【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第九章第五讲　抛物线作业

【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第九章第五讲　抛物线作业

第五讲　抛物线 ‎ ‎ ‎1.[2020福州质检]设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为该抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-‎3‎,则△PAF的面积为(　　)‎ A.2‎3‎ B.4‎3‎ C.8 D.8‎‎3‎ ‎2.[2020合肥市调研检测]设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F的坐标为(1,0).若该抛物线上两点A,B的横坐标之和为5,则弦AB的长的最大值为(　　)‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ ‎3.[2020长春市第一次质量监测]已知椭圆x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B(A在x轴上方)两点,则‎|AF|‎‎|BF|‎的值为(　　)‎ A.‎3‎ B.2 C.3 D.4‎ ‎4.[多选题]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴相交于点M,经过M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,则下列结论正确的是(　　)‎ A.-10)的焦点为F,过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A,B两点,若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=4‎3‎,则抛物线C的准线方程为(　　)‎ A.x=-1 B.x=-2 C.x=-‎3‎‎2‎ D.x=-3‎ ‎6.[2019广东六校第一次联考]抛物线y=2x2上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为(　　)‎ A.‎11‎‎8‎ B.‎5‎‎4‎ C.‎3‎‎2‎ D.1‎ ‎7.[2019安徽示范高中高三测试]设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的焦点到准线的距离为 (　　)‎ A.4或8 B.2或4 C.2或8 D.4或16‎ ‎8.[2020山东省统考][双空题]直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与抛物线C交于A,B两点,则p=　　　　,‎1‎‎|AF|‎‎+‎‎1‎‎|BF|‎=　　　　. ‎ ‎9.[2020武汉高三测试]已知过点M(1,0)的直线AB与抛物线y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若OA,OB的斜率之和为1,则直线AB的方程为　　　　　　　　. ‎ ‎10.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=1∶2,则实数a的值为　　　　. ‎ ‎11.[2019山西八校高三第一次联考]已知A是抛物线y2=-4x上的动点,点A在y轴上的射影是点C,B是圆D:(x-3)2+(y-2)2=1上的动点,则|AB|+|AC|的最小值是　　　　. ‎ ‎12.[2019太原高三二模]已知直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)相交于两个不同的点A,B,点M是抛物线C在点A,B处的切线的交点.‎ ‎(1)若直线l经过抛物线C的焦点F,求证:FM⊥AB;‎ ‎(2)若点M的坐标为(2,-2p),且|AB|=4‎10‎,求抛物线C的方程.‎ ‎13.[2019广东七校第二次联考]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)已知点P在抛物线C上且异于原点,点Q为直线x=-1上的点,且FP⊥FQ,求直线PQ与抛物线C的交点个数,并说明理由.