【数学】2019届高考一轮复习北师大版理12-4直接证明与间接证明学案

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理12-4直接证明与间接证明学案

第4讲　直接证明与间接证明 ‎1．直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．‎ ‎(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．‎ 综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．‎ ‎(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．‎ 分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．‎ ‎2．间接证明 反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．‎ ‎3．证题的三种思路 ‎(1)综合法证题的一般思路 用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．‎ ‎(2)分析法证题的一般思路 分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．‎ ‎(3)反证法证题的一般思路 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．(　　)‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)‎ ‎(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)‎ ‎(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　　)‎ ‎(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎ 下列表述：‎ ‎①综合法是由因导果法；‎ ‎②综合法是顺推法；‎ ‎③分析法是执果索因法；‎ ‎④分析法是逆推法；‎ ‎⑤反证法是间接证法．其中正确的有(　　)‎ A．2个　 　　B．3个 C．4个　　 　D．5个 解析：选D.由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．‎ ‎ (教材习题改编)设m＝1＋，n＝2，则m与n的大小关系是(　　)‎ A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n 解析：选C.法一：m2－n2＝(1＋)2－(2)2＝4＋2－8＝2－4＝－＜0，又m＞0，n＞0.所以m＜n，故选C.‎ 法二：假设m≥n，即1＋≥2.则有(1＋)2≥(2)2，即4＋2≥8，即2≥4，即≥2，即3≥4，显然错误，所以m＜n，故选C.‎ ‎ 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________________________．‎ 答案：三角形三个内角都大于60°‎ ‎ 在不等边三角形中，a为最大边，要想得到边a的对角A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．‎ 解析：由余弦定理cos A＝<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.‎ 答案：a2>b2＋c2‎ 综合法 ‎ [典例引领]‎ ‎ 如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．‎ ‎(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1.‎ ‎(2)求证：A1B∥平面ADC1.‎ ‎【证明】　(1)因为AB＝AC，D为BC的中点，‎ 所以AD⊥BC，‎ 因为平面ABC⊥平面BCC1B1，‎ 平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD⊂平面ABC，‎ 所以AD⊥平面BCC1B1，‎ 因为DC1⊂平面BCC1B1，‎ 所以AD⊥DC1.‎ ‎(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点，‎ 因为D为BC的中点，所以OD∥A1B，‎ 因为OD⊂平面ADC1，‎ A1B⊄平面ADC1，‎ 所以A1B∥平面ADC1.‎ 综合法的证题思路 ‎(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．‎ ‎(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．　 ‎ ‎ 在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycos A＋cos B＝0与ax＋ycos B＋cos A＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．‎ 证明：法一：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，由正弦定理可知sin Bcos B－sin Acos A＝0，即sin 2B－sin 2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cos A＝cos B，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝，即△ABC是直角三角形．‎ 法二：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，‎ 由余弦定理，得a·＝b·，‎ 所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，‎ 所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，‎ 所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.‎ 若a＝b，则两直线重合，不符合题意，‎ 故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．‎ 分析法 ‎ [典例引领]‎ ‎ 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．‎ ‎【解】　(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.‎ ‎(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，‎ 即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m＞n，所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．‎ 分析法的证题思路 先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．‎ ‎[提醒]　要注意书写格式的规范性．　 ‎ ‎ △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.‎ 证明：要证＋＝，‎ 即证＋＝3，也就是证＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2.‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ 于是原等式成立．‎ 反证法 ‎ [典例引领]‎ ‎ 设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ ‎【证明】　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得00，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　)‎ A．x2>2　　　　　　　　　 B．x2>4‎ C．x2>0 D．x2>1‎ 解析：选C.因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<，即证0<，即证x2>0，因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．‎ ‎3．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)‎ A．lg(1＋a2)>0　　　　　　 B．a2＋b2≥2(a－b－1)‎ C．a2＋3ab>2b2 D.< 解析：选B.在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，‎ 所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．‎ ‎4．在△ABC中，sin Asin C＜cos Acos C，则△ABC一定是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：选C.由sin Asin C＜cos Acos C得 cos Acos C－sin Asin C＞0，‎ 即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，‎ 从而B＞，故△ABC必是钝角三角形．‎ ‎5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ 证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)‎ ‎＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．‎ 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，‎ 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎10．已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0，0)处有公共切线．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)证明：f(x)≤g(x)．‎ 解：(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，‎ 由题意得解得a＝0，b＝1.‎ ‎(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)‎ ‎＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．‎ h′(x)＝－x2＋x－1＝.‎ h(x)在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．‎ h(x)max＝h(0)＝0，所以h(x)≤h(0)＝0，‎ 即f(x)≤g(x)．‎ ‎1．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是(　　)‎ A．a，b，c同号 B．b，c同号，a与它们异号 C．a，c同号，b与它们异号 D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定 解析：选A.由·>1知与同号，‎ 若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立，‎ 若<0且<0，则－>0，－>0，‎ ＋≥2 >2，即＋<－2，‎ 这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号．‎ ‎2．在等比数列{an}中，a10，则11，‎ 此时，显然数列{an}是递增数列，‎ 若a1<0，则1>q>q2，即00，公差d>0.‎ ‎(1)若a1＝1，d＝2，且，，成等比数列，求整数m的值；‎ ‎(2)求证：对任意正整数n，，，都不成等差数列．‎ 解：(1)由题意，得·＝，(a)2＝(a1am)2，因为a1＝1，d＝2，‎ 所以a＝a1am，49＝1＋(m－1)·2，解得m＝25.‎ ‎(2)证明：假设，，成等差数列，‎ 则＋＝，即－＝－，‎ ＝，‎ 所以a(an＋1＋an＋2)＝a(an＋an＋1)，‎ a(2an＋3d)＝(an＋2d)2(2an＋d)，‎ 即2d(3a＋6and＋2d2)＝0，①‎ 因为a1>0，d>0，‎ 所以an＝a1＋(n－1)d>0，‎ 故2d(3a＋6and＋2d2)>0这与①式矛盾，‎ 所以假设不成立．‎ 即对任意正整数n，，，都不成等差数列．‎ ‎6．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．‎ ‎(1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；‎ ‎(2)是否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，‎ 所以函数在区间[1，b]上单调递增，由“四维光军”函数的定义可知 ，g(1)＝1，g(b)＝b，‎ 即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.‎ 因为b＞1，所以b＝3.‎ ‎(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数，‎ 因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，‎ 所以有即 解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．‎