2021高考数学新高考版一轮习题:专题9 阶段滚动检测(六) Word版含解析

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2021高考数学新高考版一轮习题:专题9 阶段滚动检测(六) Word版含解析

一、单项选择题 ‎1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=2x},则A∩B中元素的个数为(  )‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎2.从一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则(  )‎ A.p1=p20)的离心率为,则a等于(  )‎ A.6 B.6+3 C. D. ‎5.已知函数f(x)=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,g(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度,则函数g(x)图象的一个对称中心为(  )‎ A. B. C. D. ‎6.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于(  )‎ A.- B.- C. D. ‎7.(2020·唐山模拟)有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有1个这种细菌和200个这种病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要(  )‎ A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟 ‎8.如图,设椭圆的右顶点为A,右焦点为F,B为椭圆在第二象限上的点,直线BO交椭圆于C点,若直线BF平分线段AC,则椭圆的离心率是(  )‎ A. B. C. D. 二、多项选择题 ‎9.下列说法正确的是(  )‎ A.若m>0,n<0,则m-n<0‎ B.“x=”是“tan x=”的充分不必要条件 C.命题“∃x0∈R,x0+≥2”的否定是“∀x∈R,x+>2”‎ D.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为30‎ ‎10.(2019·福州模拟)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的学生有60人,则下列说法正确的是(  )‎ A.样本中支出在[50,60)元的频率为0.03‎ B.样本中支出不少于40元的人数有132‎ C.n的值为200‎ D.若该校有2 000名学生,则一定有600人支出在[50,60)元 ‎11.如图,一张纸的长P1P4、宽P1P2分别为2a,2a,A,B,C,D分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起,使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P,从而得到一个多面体.下列关于该多面体的命题,真命题的是(  )‎ A.该多面体是三棱锥 B.平面BAD⊥平面BCD C.平面BAC⊥平面ACD D.该多面体外接球的表面积为5πa2‎ ‎12.已知函数f(x)=若关于x的方程f(f(x))=t,则下列说法正确的是(  )‎ A.存在实数t,使得方程没有实根 B.存在实数t,使得方程恰有1个实根 C.存在实数t,使得方程恰有2个不同实根 D.存在实数t,使得方程恰有3个不同实根 三、填空题 ‎13.已知向量a,b,其中|a|=1,|b|=2,且(a+b)⊥a,则|a-2b|=________.‎ ‎14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,a=6,b=2,则C=________.‎ ‎15.(2020·武汉模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过双曲线C:x2-y2=a2(a>0)的右顶点P作射线l与双曲线C的两条渐近线分别交于第一象限的点M和第二象限的点N,且=3,△OMN的面积为S=3,则a=________.‎ ‎16.已知函数f(x)=当a=1时,函数的值域是________.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则实数a的取值范围是________.‎ 四、解答题 ‎17.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos C·(acos C+ccos A)+b=0.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若b=2,c=2,求△ABC的面积.‎ ‎18.已知数列{an}满足a1=1,an-an-1=2n-1(n≥2,n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=log2(an+1),求数列的前n项和Sn.‎ ‎19.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,平面ABCD⊥平面PAD,E是PB的中点,F是DC上一点,G是PC上一点,且PD=AD,AB=2DF=6.