‎ ‎14.[2020绵阳高三模拟]已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A(1,0),直线FA与抛物线C交于点P(P在第一象限内),与其准线交于点Q,若PQ‎=‎‎2‎ FP,则点P到y轴的距离为(　　)‎ A.2‎2‎-1 B.2‎2‎-2 C.3‎2‎-1 D.3‎2‎-2‎ ‎15.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,P为抛物线C的准线l上一点,直线PF与抛物线C相交于M,N两点,若PF=3MF,则|MN|= (　　)‎ A.10 B.‎21‎‎2‎ C.‎32‎‎3‎ D.11‎ ‎16.[2019郑州市第二次质量预测]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过焦点F且与抛物线C交于A,B两点,且直线l不与x轴垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),O为坐标 原点,则S△AOB=(　　)‎ A.2‎2‎ B.‎3‎ C.‎6‎ D.3‎‎6‎ ‎17.[2019石家庄高三一模]已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点P为抛物线上异于原点的任意一点,若∠KPF的平分线与x轴交于点(m,0),则m的最大值为(　　)‎ A.3-2‎2‎ B.2‎3‎-3 C.2-‎3‎ D.2-‎‎2‎ ‎18.[多选题]已知抛物线C:x2=3y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,其中点A在第一象限,若弦AB的长为4,则(　　)‎ A.直线l的倾斜角为30°或150° 　　B.|AF|-|BF|=4‎ C.‎|AF|‎‎|BF|‎‎=‎‎1‎‎3‎或3 　 　 D.S△AOB=‎‎9‎‎2‎ ‎19.[2019江西红色七校第一次联考]设抛物线y2=8x的焦点为F,过点M(4,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=4,则△BCF与△ACF的面积之比S△‎BCFS‎△ACF=(　　)‎ A.‎3‎‎4‎ B.‎4‎‎5‎ C.‎5‎‎6‎ D.‎‎2‎‎5‎ ‎20.[2019武汉市高三调研测试]如图9-5-1,‎ 图9-5-1‎ 抛物线E:x2=4y与圆M :x2+(y-1)2=16交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N,则△PMN的周长的取值范围是(　　)‎ A.(6,12) B.(8,10) C.(6,10) D.(8,12) ‎ ‎21.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]已知点E在y轴上,点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线EF与抛物线交于M,N两点,若点M为线段EF的中点,且|NF|=12,则p=　　　　. ‎ ‎22.[2020成都市高三摸底测试]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为120°的直线与准线l相交于点A,线段AF与抛物线C相交于点B,且|AB|=‎4‎‎3‎,则抛物线C的标准方程为　　　　　. ‎ ‎23.[2020唐山市摸底考试]已知F为抛物线T:x2=4y的焦点,直线l:y=kx+2与T相交于A,B两点.‎ ‎(1)若k=1,求|FA|+|FB|的值;‎ ‎(2)点C(-3,-2),若∠CFA=∠CFB,求直线l的方程.‎ ‎24.[2020合肥市调研检测]已知抛物线E:y2=2px(p>2)的焦点为F,准线l与x轴交于点M,P(x0,4)为抛物线上一点,过P作PN⊥l,垂足为N,若四边形MFPN的周长为16.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)过点M作直线交抛物线于点A,B,设直线FA,FB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.