高中数学选修2-2单元质量评估(一)
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单元质量评估 (一)
第一章
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2014·天津高二检测)若函数y=f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则的值为( )
A.f′(x0) B.2f′(x0)
C.-2f′(x0) D.0
【解析】选B.
=2
=2=2f′(x0)
2.(2013·江西高考改编)若曲线y=xα+1(α∈R)在(1，2)处的切线经过原点，则α=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.因为y′=αxα-1，所以令x=1得切线的斜率为α，故切线方程为y-2=α(x-1)，代入(0，0)得α=2.
3.甲、乙两人从同一起点出发按同一方向行走，已知甲、乙行走的速度与行走的时间分别v甲=，v乙=t2(如图)，当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻( )
A.甲乙两人再次相遇
B.甲乙两人加速度相同
C.甲在乙前方
D.乙在甲前方
【解析】选C.由v甲=v乙，得=t2，解得t=0(舍)，或t=1.
由dt==.
t2dt=t3=.
所以当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻甲在乙前方.
故选C.
4.下面为函数y=xsinx+cosx的递增区间的是( )
A. B.(π，2π)
C. D.(2π，3π)
【解析】选C.y′=(xsinx+cosx)′=sinx+xcosx-sinx=xcosx，当x∈时，恒有xcosx>0.故选C.
5.(2014·泰安高二检测)函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是( )
A.2 B.1 C.0 D.由a确定
【解析】选C.f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值点，选C.
6.已知实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，则函数y=x3-ax2+bx+5有极值的概率为( )
A. B. C. D.
【解题指南】根据函数有极值的充要条件，转化为定积分求面积之比，运用几何概型计算概率.
【解析】选C.因为函数y=x3-ax2+bx+5有极值，
所以y′=x2-2ax+b=0有两个不等实数根，
得4a2-4b>0，即b
0，即b>a或b<-a(舍)，
又Ω={(a，b)|a，b∈[0，]}，A={(a，b)|b>a}，
如图，在平面直角坐标系aOb中，
P(A)==.
7.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )
A.①② B.③④ C.①③ D.①④
【解析】选B.③不正确，导函数过原点，但三次函数在x=0处不存在极值；④
不正确，三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负.故应选B.
8.已知y=f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是( )
A.(0，1) B.(-1，0)∪(0，1)
C.(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(1，+∞)
【解析】选C.设g(x)=f(x)-x，
则g′(x)=f′(x)-1，因为f′(x)>1，
所以g′(x)>0，即g(x)在R上是增函数，
又g(1)=f(1)-1=1-1=0，
所以当x>1时，g(x)>g(1)=0，
即当x>1时，f(x)>x.
所以f(x)>x的解集为(1，+∞).
9.在函数y=x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选D.由于y′=(x3-8x)′=3x2-8，由题意，得0<3x2-8<1，0或a<-4
【解析】选C.因为f′(x)=2x+2+，f(x)在(0，1)上单调，所以f′(x)≥0或
f′(x)≤0在(0，1)上恒成立，
即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0，1)上恒成立，
所以a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)在(0，1)上恒成立.
记g(x)=-(2x2+2x)，0f(b)g(b)
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(b)>f(b)g(x)
D.f(x)g(x)>f(a)g(x)
【解析】选C.令F(x)=，
则F′(x)=<0，
因为f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于零的函数，
所以F(x)在R上为递减函数，
当x∈(a，b)时，>，
所以f(x)g(b)>f(b)g(x).故应选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2014·江西高考)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 .
【解题指南】切线问题运用导数的几何意义求解.
【解析】设点P(x0,y0),因为y′=-e-x,
所以曲线在点P处的切线的斜率为k=-,
又因为切线平行于直线2x+y+1=0,
所以-=-2,
解得x0=-ln2,代入y=e-x得y0=2,
所以点P(-ln2,2).
答案:(-ln2,2)
14.设a>0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=________.
【解析】由已知得S=dx===a2，
所以=，所以a=.
答案：
15.(2014·南京高二检测)直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是________.
【解析】令f′(x)=3x2-3=0，得x=±1，可求得f(x)的极大值为f(-1)=2，极小值为f(1)=-2，
如图所示，-20，若∀x∈R，恒有f(x)≥0，则的最小值是__________.
【解析】二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为f′(x)=2ax+b，由f′(0)>0，得b>0，
又对∀x∈R，恒有f(x)≥0，则a>0，
且Δ=b2-4ac≤0，故c>0，
所以==++1≥2+1≥2+1=2，
所以的最小值为2.
答案：2
【变式训练】设f(x)=x3-x2-2x+5，当x∈[-1，2]时，f(x)0⇒x<-或x>1；
f′(x)<0⇒-7为所求.
答案：(7，+∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2013·广州高二检测)已知曲线y = x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0，且点P0在第三象限，
(1)求P0的坐标.
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.
【解析】(1)由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解得x=±1.当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4.
又因为点P0在第三象限，
所以切点P0的坐标为(-1，-4).
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为-，
因为l过切点P0，点P0的坐标为(-1，-4)，
所以直线l的方程为y+4=-(x+1)，
即x+4y+17=0.
18.(12分)(2013·大纲版全国卷)已知函数f=x3+3ax2+3x+1.