‎ ‎(1)求证:平面EFG⊥平面PAB;‎ ‎(2)若PA=4,PD=3,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.‎ ‎20.(2019·日照模拟)从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药,食用时需要清洗数次,统计表中的x表示清洗的次数,y表示清洗x次后1千克该蔬菜残留农药量(单位:微克).‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎4.5‎ ‎2.2‎ ‎1.4‎ ‎1.3‎ ‎0.6‎ ‎(1)在如图的坐标系中,描出散点图,并根据散点图判断,=x+与=e-x+哪一个适宜作为清洗x次后1千克该蔬菜残留农药量的回归方程类型;(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(2)根据判断及下面表格中的数据,建立y关于x的回归方程;‎ 表中ωi=,=i.‎ (xi-)2‎ (ωi-)2‎ (xi-)·‎ ‎(yi-)‎ (ωi-)·‎ ‎(yi-)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎0.12‎ ‎10‎ ‎0.09‎ ‎-8.7‎ ‎0.9‎ ‎(3)对所求的回归方程进行残差分析.‎ 附:①线性回归方程=x+中系数计算公式分别为=,=-;‎ ‎②R2=1-,R2>0.95说明模拟效果非常好;‎ ‎③≈0.37,≈0.14,≈0.05,≈0.02,≈0.01.‎ ‎21.已知椭圆+=1(a>b>0)和直线l:-=1,椭圆的离心率e=,坐标原点到直线l的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知定点E(-1,0),若直线m过点P(0,2)且与椭圆相交于C,D两点,试判断是否存在直线m,使以CD为直径的圆过点E?若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎22.已知函数f(x)=ax-sin x-1,x∈[0,π].‎ ‎(1)若a=,求f(x)的最大值;‎ ‎(2)当a≤时,求证:f(x)+cos x≤0.‎ 答案精析 ‎1.B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.C ‎9.BD [对于A,若m>0,n<0,则m-n>0,所以A错误;对于B,当x=时,tan x=,反之,当tan x=时,x=kπ+(k∈Z),所以“x=”是“tan x=”的充分不必要条件,所以B正确;对于C,命题“∃x0∈R,x0+≥2”的否定是“∀x∈R,x+<2”,所以C错误;对于D,因为三个班每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,所以不同的分法为CA-A=30,所以D正确.故选BD.]‎ ‎10.BC [在A中,样本中支出在[50,60)元的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;‎ 在B中,样本中支出不少于40元的人数有×60+60=132,故B正确;‎ 在C中,n==200,故n的值为200,故C正确;‎ 在D中,若该校有2 000名学生,则可能有600人支出在[50,60)元,故D错误.‎ 故选BC.]‎ ‎11.ABCD [由题意得该多面体是一个三棱锥,如图所示,故A正确;‎ 因为AP=a,‎ CP=a,AC=2a,‎ 所以AP2+CP2=AC2,‎ 所以AP⊥CP,‎ 又AP⊥BP,BP∩CP=P,BP,CP⊂平面BCD,‎ 所以AP⊥平面BCD,‎ 又因为AP⊂平面BAD,‎ 所以平面BAD⊥平面BCD,故B正确;‎ 同理可证平面BAC⊥平面ACD,故C正确;‎ 通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R=a,‎ 所以该多面体外接球的表面积为5πa2,故D正确.‎ 综上,正确命题为ABCD.]‎ ‎12.ABC [∵函数f(x)= ‎∴在(-∞,0)上,f(x)=-x单调递减,且f(x)>0;在[0,+∞)上,f(x)=2 018x单调递增,且f(x)≥1,‎ ‎∴f(f(x))=画出函数y=f(f(x))和y=t的图象的示意图,如图所示,结合函数y=f(f(x))与y=t的图象可得,当实数t≤1时,关于x的方程f(f(x))=t没有实根,A正确;当实数1b,得B=,‎ 所以C=.‎ ‎15.3‎ 解析 由等轴双曲线可设M(x1,x1),‎ N(x2,-x2),x1>0,x2<0,‎ 由=3,得(x2-a,-x2)‎ ‎=3(x1-a,x1),‎ 整理得 解得 S△OMN=x1·(-x2)=3,‎ 解得x1=1,则a=3.‎ ‎16.[0,1)∪[2,+∞) (2,4)‎ 解析 当a=1时,‎ f(x)=当0≤x<1时,‎ ‎0≤x2<1,当x≥1时,2x≥2,‎ 综上f(x)≥2或0≤f(x)<1,‎ 即函数f(x)的值域是[0,1)∪[2,+∞).‎ 函数g(x)=f(x)-b有两个零点,即f(x)=b有两个根,当x≥0时,作出函数y=x2和y=2x的图象(图略),由于y=x2在[0,a)上单调递增,y=2x在[a,+∞)上单调递增,要使函数f(x)在[0,+∞)不单调,即有a2>2a,设h(a)=a2-2a,又h(2)=h(4)=0,可得20,∴a=2,‎ ‎∴S△ABC=absin C=,‎ ‎∴△ABC的面积为.‎ ‎18.