‎ ‎25.[新角度题]已知抛物线Γ:y2=tx(t>0)的焦点为F,直线l与Γ交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点F在曲线C:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0上.若线段AB的中点M与点F的距离为3,则点M到Γ的准线的距离的最大值为(　　)‎ A.18 B.6 C.3‎2‎ D.2‎‎2‎ ‎26.[双空题]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且AF‎=‎FB,点A到直线l的距离为2,则p=　　　　;若点A,B在l上的正投影分别为M,N,则△MFN的内切圆半径为　　　　. ‎ 第五讲　抛物线 ‎1.B　解法一　设准线与x轴交于点Q,因为直线AF的斜率为- ‎3‎, |FQ|=2,所以∠AFQ=60°,|FA|=4,易知|PA|=|PF|,∠PAF=60°,所以△PAF是边长为4的等边三角形,所以△PAF的面积为‎3‎‎4‎×|FA|2=‎3‎‎4‎×42=4‎3‎.故选B.‎ 解法二　设准线与x轴交于点Q,P(m,n),因为直线AF的斜率为- ‎3‎,|FQ|=2,所以 ‎∠AFQ=60°,|AQ|=2‎3‎,所以n=±2‎3‎,又n2=4m,所以m=3,‎ 则|PA|=4, 所以△PAF的面积为‎1‎‎2‎×|PA|×|n|=‎1‎‎2‎×4×2‎3‎=4‎3‎.故选B.‎ ‎2.B　因为抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),所以p‎2‎=1,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由题意知x1+x2=5.连接AF,BF,则由抛物线的定义知|AF|=x1‎+‎p‎2‎=x1+1,|BF|=x2‎+‎p‎2‎=x2+1,则|AB|≤|AF|+|BF|=x1+x2+2=7,所以弦AB的长的最大值为7,故选B.‎ ‎ 3.C　设A(xA,yA),B(xB,yB),由题意知F(1,0),所以p‎2‎=1,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.过F且倾斜角为60°的直线的方程为y=‎3‎(x- 1),代入抛物线方程,得3x2- 10x+3=0,解得xA=3,xB=‎1‎‎3‎.‎ 解法一　易得yA‎2‎=12,yB‎2‎‎=‎‎4‎‎3‎,所以‎|AF|‎‎|BF|‎‎=‎‎(3- 1‎)‎‎2‎+12‎‎(‎1‎‎3‎- 1‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎3‎=3,故选C.‎ 解法二　由抛物线的定义,得|AF|=xA‎+‎p‎2‎=4,|BF|=xB‎+p‎2‎=‎‎4‎‎3‎,所以‎|AF|‎‎|BF|‎=3,故选C.‎ ‎4.CD　依题意知F(2,0),M(- 2,0),直线l的方程为y=k(x+2),由y‎2‎‎=8x,‎y=k(x+2)‎消去y并整理得k2x2+(4k2- 8)x+4k2=0.因为直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1>x2,所以k‎2‎‎≠0,‎‎(4k‎2‎- 8‎)‎‎2‎- 16k‎4‎>0,‎解得- 10.由y=kx+b,‎y=2x‎2‎,‎消去y并整理得2x2- kx- b=0,Δ=k2+8b>0,‎ x1+x2=k‎2‎,x1x2=- b‎2‎,则|AB|=‎1+‎k‎2‎·k‎2‎‎4‎‎+2b,点M的纵坐标y0=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎‎=x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎=k‎2‎‎4‎+‎b.因为弦AB的长为3,所以‎1+‎k‎2‎k‎2‎‎4‎‎+2b=3,即(1+k2)(k‎2‎‎4‎‎+‎2b)=9,故(1+4y0- 4b)(y0+b)=9,即(1+4y0- 4b)(4y0+4b)=36.