.‎ 则直线y=ax+的斜率0<a<1,‎ 在y轴上的截距>1.故选C.‎ ‎5.(2018·太原质检)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为(  )‎ A. B.- C.- D. 解析:选B.依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有解得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为=-.‎ ‎6.过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为________.‎ 解析:设所求直线的斜率为k,依题意 k=-×3=-.‎ 又直线经过点A(-1,-3),‎ 因此所求直线方程为y+3=-(x+1),‎ 即3x+4y+15=0.‎ 答案:3x+4y+15=0‎ ‎7.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.‎ 解析:b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,‎ 当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.‎ 所以b的取值范围是[-2,2].‎ 答案:[-2,2]‎ ‎8.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为________________.‎ 解析:设所求直线的方程为+=1,‎ 因为A(-2,2)在直线上,所以-+=1.①‎ 又因为直线与坐标轴围成的三角形面积为1,‎ 所以|a|·|b|=1.②‎ 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程组(2)无解.‎ 故所求的直线方程为+=1或+=1,‎ 即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.‎ 答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0‎ ‎9.已知直线l:+=1.‎ ‎(1)若直线l的斜率等于2,求实数m的值;‎ ‎(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O是坐标原点,求△AOB面积的最大值及此时直线的方程.‎ 解:(1)根据直线l的方程:+=1可得直线l过点(m,0),(0,4-m),所以k==2,解得m=-4.‎ ‎(2)直线l过点(m,0),(0,4-m),则由m>0,4-m>0得0
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