(1)求a=-时，讨论f的单调性.
(2)若x∈时，f≥0，求a的取值范围.
【解析】(1)当a=-时，f(x)=x3-3x2+3x+1，
f′(x)=3x2-6x+3.
令f′(x)=0，得x1=-1，x2=+1.
当x∈(-∞，-1)时，f′(x)>0，
f(x)在(-∞，-1)是增函数；
当x∈(-1，+1)时，
f′(x)<0，f(x)在(-1，+1)是减函数；
当x∈(+1，+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(+1，+∞)是增函数.
(2)由f(2)≥0得a≥-.
当a≥-，x∈(2，+∞)时，f′(x)=3(x2+2ax+1)≥3= 3(x-2)>0，
所以f(x)在(2，+∞)是增函数，于是当x∈[2，+∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
19.(12分)(2013·福建高考)已知函数f(x)=x-1+(a∈R，e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值.
(2)求函数f(x)的极值.
(3)当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点，求k的最大值.
【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为0.欲求极值，先求单调性，要注意对参数a进行讨论.
【解析】(1)由f=x-1+，得f′=1-.
又因为曲线y=f在点处的切线平行于x轴，得f′=0，即1-=0，解得a=e.
(2)f′=1-，
①当a≤0时，f′>0，f为R上的增函数，所以函数f无极值.
②当a>0时，令f′=0，得ex=a，x=lna.
x∈，f′<0；x∈，
f′>0.
所以f在上单调递减，在上单调递增，
故f在x=lna处取得极小值，且极小值为f=lna，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f无极值；
当a>0时，f在x=lna处取得极小值lna，无极大值.
(3)当a=1时，f=x-1+，
令g=f-=x+，
则直线l：y=kx-1与曲线y=f没有公共点，
等价于方程g=0在R上没有实数解.
假设k>1，此时g=1>0，
g=-1+<0，
又函数g的图象连续不断，由零点存在定理，可知
g(x)=0在R上至少有一解，与“方程g=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1.
又k=1时，g=>0，知方程g=0在R上没有实数解.
所以k的最大值为1.
【一题多解】(1)(2)同方法一.
(3)当a=1时，f=x-1+.
直线l：y=kx-1与曲线y=f没有公共点，
等价于关于x的方程kx-1=x-1+在R上没有实数解，即关于x的方程：x= (*)
在R上没有实数解.
①当k=1时，方程(*)可化为=0，在R上没有实数解.
②当k≠1时，方程(*)化为=xex.
令h=xex，则有h′=ex.
令h′=0，得x=-1，
当x变化时，h′的变化情况如表：
x
-1
h′
-
0
+
h
↘
-
↗
当x=-1时，h=-，同时当x趋于+∞时，
h趋于+∞，
从而h的取值范围为.
所以当∈时，方程(*)无实数解，解得k的取值范围是.
综上，得k的最大值为1.
20.(12分)若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，∠OAB=φ，AB=r，点A处照度与sinφ成正比，与r2成反比，问电灯与点O的距离多大时，可使点A处有最大的照度?
【解析】由条件与光学知识，照度y与sinφ成正比，与r2成反比，设y=C·(C是与灯光强度有关的常数)要想点A处有最大的照度，只需求y的极值即可.
在直角三角形中，得r=，于是y=C·
=C·=·sinφcos2φ，
=(sinφ-sin3φ)，φ∈，
y′=cosφ(1-3sin2φ).
当y′=0时，即方程1-3sin2φ=0的解为sinφ=与sinφ=(舍)，
在φ∈内，所以函数y=f(φ)在sinφ=取极大值，也是最大值.
由sinφ=，得cosφ=，
得tanφ==，
所以x=，即当电灯与O点距离为时，点A的照度y为最大.
【一题多解】设OB=x，则sinφ=，r=，
于是y=C·=C·=C·(x≥0)，
y′=C·.
当y′=0时，
即方程a2-2x2=0的根为x1=与x2=-(舍)，
在[0，+∞)内，所以函数y=f(x)在x=取极大值，也是最大值.
即当电灯与O点距离为时，点A的照度y为最大.
21.(12分)(2014·长沙高二检测)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值.
【解析】由题设可知抛物线为凸形，它与x轴交点的横坐标分别为x1=0，x2=-，
所以S=(ax2+bx)dx=b3①
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组得
ax2+(b+1)x-4=0，其判别式Δ=0，
即(b+1)2+16a=0.
于是a=-(b+1)2，代入①式得：
S(b)=(b>0)，S′(b)=；
令S′(b)=0，得b=3，且当00；
当b>3时，S′(b)<0.
故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，
即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=.
22.(12分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2.
(1)求a，b，c，d的值.
(2)若x≥-2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围.
【解题指南】
(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.
(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.
【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，
g′(0)=4.
而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).
故b=2，d=2，a=4，d+c=4.
从而a=4，b=2，c=2，d=2.
(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).
设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，
则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4
=2(x+2)(kex-1).
由题设可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，
得x1=-lnk，x2=-2.
①若1≤k0，
即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).
F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.
故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).
②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，
当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞
)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).
③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2
=-2e-2(k-e2)<0.
从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.
综上，k的取值范围为[1，e2].
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