由基本不等式得,(1+4y0- 4b)+(4y0+4b)≥2‎(1+4y‎0‎- 4b)(4y‎0‎+4b)‎=12(当且仅当b=‎1‎‎8‎,‎y‎0‎‎=‎‎11‎‎8‎时取等号),即1+8y0≥12,所以y0≥‎11‎‎8‎,所以点M的纵坐标的最小值为‎11‎‎8‎.故选A.‎ ‎7.C　易知抛物线C的焦点为F(p‎2‎,0),准线方程为x=- p‎2‎.如图D 9- 5- 3,‎ 图D 9- 5- 3‎ 设准线与x轴的交点为K,则|KF|=p.过点M作MP平行于x轴交准线于点P,则|MP|=|MF|=5.取MF的中点N,过点N作NQ平行于x轴交准线于点Q,交y轴于点A,则|NQ|=‎|MP|+|FK|‎‎2‎‎=‎5‎‎2‎+‎p‎2‎,|AN|=|NQ|- p‎2‎‎=‎5‎‎2‎=‎‎|MF|‎‎2‎,∴以MF为直径的圆与y轴相切,A为切点,A(0,2),∴N(‎5‎‎2‎,2),故M(5- p‎2‎,4),把(5- p‎2‎,4)代入抛物线方程,得16=2p(5- p‎2‎),整理得p2- 10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线C的焦点到准线的距离为2或8.故选C.‎ ‎【解题关键】　解决本题的关键是得出以MF为直径的圆与y轴相切这一结论.‎ ‎8.2　1　由抛物线y2=2px的焦点为F(1,0),得p‎2‎=1,所以p=2.则‎1‎‎|AF|‎‎+‎1‎‎|BF|‎=‎‎2‎p=1.‎ ‎9.2x+y- 2=0　设A(x1,y1),B(x2,y2),∵直线AB过点M(1,0),∴可设直线AB的方程为x=ty+1.‎ 由y‎2‎‎=2x,‎x=ty+1,‎消去x得y2- 2ty- 2=0,则y1+y2=2t,y1y2=- 2.又kOA=y‎1‎x‎1‎,kOB=y‎2‎x‎2‎,∴y‎1‎x‎1‎‎+‎y‎2‎x‎2‎=1,于是x2y1+x1y2=x1x2.‎ ‎∵x1=ty1+1,x2=ty2+1,∴(ty2+1)y1+(ty1+1)y2=(ty1+1)(ty2+1),‎ ‎∴2ty1y2+(y1+y2)=t2y1y2+t(y1+y2)+1,‎ ‎∴(t2- 2t)y1y2+(t- 1)(y1+y2)+1=0,‎ ‎∴(t2- 2t)(- 2)+(t- 1)·2t+1=0,∴2t=- 1,t=- ‎1‎‎2‎.‎ 故直线AB的方程为2x+y- 2=0.‎ ‎10.‎4‎‎3‎‎3‎　解法一　依题意得抛物线的焦点F的坐标为(a‎4‎,0),过M作抛物线的准线的垂线,垂足为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|.因为|FM|∶|MN|=1∶2,所以|KN|∶|KM|=‎3‎∶1,又kFN=‎0- 1‎a‎4‎‎- 0‎=- ‎4‎a,kFN=- ‎|KN|‎‎|KM|‎=- ‎3‎,所以- ‎4‎a=- ‎3‎,解得a=‎4‎‎3‎‎3‎.‎ 解法二　设M(xM,yM),因为A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F(a‎4‎,0),准线方程为x=- a‎4‎,所以直线AF的方程为4x+ay- a=0,所以N(- a‎4‎,2).因为|FM|∶|MN|=1∶2,所以|FM|=‎1‎‎3‎|FN|,所以xM=a‎12‎,yM=‎2‎‎3‎.因为点M(xM,yM)在抛物线上,所以‎4‎‎9‎‎=‎a‎2‎‎12‎,解得a=‎4‎‎3‎‎3‎.‎ ‎11.2‎5‎- 2 　圆D:(x- 3)2+(y- 2)2=1的圆心为D(3,2),半径r=1.设抛物线y2=- 4x的焦点为F,则F(- 1,0),易知抛物线的准线方程为x=1.如图D 9- 5- 4,‎ 图D 9- 5- 4‎ 设点A在抛物线的准线上的射影为点H,连接CH,则A,C,H三点共线,则|AB|+|AC|=|AB|+|AH|- 1.连接AF,由抛物线的定义可知|AH|=|AF|,∴|AB|+|AC|=|AB|+|AF|- 1.易知当D,B,A,F四点共线时,|AB|+|AF|取得最小值,连接DF,则(|AB|+|AF|)min=|DF|- r=‎(3+1‎)‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎- 1=2‎5‎- 1,∴(|AB|+|AC|)min=2‎5‎- 2.