湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

湘名校教育联盟·2020年上学期高二期末考试 数学 一、选择题 ‎1．已知复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件 B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大 C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大 D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%‎ ‎4．已知向量，，若与垂直，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知为锐角，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知的内角所对的边分别为，若，且，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写人新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题 ‎9．关于二项式的展开式，下列结论错误的是（ ）‎ A．展开式所有的系数和为1 B．展开式二项式的系数和为32‎ C．展开式中不含项 D．常数项为120‎ ‎10．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆：‎ 上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．5‎ ‎11．已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A． B．的最小正周期为6‎ C．的图像关于直线对称 D．在单调递减 ‎12．已知偶函数对任意都有，当时，，实数是关于的方程的解，且互不相等.则下列说法正确的是（ ）‎ A．的最小正周期是12‎ B．图象的对称轴方程为，‎ C．当时，关于的方程在上有唯一解 D．当时，存在，，，，使得的最小值为0‎ 三、填空题 ‎13．曲线在点处的切线方程为______.‎ ‎14．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差______.‎ ‎15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.‎ ‎（参考公式与数据：，其中）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎16．如图，正方体的棱长为2，是的中点，是侧面正方形内的动点，当平面时，点的轨迹长度为______，若点轨迹的两端点和点，在球的球面上，则球的体积为______.‎ 四、解答题 ‎17．在①，②，③，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题.‎ 已知的内角，，所对的边分别为，，，______，，角的平分线交于点，求的长.‎ ‎18．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设是数列的前项和，，求数列的前项和.‎ ‎19．在如图所示的多面体中，平面平面，为正方形，，分别为，的中点，且，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20．已知椭圆：的离心率为，直线：与轴的交点为，与椭圆交于、两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）证明：是定值.‎ ‎21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）.以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.‎ 某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.‎ ‎（1）求甲获得冠军的概率；‎ ‎（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为，求随机变量的分布列和期望.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）证明：当时，在上单调递增；‎ ‎（2）当时，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ 三湘名校教育联盟·2020年上学期高二期末考试 数学参考答案 一、选择题 ‎1．B【解析】方法一：因为，所以，所以.故选B.‎ 方法二：设，所以，因为，所以.故选B.‎ ‎2．C【解析】因为，，所以 ‎，故选C.‎ ‎3．B【解析】根据全国人均消费支出结构饼图，可知2019年内人均食品、烟酒消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费支出占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%，故选B.‎ ‎4．A【解析】依题意，，又与垂直，‎ 所以，即，所以.故选A.‎ ‎5．A【解析】依题意，双曲线的离心率为2，所以，即渐近线方程为，结合选项可知，渐近线经过点，故选A.‎ ‎6．C【解析】方法一：因为为锐角，，所以，‎ 所以，故选C.‎ 方法二：提示也可以把展开，结合同角三角函数基本关系式来求解.‎ ‎7．D【解析】因为，即，在中，所以，所以，所以.故选D.‎ ‎8．A【解析】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率.故选A.‎ 二、多项选择题 ‎9．BCD【解析】因为二项式，令可得所有项系数和为1，展开式中二项式的系数和为 ‎，展开式的通项为，当时，得常数项为240；当时，可得项，所以错误的应选BCD.‎ ‎10．AD【解析】设，由，得，‎ 整理得，又点是圆：上有且仅有的一点，‎ 所以两圆相切.两圆相切分为外切和内切两种情况，进而可求得或.故选AD.‎ ‎11．ABC【解析】因为函数经过，所以，所以，又因为时，函数值为0，所以，又，所以，所以，所以，可得的最小正周期为；当，即在，上单调递减，直线是的一条对称轴.故选ABC.‎ ‎12．BCD【解析】因为函数是偶函数，且，当时，函数无轴对称性，所以函数的最小正周期为24，故A错误；因为是函数的对称轴，且，所以函数图象关于直线对称，故B正确；当时，结合的单调性和图像可知，当时，关于的方程在上只有唯一解，故C正确；当时，总能找到两两关于对称的四个零点，使得，若4个零点不关于对称时，.其中正确的是BCD.‎ 三、填空题 ‎13．【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎14．【解析】方法一：由等差数列性质前项和为公式可知，‎ ‎，所以，所以，‎ 又，所以，所以.‎ 方法二：，所以.‎ 方法三：依题意，，解得.‎ ‎15．有【解析】依题意，可知国内代表乐观人数60人，不乐观人数40人，国外乐观人数40人，不乐观人数60人，总计乐观人数100人，不乐观人数100人，所以，而，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.‎ ‎16．；【解析】依题意，平面时，点是平面内的动点，所以可得点与点的轨迹构成的平面与平面平行，如图所示，因为是的中点，取中点，所以点轨迹即为线段，因为正方体棱长为2，所以.球的直径就是，长为3，故球体积为.‎ 四、解答题 ‎17．解：因为，所以选择三个条件的任意一个条件，都可以作相应的等价变换，解答如下：‎ 在中，因为，由余弦定理可得，，‎ 因为，所以；‎ 又是角的平分线，所以，‎ 所以，‎ 在中，由正弦定理可得，，即，‎ 所以.‎ ‎18．解：（1）因为数列是首项为2，公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，所以 ‎（2）由（1）可知，‎ 所以，所以，‎ 所以①，‎ 由①×2可得，②‎ 由①－②可得，，‎ 所以 ‎19．解：（1）证明：取中点，连接，，点，分别为，的中点，‎ 又，，所以，所以是等腰三角形，所以为平行四边形，所以，‎ 因为平面平面，为矩形，所以平面，所以，‎ 所以，又，‎ 所以平面，所以平面.‎ ‎（2）空间向量法：如图所示，在平面内，作，分别以，，为，，轴，建立空间坐标系.所以，，，，‎ 所以平面的法向量为，‎ 设平面的法向量为，，，‎ 所以，即，所以，‎ 所以.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ 立体几何法：如图，在平面内，作，垂足为，连接，即为二面角的平面角，再计算求余弦值即可 思路三，利用射影面积法求二面角：‎ 设二面角为，由平面得.‎ ‎20．解：（1）依题意可知，，‎ 又，所以，‎ 所以椭圆的标准方程 ‎（2）设点、，‎ 联立，消去得，‎ 恒成立，‎ 由韦达定理得，，‎ 因此，‎ ‎.‎ 综上所述，.‎ ‎21．解：（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者进入决赛并最终夺冠，也可能是由失败者组进入决赛最终夺冠的，‎ 所以 ‎（2）依题意，的可能取值为2，3，4，5，6.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②第一场失败或第二场失败，则第5场必失败.，‎ 当时，前5场只可能失败一次，且只可能是在第一场失败或第二场失败，，‎ 所以的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 所以的数学期望为.‎ ‎22．解：（1）证明：因为，所以，，‎ 当时，恒成立，在上单调递增.‎ ‎（2）由题意，对，恒成立，‎ 设，‎ 又设，‎ 则，‎ 因此在单调递增，‎ 所以，‎ ‎①当时，，即，‎ 在单调递增，‎ 故有，即适合题意.‎ ‎②当时，，，‎ 若，则取，时，，‎ 若，则在上存在唯一零点，记为，‎ 当时，，‎ 总之，存在使时，，‎ 即，所以单调递减，，‎ 故时存在使不合适题意，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ 第（2）题也可解答如下：‎ ‎.‎ 设，则，‎ ‎∴在区间上递增，即，‎ ‎∴.‎ 而，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