专题7-4+基本不等式及应用(组)与简单的线性规划问题(测)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

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专题7-4+基本不等式及应用(组)与简单的线性规划问题(测)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第七章 不等式与证明 第04节 基本不等式及其应用 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.)‎ ‎1.下列不等式一定成立的是( )‎ A. ‎ B.‎ C. ‎ D.‎ ‎【答案】C ‎2. 【2018贵州贵阳市第一中学模拟】在等差数列中,若,且,则的最小值为( )‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等差数列性质得:‎ ‎ = ,‎ 等号成立的条件为 ,故选A.‎ ‎3. 【2018东北四市一模试题】已知,,且,则的最小值为( )‎ A. 8 B. 9 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎4.设,若的最小值为 A. B.8 C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:因为,所以,又因为所以,,当且仅当即取等号,答案为D.‎ ‎5. 【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】若,则的最大值是( )‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】,又由 ‎,所以,从而,当且仅当, 时取最大值.所以选A.‎ ‎6. 已知函数,若且,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎7.点在由点、确定的直线上,且,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得,则选A.‎ ‎8.设均为正数,且,则的最小值为( )‎ A.16 B.15 C.10 D.9‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为均为正数,且,所以,整理可得:,由基本不等式可得,整理可得,解得或(舍去),所以,当且仅当时取等号,故的最小值为,故选D.‎ ‎9. 【2018河南林州市第一中学模拟】已知正项等比数列的前项和为,且,则的最小值为( )‎ A. 10 B. 15 C. 20 D. 25‎ ‎【答案】C ‎10. 【2018黑龙江大庆实验中学模拟】若直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆的弦长为2,则 的 最小值为( )‎ A. 4 B. 6 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆心坐标为,半径为1,又直线截圆得弦长为2,所以直线过圆心,即, ,所以 ,当且仅当时取等号,因此最小值为6,故选B.‎ ‎11. 【2018湖南岳阳一中模拟】已知,则的最小值为( )‎ A. 6 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,而(当且仅当时取等号),故 (当且仅当取等号),应选答案A。‎ ‎12.【2018河南南阳第一中学模拟】已知,若,则的最大值为( )‎ A. 3 B. 4 C. 14 D. 8‎ ‎【答案】B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)‎ ‎13.【2018江西南昌模拟】已知函数的最小值为6,则正数的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 令 的最小值为6 , 解得 ,故答案为 ‎ ‎14. 【2018江苏南京溧水高级中学模拟】以为钝角的中, ,当角最大时, 面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过作,垂足为,则, ,又,设,则,当且仅当,即时取“=”,由正切函数的单调性可知此时也最大,综上所述, 的面积为,故答案为.‎ ‎15. 【2018河南南阳市第一中学模拟】设, 时满足的正数,则的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎16.【2018河南师范大学附属中学模拟】已知分别为内角的对边, ,且,则面积的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得 ‎ ,当且仅当时取等号 所以 ,即面积的最大值为 三、解答题 (本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.利用基本不等式求最值:‎ ‎(1)若,求函数 的最小值,并求此时x的值.‎ ‎(2)设 ,求函数 的最大值.‎ ‎【解析】(1)当时,,所以当且仅当,即x=2时取等号.‎ 因此,函数 在x = 2时取得最小值4 .‎ ‎(2)由 得,,所以 ‎,‎ 当且仅当2x=3-2x,即x = 时取等号.因此,函数的最大值为 ‎18.若对任意x>0,≤a恒成立,求a的取值范围.‎ ‎19.【2018·山东齐鲁名校第二次调研】首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+45 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.‎ ‎(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?‎ ‎(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?‎ ‎【解析】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为x+-200≥2-200=100,‎ 当且仅当x=,即x=300时等号成立,故该单位月处理量为300吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.‎ ‎(2)获利.设该单位每月获利为S元,则 S=200x-y=-x2+400x-45 000=-(x-400)2+35 000.因为x∈[300,600],所以S∈[15 000,35 000].故该单位每月获利,最大利润为35 000元.‎ ‎ 20.在中,角所对的边分别为,已知,.‎ ‎(1)当成等差数列时,求的面积;‎ ‎(2)设为边的中点,求线段长的最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)因为成等差数列,所以,‎ 由余弦定理,得,解得,‎ 从而. ‎ ‎(2)方法一:因为为边的中点,所以,‎ 则 ‎,当且仅当时取等号,‎ 所以线段长的最小值为.‎ 方法二:因为为边的中点,所以可设,‎ 由,得,‎ 即,‎ 又因为,‎ 即,所以,‎ 故,当且仅当时取等号,‎ 所以线段长的最小值为. ‎ ‎ ‎
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