‎ ‎【素养落地】　试题的命制立足于圆与抛物线的几何性质,引导考生通过分析几何图形,依托“形”的直观得到数量关系,突出对数学运算、直观想象等核心素养的考查.‎ ‎12.设直线l的斜率为k,设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).‎ ‎(1)由题意可得F(0,p‎2‎).‎ ‎①当k≠0时,直线l :y=kx‎+‎p‎2‎,‎ 由y=kx+p‎2‎,‎x‎2‎‎=2py,‎得x2- 2pkx- p2=0,∴‎x‎1‎‎+x‎2‎=2pk,‎x‎1‎x‎2‎‎=- p‎2‎,‎ 易得抛物线C在点A处的切线方程为y- y1=x‎1‎p(x- x1),即y=x‎1‎px- x‎1‎‎2‎‎2p,‎ 在点B处的切线方程为y=x‎2‎px- x‎2‎‎2‎‎2p.‎ 由y=x‎1‎px- x‎1‎‎2‎‎2p,‎y=x‎2‎px- x‎2‎‎2‎‎2p,‎得x=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=pk,‎y=x‎1‎x‎2‎‎2p=- p‎2‎,‎∴M(pk,- p‎2‎),‎ ‎∵kFM·kAB=‎- p‎2‎- ‎p‎2‎pk·k=- 1,∴FM⊥AB.‎ ‎②当k=0时,直线l:y=p‎2‎,M(0,- p‎2‎),∴FM⊥AB.‎ 综上,FM⊥AB.‎ ‎(2)由题意知k≠0,设直线l :y=kx+m,‎ 由y=kx+m,‎x‎2‎‎=2py,‎得x2- 2pkx- 2pm=0,Δ=4p2k2+16p2>0,∴‎x‎1‎‎+x‎2‎=2pk,‎x‎1‎x‎2‎‎=- 2pm,‎ 易得抛物线C在点A处的切线方程为y- y1=x‎1‎p(x- x1),即y=x‎1‎px- x‎1‎‎2‎‎2p,‎ 在点B处的切线方程为y=x‎2‎px- x‎2‎‎2‎‎2p,由y=x‎1‎px- x‎1‎‎2‎‎2p,‎y=x‎2‎px- x‎2‎‎2‎‎2p,‎得x=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=pk=2,‎y=x‎1‎x‎2‎‎2p=- m=- 2p,‎ ‎∴|AB|=‎1+‎k‎2‎|x1- x2|=‎1+‎k‎2‎‎4k‎2‎p‎2‎+8pm=4‎1+‎k‎2‎·‎1+‎p‎2‎=4‎(1+‎4‎p‎2‎)(1+p‎2‎)‎=4‎10‎,‎ 解得p=1或p=2,∴抛物线C的方程为x2=2y或x2=4y.‎ ‎13.(1)由题意知,抛物线C的准线方程为x=- p‎2‎,‎ 所以点E(2,t)到焦点F的距离为2‎+‎p‎2‎=3,解得p=2.‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点.‎ 理由如下:‎ 设P(y‎0‎‎2‎‎4‎,y0),y0≠0,Q(- 1,m).‎ 由(1)得焦点F(1,0),‎ 则FP=(y‎0‎‎2‎‎4‎- 1, y0),FQ=(- 2,m),由题意可得FP·FQ=0,‎ 故- 2(y‎0‎‎2‎‎4‎- 1)+my0=0,从而m=y‎0‎‎2‎‎- 4‎‎2‎y‎0‎.‎ 故直线PQ的斜率kPQ=y‎0‎‎ - my‎0‎‎2‎‎4‎‎+1‎‎=‎‎2‎y‎0‎.‎ 故直线PQ的方程为y- y0=‎2‎y‎0‎(x- y‎0‎‎2‎‎4‎),得x=y‎0‎y‎2‎‎-‎y‎0‎‎2‎‎4‎　①.‎ 又抛物线C的方程为y2=4x　②,‎ 所以由①②得‎(y- y‎0‎)‎‎2‎=0,故y=y0,x=y‎0‎‎2‎‎4‎.‎ 故直线PQ与抛物线C只有一个交点.‎ ‎14.B　由题意知抛物线的焦点为F(0,p‎2‎),准线方程为y=- p‎2‎.设抛物线的准线与y轴交于点F1.如图D 9- 5- 5,‎ 图D 9- 5- 5‎ 过点P作抛物线准线的垂线,垂足为P1,则|PF|=|PP1|,所以‎|QP|‎‎|FP|‎‎=‎|QP|‎‎|PP‎1‎|‎=‎‎2‎,所以∠PQP1=45°,所以直线FA的倾斜角为135°,所以kFA=p‎2‎‎- 0‎‎0- 1‎=- 1,解得p=2.