解 (1)由已知an-an-1=2n-1,‎ ‎∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,‎ ‎∴an=2n-1+2n-2+2n-3+…+22+21+1,‎ ‎∴an==2n-1.‎ ‎(2)bn=log2(an+1)=n,‎ = ‎=-,‎ ‎∴Sn=-+-+-+…+- ‎=1-=.‎ ‎19.(1)证明 如图,‎ 取PA的中点M,连接MD,ME,则ME∥AB,ME=AB,‎ 又DF∥AB,DF=AB,‎ 所以ME∥DF,ME=DF,‎ 所以四边形MDFE是平行四边形,所以EF∥MD,‎ 因为PD=AD,所以MD⊥PA,‎ 因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,‎ 因为MD⊂平面PAD,所以MD⊥AB,‎ 因为PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,‎ 所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,‎ 又EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAB.‎ ‎(2)解 过点P作PH⊥AD于点H,则PH⊥平面ABCD,以H为坐标原点,HA所在直线为x轴,过点H且平行于AB的直线为y轴,PH所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,‎ 在等腰三角形PAD中,PD=AD=3,PA=4,‎ 因为PH·AD=MD·PA,所以3PH=4×,解得PH=,‎ 则AH=,所以P,B,‎ 所以=,‎ 易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos〈,n〉==-,‎ 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.‎ ‎20.解 (1)散点图如图,‎ 用=e-x+作为清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型.‎ ‎(2)由题意知===10,=-=2-10×0.12=0.8,‎ 故所求的回归方程为=10×e-x+0.8.‎ ‎(3)列表如下:‎ yi-i ‎0‎ ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎-0.3‎ yi- ‎2.5‎ ‎0.2‎ ‎-0.6‎ ‎-0.7‎ ‎-1.4‎ 所以(yi-i)2=0.19,(yi-)2=9.1,R2=1-≈0.979>0.95,‎ 所以回归模拟的拟合效果非常好.‎ ‎21.解 (1)由直线l:-=1,‎ ‎∴=,‎ 即4a2b2=3a2+3b2,①‎ 又由e=,得=,即c2=a2,‎ 又∵a2=b2+c2,∴b2=a2,②‎ 将②代入①得a4=4a2,‎ ‎∴a2=3,b2=1,c2=2,‎ ‎∴所求椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)①当直线m的斜率不存在时,直线m方程为x=0,‎ 则直线m与椭圆的交点为(0,±1),‎ 又∵E(-1,0),∴∠CED=90°,即以CD为直径的圆过点E;‎ ‎②当直线m的斜率存在时,设直线m方程为y=kx+2,‎ C(x1,y1),D(x2,y2),‎ 由 得(1+3k2)x2+12kx+9=0,‎ 由Δ=144k2-4×9(1+3k2)=36k2-36>0,得k>1或k<-1,∴x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∴y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,‎ ‎∵以CD为直径的圆过点E,∴EC⊥ED,即·=0,‎ 由=(x1+1,y1),=(x2+1,y2),得(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,‎ ‎∴(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0,‎ ‎∴+(2k+1)·+5=0,解得k=>1,‎ 即直线m:y=x+2;‎ 综上所述,当以CD为直径的圆过定点E时,直线m的方程为x=0或y=x+2.‎ ‎22.(1)解 当a=时,f′(x)=-cos x,‎ 由f′(x)=0,得x=,‎ 所以x∈时,f′(x)<0;‎ x∈时,f′(x)>0,‎ 因此f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,‎ 所以f(x)的最大值为max{f(0),f(π)}=max=-1.‎ ‎(2)证明 先证x-sin x+cos x-1≤0,‎ 令g(x)=x-sin x+cos x-1,‎ 则g′(x)=-cos x-sin x ‎=-sin,‎ 由y=sin,x∈[0,π]与y=的图象易知,‎ 存在x0∈[0,π],使得g′(x0)=0,‎ 故x∈(0,x0)时,g′(x)<0;x∈(x0,π)时,g′(x)>0,‎ 所以g(x)的单调递减区间为(0,x0),单调递增区间为(x0,π),‎ 所以g(x)的最大值为max{g(0),g(π)},而g(0)=0,g(π)=0,‎ 又由a≤,x≥0,所以ax-sin x+1+cos x≤x-sin x-1+cos x≤0,当且仅当a=,x=0或x=π时,等号成立,即f(x)+cos x≤0.‎
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