【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第四章第四讲　正、余弦定理及解三角形学案

【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第四章第四讲　正、余弦定理及解三角形学案

第四讲　正、余弦定理及解三角形 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1.[2018全国卷Ⅱ]在△ABC中,cosC‎2‎‎=‎‎5‎‎5‎,BC=1,AC=5,则AB=(　　)‎ A.4‎2‎ B.‎30‎ C.‎29‎ D.2‎‎5‎ ‎2.[2017 山东高考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=‎ ‎2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　)‎ A.a=2b B.b=2a ‎ C.A=2B D.B=2A ‎3.[2019福建宁德联考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形(　　)‎ A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定 ‎4.[多选题]下列说法正确的是(△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c)(　　)‎ A.在△ABC中,若A>B,则必有sin A>sin B B.在△ABC中,若A=60°,a=4‎3‎,b=4‎2‎,则B=45°或B=135°‎ C.若满足条件C=60°,AB=‎3‎,BC=a的△ABC有两个,则实数a的取值范围是(‎3‎,2)‎ D.在△ABC中,若acos B=bcos A,则△ABC是等腰三角形 ‎5.[2017全国卷Ⅲ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=‎6‎,c=3,则A=　　　　. ‎ ‎6.[2019全国卷Ⅱ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π‎3‎,则△ABC的面积为　　　　. ‎ ‎7.[2019浙江高考]在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　. ‎ ‎8.[2016全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=‎4‎‎5‎,cos C=‎5‎‎13‎,a=1,则b=　　　　. ‎ ‎9.[2019江西名校高三质检]已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S△ABC表示△ABC的面积,且有b(asin A+bsin B)= 4sin B·S△ABC+bcsin C,若c=‎6‎,则△ABC的外接圆 半径为　　　.　　　　‎ ‎10.[2015湖北高考]如图4 - 4 - 1,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=　　　m. ‎ 考法1 利用正、余弦定理解三角形 ‎1在△ABC中,C=π‎4‎,AB=2,AC=‎6‎,则cos B的值为 A.‎1‎‎2‎ B. - ‎3‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎或 - ‎3‎‎2‎‎ ‎ D.‎1‎‎2‎或 - ‎‎1‎‎2‎ 根据条件,两边和其中一边的对角→选用正弦定理求解 由题意知C=π‎4‎,c=AB=2,b=AC=‎6‎,(条件类型:两边和其中一边的对角)‎ 由正弦定理bsinB‎=‎csinC,得sin B=‎6‎sin ‎π‎4‎‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎.(利用正弦定理求sin B)‎ 因为b>c,所以B>C=π‎4‎,(利用“大边对大角”确定角的范围)‎ 又0C=π‎4‎,显然π‎3‎与‎2π‎3‎都满足题意.解该题的过程中易出现的问题是漏解.‎ ‎(2)若该题是已知B=π‎3‎,AB=‎2‎,AC=‎6‎,求C,则由正弦定理可得sin C=ABsinBAC‎=‎2‎sin ‎π‎3‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎.又AB0,则b=ta.‎ 代入上式可得a2+t‎2‎a‎2‎‎=‎t‎2‎‎16‎ - t.‎ 左边式子呈现出基本不等式的结构,故利用基本不等式可得t‎2‎‎16‎ - t=a2+t‎2‎a‎2‎≥2a‎2‎‎×‎t‎2‎a‎2‎=2t,即t‎2‎‎16‎≥3t,解得t≥48,当且仅当a=b=4‎3‎时取等号,即ab的最小值为48.‎ ‎8在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=3B,则cb的取值范围为 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(0,3) B.(1,3) C.(0,3] D.(1,3]‎ 由正弦定理可得cb‎=sinCsinB=sin3BsinB=‎sin2BcosB+cos2BsinBsinB=2cos2B+cos 2B=4cos2B - 1.‎ ‎∵ A+B+C=180°,C=3B,∴0°‎‎1‎‎8‎,∴方案2好.‎ 素养探源 　‎ 核心素养 考查途径 素养水平 数学建模 根据不同的方案,确定参数,选择适当的面积公式.‎ 二 数学运算 求面积、求最值、比较大小.‎ 二 试题评析　‎ 本题以江水养殖场为背景,创设了求三角形面积最大值问题,体现了用三角知识解决生活中的问题,培养学生的数学应用意识.本题中求△MPQ面积的最值难度比较大,已知三角形中,两边之和为定值,往往想到利用基本不等式求两边之积的最大值,结合面积公式,再求夹角正弦值的最大值,需要两次求最值的条件同时满足才可以;求△EOF 面积的最值比较常规,利用基本不等式求最值,结合面积公式得面积最值. ‎ ‎8.如图4 - 4 - 6,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).记∠AMN=θ.‎ ‎ (1)将AN,AM用含θ的关系式表示出来;‎ ‎(2)如何设计(即AN,AM为多长时),可使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?‎ ‎1.A　因为cos C=2cos2C‎2‎ - 1=2‎×‎‎1‎‎5‎ - 1= - ‎3‎‎5‎,所以由余弦定理,得AB2=AC2+BC2 - 2AC×BCcos C=25+1 - 2×5×1×( - ‎3‎‎5‎)=32,所以AB=4‎2‎,故选A.‎ ‎2.A　由题意可知sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),即2sin Bcos C=sin Acos C,又cos C≠0,故2sin B=sin A,由正弦定理可知a=2b.故选A.‎ ‎3.C　∵bsin A=12‎2‎B,则a>b,a‎2R‎>‎b‎2R(R为△ABC的外接圆的半径),即sin A>sin B,A正确;‎ 对于B,由asinA‎=‎bsinB得sin B=basin A=‎4‎‎2‎‎4‎‎3‎‎×‎3‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎,因为a>b,所以B0,于是有cos B<0,即B为钝角,所以△ABC是钝角三角形.故选A.‎ ‎3.15　‎7‎　由4sin B=5sin C,得4sin(π - A - C)=5sin C,即4sin(A+C)=5sin C,即4(sin Acos C+cos Asin C)=5sin C.‎ 又A=2C,所以4(sin 2Ccos C+cos 2Csin C)=5sin C,即4[2sin Ccos2C+(2cos2C - 1)sin C]=5sin C.‎ 因为A=2C,所以0

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