又PP1∥FF1,所以‎|QP|‎‎|FQ|‎‎=‎|PP‎1‎|‎‎|FF‎1‎|‎=‎‎2‎‎2‎‎+1‎,即‎|PP‎1‎|‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎‎+1‎,解得|PP1|=4- 2‎2‎.设P(x,y),则由抛物线的定义,知|PP1|=y+1=4- 2‎2‎,所以y=3- 2‎2‎,所以x2=4×(3- 2‎2‎)=‎[2(‎2‎- 1)]‎‎2‎,又点P在第一象限,所以x=2‎2‎- 2,即点P到y轴的距离为2‎2‎- 2,故选B.‎ ‎15.C　解法一　如图D 9- 5- 6,过点M作准线l的垂线,垂足为M',‎ 图D 9- 5- 6‎ 则|MM'|=|MF|.由已知得F(2,0),准线l的方程为x=- 2.‎ ‎ 因为PF=3MF,所以|MF|=|MM' |=‎1‎‎2‎|PM|,所以∠PMM'=60°,故直线PF的斜率为- ‎3‎,所以直线PF的方程为y=- ‎3‎x+2‎3‎.由y=- ‎3‎x+2‎3‎,‎y‎2‎‎=8x,‎消去y得3x2- 20x+12=0,设M,N的横坐标分别为xM,xN,则xM+xN=‎20‎‎3‎,所以|MN|=xM+xN+p=‎20‎‎3‎‎+‎4=‎32‎‎3‎,故选C.‎ 解法二　由已知得F(2,0),设M(xM,yM),N(xN,yN),不妨设P(- 2,m)(m>0).‎ 因为PF=3MF,所以(4,- m)=3(2- xM,- yM),所以xM=‎2‎‎3‎,yM=m‎3‎,因为点M在抛物线上,所以(m‎3‎)2=8×‎2‎‎3‎,解得m=4‎3‎,所以直线PF的斜率为- ‎3‎,故直线PF的方程为y=- ‎3‎x+2‎3‎,由y=- ‎3‎x+2‎3‎,‎y‎2‎‎=8x,‎消去y得3x2- 20x+12=0,所以|MN|=xM+xN+p=‎20‎‎3‎‎+‎4=‎32‎‎3‎,故选C.‎ ‎16.A　由题意知抛物线的焦点为F(1,0),设直线l:y=k(x- 1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由y=k(x- 1),‎y‎2‎‎=4x,‎消去y得k2x2- (2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2‎+‎‎4‎k‎2‎,x1x2=1,y1+y2=k(x1+x2)- 2k=2k‎+‎‎4‎k- 2k=‎4‎k,所以线段AB的中点为(1‎+‎‎2‎k‎2‎,‎2‎k),线段AB的垂直平分线的方程为y- ‎2‎k=- ‎1‎k(x- 1- ‎2‎k‎2‎),因为线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),所以0- ‎2‎k=- ‎1‎k(5- 1- ‎2‎k‎2‎),解得k=±1,所以直线AB的方程为y=±(x- 1),即x- y- 1=0或x+y- 1=0,所以点O到直线AB的距离d=‎|- 1|‎‎1+1‎‎=‎‎2‎‎2‎,又|AB|=‎1+‎k‎2‎|x1- x2|=‎1+1‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎- 4‎x‎1‎x‎2‎‎=‎2‎×‎‎36- 4‎=8,所以S△AOB=‎1‎‎2‎‎×‎‎2‎‎2‎×8=2‎2‎,故选A.‎ ‎17.A　由题意得F(1,0),K(- 1,0).由角平分线的性质可知,‎|PF|‎‎|PK|‎‎=‎1- mm+1‎=‎‎2‎m+1‎- 1.作PP'垂直于准线,垂足为P',则|PP'|=|PF|,∴‎|PP'|‎‎|PK|‎ =‎2‎m+1‎- 1,∴sin∠PKP'=‎|PP'|‎‎|PK|‎‎=‎‎2‎m+1‎- 1,又∠PKP'∈(0,π‎2‎),∴若m最大,则∠PKP'最小,∠PKF最大.易知当PK与抛物线相切时∠PKF最大,设此时lPK:y=k(x+1),由y=k(x+1),‎y‎2‎‎=4x,‎消去y得k2x2+(2k2- 4)x+k2=0,Δ=- 16k2+16=0,∴k=±1,此时sin∠PKP'=‎2‎‎2‎‎=‎‎2‎m+1‎- 1,解得m=3- 2‎2‎.∴m的最大值为3- 2‎2‎,故选A.‎ ‎18.AC　由题意知F(0,‎3‎‎4‎),直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=kx‎+‎‎3‎‎4‎,A(x1,y1),B(x2,y2).