- 2021-07-01 发布 |
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文档介绍
2020高中数学 第3章 不等式 第二节 一元二次不等式学案 苏教版必修5
一元二次不等式 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 一元二次不等式 1. 掌握简单的一元二次不等式的解法。 2. 掌握一元二次不等式与相应的函数、方程的关系。 选择题 填空题 一元二次不等式是解不等式的基础,要认真掌握。并注意体会不等式、函数、方程间的相互转化思想。 二、重难点提示 重点:理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系;理解一元二次不等式的恒成立问题;从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 难点:理解二次函数图象、一元二次方程的根与一元二次不等式解集之间的关系。 考点一:一元二次不等式及其解集 (1)概念 形如或(其中)的不等式叫做一元二次不等式。 (2)与二次方程、二次函数的关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2且x1<x2 有两个相等的 实数根x1,x2 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或x<x1} {x|x≠-} R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 考点二:一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是: (1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零; (2)计算相应的判别式; (3)当时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据一元二次不等式解的结构,写出其解。 【核心归纳】 5 其中对的解的结构可记为“”的解为“大于大根或小于小根”,“”的解为“大于小根且小于大根”,总结为“大于0取两边,小于0去中间”。 【随堂练习】若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<4},求不等式bx2+2ax-c-3b<0的解集。 思路分析:由不等式的解集→方程的解→利用韦达定理求a、b、c关系→解所求不等式 答案:∵ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<4}, ∴a<0且-3和4是方程ax2+bx+c=0的两根。 由韦达定理,得 即 ∵不等式bx2+2ax-c-3b<0, ∴-ax2+2ax+15a<0,即x2-2x -15<0。 故所求的不等式的解集为{x|-3<x<5}。 技巧点拨: 1. 一元二次不等式解集的区间端点值就是相应方程的实根,也是相应二次函数的零点,三者之间的相互转化是本题求解的关键。 2. 由一元二次不等式解集的情况,还可判断出二次项系数的正负,解题时也要注意到。 例题1 (一元二次不等式的基本解法) 解下列不等式: (1)2x2-3x-2>0;(2) 2x2-4x+7<0; (3)-6x2-x+2≥0;(4)-4x2≥1-4x。 思路分析:化一边为0→二次项系数化为正→求对应方程的根→二次函数图象与解集 答案:(1)∵Δ=(-3)2-4×2×(-2)=25>0, ∴方程2x2-3x-2=0的两根是-,2, ∴原不等式的解集为; (2)∵Δ=(-4)2-4×2×7<0, ∴不等式2x2-4x+7<0的解集为; (3)原不等式可化为6x2+x-2≤0, ∵Δ=12-4×6×(-2)>0, ∴方程6x2+x-2=0的两根是-,, 5 ∴原不等式的解集为; (4)原不等式可化为4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0, ∴原不等式的解集是; 技巧点拨: 1. 本题给出了解一元二次不等式的各种常见类型,要认真体会。 2. 一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式,尤其要注意“>”与“≥”,“<”与“≤”符号的区分。 例题2 (含参数的一元二次不等式的解法) 解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0(a∈R)。 思路分析:当a=0时,不等式的解集→a<0时,不等式的解集→a>0时不等式的解集 答案:若a=0,原不等式可化为-x+1<0, 即x>1; 若a<0,原不等式可化为(x-)(x-1)>0, 即x<或x>1; 若a>0,原不等式可化为(x-)(x-1)<0。(*) 其解的情况应由与1的大小关系决定,故 (1)当a=1时,由(*)式可得x∈; (2)当a>1时,由(*)式可得<x<1; (3)当0<a<1时,由(*)式可得1<x<。 综上所述:当a<0时,解集为{x|x<或x>1}; 当a=0时,解集为{x|x>1}; 当0<a<1时,解集为{x|1<x<}; 当a=1时,解集为∅; 当a>1时,解集为{x|<x<1}。 技巧点拨: 1. 含参数的一元二次不等式中,若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便确定解集的形式。 2. 其次对方程的根比较大小,由根的大小确定参数的范围,然后根据范围对参数分类讨论。 例题3 (恒成立问题) 5 若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任何实数x恒成立,求实数m的取值范围。 思路分析:对任何实数x恒成立⇔不等式解集为实数集R→讨论m+1的取值情况 答案:由题意可知当m+1=0,即m=-1时, 原不等式可化为2x-6<0, 解得x<3,不符合题意,应舍去; 当m+1≠0时,由(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任何实数x恒成立, 则有 解得m<-。 综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-)。 技巧点拨: 1. 不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c>0; 当a≠0时, 2. 不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c<0; 当a≠0时, 类似地,还有f(x)≤a恒成立⇔[f(x)]max≤a;f(x)≥a恒成立⇔[f(x)]min≥a。 【综合拓展】 综合型不等式的解法 (1)解不等式(x+1)(2-x)(x-3)>0。 (2)设a<1,解关于x的不等式。 思路分析:(1)两边都乘以,再利用根轴法求解。 (2)解含参数的不等式时,一般要利用转化思想和分类讨论思想,在转化时一定要注意等价性原则。 答案:(1)原不等式可化为(x+1)(x-2)(x-3)<0,且方程(x+1)(x-2)(x-3)=0的根为x1=-1,x2=2,x3=3, 则由穿针引线法(如图)可得原不等式的解集为{x|x<-1或2<x<3}。 (2)原不等式可化为 5 ①当a=0时,化为>0, ∴-2<x<0; ②当0<a<1时,化为>0, 此时-2<-a<,∴-2<x<-a或x>。 ③当a<0时,化为<0; 当a<-时,有x<-2或<x<-a; 当a=-时,有x<且x≠-2; 当-<a<0时,有x<或-2<x<-a。 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|-2<x<0}; 当0<a<1时,不等式的解集为{x|-2<x<-a或x>}; 当a<-时,不等式的解集为{x|x<-2或<x<-a}; 当a=-时,不等式的解集为{x|x<且x≠-2}; 当-<a<0时,不等式的解集为{x|x<或-2<x<-a}。 技巧点拨: 解一元高次不等式关键是掌握根轴法的规则。 解分式不等式的主要方法是移项、通分、因式分解、右边化为0,利用实数运算的符号法则等价转化为整式不等式(组)求解,本题第二步含有参数的分式不等式,解含参数的不等式要注意以下基本策略: 1. 分清主变量与参变量,正确实施等价转化; 2. 在转化过程中,考虑参数在取值范围内对运算结果是否有影响,从哪一步开始对结果有影响,就从哪一步展开对参数的讨论; 3. 对不同的参数取值范围所得的结果,不能取交集,也不能取并集(因为不是对主变量x的讨论),而应按参数分类的方法依次列出。 5查看更多