由x‎2‎‎=3y,‎y=kx+‎‎3‎‎4‎消去y,得4x2- 12kx- 9=0,∴x‎1‎‎+x‎2‎=3k,‎x‎1‎x‎2‎‎=- ‎9‎‎4‎,‎∴|AB|=‎1+‎k‎2‎|x1- x2|=3(1+k2)=4,∴k=±‎3‎‎3‎.设直线l的倾斜角为θ,则θ=30°或θ=150°.设‎|AF|‎‎|BF|‎=λ,则当θ=30°时,|AF|+|BF|=(λ+1)|BF|=4,|AF|- |BF|=(λ- 1)|BF|,又由抛物线的定义易知|AF|- |BF|=y1- y2=‎3‎‎3‎(x1- x2)=2,∴‎(λ+1)|BF|‎‎(λ- 1)|BF|‎‎=‎‎4‎‎2‎=2,∴λ+1‎λ- 1‎=2,‎ ‎∴λ=3,即‎|AF|‎‎|BF|‎=3.由抛物线的对称性知,当θ=150°时,λ=‎1‎‎3‎,即‎|AF|‎‎|BF|‎‎=‎‎1‎‎3‎.S△AOB=‎1‎‎2‎×|OF|×|x1- x2|=‎1‎‎2‎‎×‎‎3‎‎4‎×2‎3‎‎=‎‎3‎‎3‎‎4‎.故选AC.‎ ‎19.D　由抛物线方程y2=8x,得焦点F的坐标为(2,0),准线方程为x=- 2.如图D 9- 5- 7,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为E,N.‎ 图D 9- 5- 7‎ 设直线AB的方程为y=k(x- 4),则由y=k(x- 4),‎y‎2‎‎=8x,‎消去y并整理得k2x2- (8k2+8)x+16k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=16.由抛物线的定义知|BF|=|BN|=x2+2=4,所以x2=2,所以x1=8,所以|AE|=x1+2=10.因为BN∥AE,所以S‎△BCFS‎△ACF‎=‎|BC|‎‎|AC|‎=‎|BN|‎‎|AE|‎=‎4‎‎10‎=‎‎2‎‎5‎,故选D.‎ ‎20.B　由题意可得抛物线E的焦点为(0,1),圆M的圆心为(0,1),半径为4,所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点,故|NM|等于点N到准线y=- 1的距离,又PN∥y轴,故|PN|+|NM|等于点P到准线y=- 1的距离.由x‎2‎‎=4y,‎x‎2‎‎+‎(y- 1)‎‎2‎=16,‎得y=3,又点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,所以点P到准线y=- 1的距离的取值范围是(4,6),又|PM|=4,所以△PMN的周长的取值范围是(8,10),故选B.‎ ‎21.8　如图D 9- 5- 8,‎ 图D 9- 5- 8‎ 由题意知F(p‎2‎,0).‎ ‎∵M为线段EF的中点,∴点M的横坐标为p‎4‎.‎ 设直线EF的方程为y=k(x- p‎2‎),k≠0.‎ 由y=k(x- p‎2‎),‎y‎2‎‎=2px,‎得k2x2- (k2p+2p)x‎+‎k‎2‎p‎2‎‎4‎=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x‎1‎‎+x‎2‎=k‎2‎p+2pk‎2‎,‎x‎1‎x‎2‎‎=p‎2‎‎4‎,‎ ‎ ‎∵x1=p‎4‎,∴x2=p, ‎ 则y‎2‎‎2‎=2p2,∴N(p,±‎2‎p).∵|NF|2=(p- p‎2‎)2+(±‎2‎p)2,∴144=p‎2‎‎4‎‎+‎2p2,∴p2=64,∵p>0,∴p=8.‎ ‎22.y2=2x　如图D 9- 5- 9,设直线l与x轴交于点D,过点B作BE⊥l于点E,‎ 图D 9- 5- 9‎ 则|DF|=p.因为直线AF的倾斜角为120°,所以∠AFD=∠ABE=60°,所以∠EAB=30°.因为|AB|=‎4‎‎3‎,所以|BE|=‎1‎‎2‎|AB|=‎2‎‎3‎.由抛物线的定义知|BE|=|BF|,所以|AF|=|AB|+|BF|=|AB|+|BE|=2,所以|DF|=‎1‎‎2‎|AF|=1,即p=1,所以抛物线C的标准方程为y2=2x.‎ ‎23. 由已知可得F(0,1),设A(x1,x‎1‎‎2‎‎4‎),B(x2,x‎2‎‎2‎‎4‎),‎ 由y=kx+2,‎x‎2‎‎=4y,‎得x2- 4kx- 8=0,‎ 所以x1+x2=4k,x1x2=- 8.‎ ‎(1)|FA|+|FB|=x‎1‎‎2‎‎4‎‎+‎1‎+x‎2‎‎2‎‎4‎+‎1=‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎- 2‎x‎1‎x‎2‎‎4‎‎+‎2=4k2+6.‎ 当k=1时,|FA|+|FB|=10.‎ ‎(2)由题意可知,FA=(x1,x‎1‎‎2‎‎4‎- 1),FB=(x2,x‎2‎‎2‎‎4‎- 1),FC=(- 3,- 3).‎ 由∠CFA=∠CFB得cos=cos,即FA‎·‎FC‎|FA||FC|‎‎=‎FB‎·‎FC‎|FB||FC|‎,‎ 又|FA|=x‎1‎‎2‎‎4‎‎+‎1,|FB|=x‎2‎‎2‎‎4‎‎+‎1,‎ 所以‎- 3x‎1‎- 3(x‎1‎‎2‎‎4‎- 1)‎‎3‎2‎(x‎1‎‎2‎‎4‎+1)‎‎=‎‎- 3x‎2‎- 3(x‎2‎‎2‎‎4‎- 1)‎‎3‎2‎(x‎2‎‎2‎‎4‎+1)‎,化简并整理得4+2(x1+x2)- x1x2=0,即4+8k+8=0,‎ 解得k=- ‎3‎‎2‎,‎ 所以直线l的方程为3x+2y- 4=0.‎ ‎24. (1)∵点P(x0,4)在抛物线上,∴16=2px0　①.由四边形MFPN的周长为16得,p+4+2(x0‎+‎p‎2‎)=16,即x0+p=6　②.‎ 由①②可解得p=4或p=2.‎ ‎∵p>2,∴p=4.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my- 2,代入抛物线方程得y2=8(my- 2),得y2- 8my+16=0.‎ 由Δ=64m2- 64>0得,m2>1,且y‎1‎‎+y‎2‎=8m,‎y‎1‎y‎2‎‎=16,‎ ‎∴k1+k2=y‎1‎x‎1‎‎- 2‎‎+y‎2‎x‎2‎‎- 2‎=y‎1‎‎(my‎2‎- 4)+y‎2‎(my‎1‎- 4)‎‎(x‎1‎- 2)(x‎2‎- 2)‎=‎‎2my‎1‎y‎2‎- 4(y‎1‎+y‎2‎)‎‎(x‎1‎- 2)(x‎2‎- 2)‎=0.‎ ‎25.C　因为点F在曲线C:(x- x1)(x- x2)+(y- y1)(y- y2)=0上,所以点F在以AB为直径的圆上.连接AF,BF,易知AF⊥BF,因为线段AB的中点M与点F的距离为3,所以|AB|=6,所以|AF|2+|BF|2=36.设Γ的准线为l1,过点A作AA1⊥l1于点A1,过点B作BB1⊥l1于点B1,过点M作MM1⊥l1于点M1,由抛物线的定义,得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.在直角梯形ABB1A1中,2|MM1|=|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|,所以4|MM1|2=|AF|2+|BF|2+2|AF|·|BF|≤|AF|2+|BF|2+|AF|2+|BF|2=2×36=72(当且仅当|AF|=|BF|=3‎2‎时,等号成立),所以|MM1|≤3‎2‎,即点M到Γ的准线的距离的最大值为3‎2‎,故选C.‎ ‎【素养落地】　试题以抛物线为载体,结合点在曲线上考查考生对几何与代数统一性的理解与掌握,考查了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.‎ ‎【方法总结】　破解此类题需注意以下三点:一是会判断曲线的特征;二是会画图与用图,即会画出草图,根据图形的特征,寻找转化的桥梁;三是运算要认真,求解圆锥曲线题时,运算一定要认真才能得到正确的结果.‎ ‎26.2　2(‎2‎- 1)　因为AF‎=‎FB,所以A,B关于x轴对称,故F(1,0),p=2.不妨设A(1,2),B(1,- 2),l与x轴的交点为C,所以M(- 1,2),N(- 1,- 2),△MFN是等腰三角形,且|MN|=4,|FC|=2,|FM|=|FN|=2‎2‎.令△MFN的内切圆半径为r,则‎1‎‎2‎×4×2=‎1‎‎2‎×(2‎2‎‎+‎2‎2‎‎+‎4)r,解得r=2(‎2‎- 1).‎ ‎【解后反思】　求解圆锥曲线试题时,首先要作出图形,其次要考虑圆锥曲线的定义与几何性质.涉及焦点三角形的问题,要注意解三角形知识的应用.‎