高考卷 普通高等学校招生考试 （福建卷）数学（理工农医类）全解全析
2007 年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）
（福建卷）数学（理工农医类）全解全析
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
（1）复数 2)1(
1
i
等于
A
2
1 B －
2
1 C、
2
1 i D －
2
1 i
解析： 2)1(
1
i = ii 2
1
2
1 ，选 D
（2）数列{ }的前 n 项和为 ，若
)1(
1
nnan ，则 5s 等于
A 1 B
6
5 C
6
1 D
30
1
解析：
)1(
1
nnan =
1
11
nn
，
所以
6
5
6
1
5
1
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11543215 aaaaaS ，选 B
（3）已知集合 A＝{x|x
2
解析： 1|{ xxBCR 或 }2x ，因为 =R，所以 a 2，选 C
（4）对于向量，a 、b、c 和实数 ，下列命题中真命题是
A 若 ，则 a＝0 或 b＝0 B 若 ，则λ＝0 或 a＝0
C 若 ＝ ，则 a＝b 或 a＝－b D 若 ，则 b＝c
解析：a⊥b 时也有 a·b＝0，故 A 不正确；同理 C 不正确；由 a·b=a·c 得不到 b=c，如 a
为零向量或 a 与 b、c 垂直时，选 B
（5）已知函数 f(x)＝sin( )( )的最小正周期为 ，则该函数的图象
A 关于点（ ，0）对称 B 关于直线 x＝ 对称
C 关于点（ ，0）对称 D 关于直线 x＝ 对称
解析：由函数 f(x)＝sin( )( )的最小正周期为 得 2 ，由 2x+
3
=kπ得
x=
62
1 k ，对称点为（
62
1 k ，0）（ zk ），当 k=1 时为（
3
，0），选 A
（6）以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是
A B
C D
解析：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为 xy 3
4 ，即 034 yx ， 45
|020| r ，
圆方程为 16)5( 22 yx ，即 A ，选 A
（7）已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f(|
x
1 |)0 时，f’(x)>0，g’(x)>0，则 x<0
时
A f’(x)>0，g’(x)>0 B f’(x)>0，g’(x)<0
C f’(x)<0，g’(x)>0 D f’(x)<0，g’(x)<0
解析：由已知 f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,
在对称区间的单调性相反, x>0 时 f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当 x<0 时, f(x) 递增, f ’(x)>0; g(x)
递减, g’(x)<0,选 B
（12）如图，三行三列的方阵有 9 个数 （i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，
则至少有两个数位于同行或同列的概率是
A
7
3 B
7
4 C
14
1 D
14
13
解析：从中任取三个数共有 843
9 C 种取法，没有同行、同列的取法有 61
1
1
2
1
3 CCC ，至少
有两个数位于同行或同列的概率是
14
13
84
61 ，选 D
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置。
（13）已知实数 x、y 满足 ，则 z＝2x－y 的取值范围是____________；
解析：画出可行域知 z=2x-y 在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值 7，范
围是[-5，7]
（14）已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为__________；
解析：设 c=1，则 12
12
12122 22
2
a
ceaacaa
b
（15）两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 的数学期望 ＝_______；
解析：ξ的取值有 0，1，2，
9
1)2(,9
4
9)1(,9
4
9
22)0(
1
2
1
2 pCCpp ，
所以 Eξ=
3
2
9
129
419
40
（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合 A 中
元素之间的一个关系“ ”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意 a A，都有 a a；
（2）对称性：对于 a，b A，若 a b，则有 b a；
（3）传递性：对于 a，b，c A，若 a b，b c 则有 a c
则称“ ”是集合 A 的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”
不是等价关系（自反性不成立），请你再列出三个等价关系：___________。
解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命
题的充要条件”等等．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 12 分）
在 中，tanA＝ ，tanB＝ ，
（1）求角 C 的大小；
（2）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长。
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理
和运算能力．
解：（Ⅰ） π ( )C A B ，
1 3
4 5tan tan( ) 11 31 4 5
C A B
．
又 0 πC ， 3 π4C ．
（Ⅱ） 3
4C ， AB 边最大，即 17AB ．
又 tan tan 0A B A B ， ， ， ，角 A 最小， BC 边为最小边．
由
2 2
sin 1tan cos 4
sin cos 1
AA A
A A
，
，
且 π0 2A
， ，
得 17sin 17A ．由
sin sin
AB BC
C A
得： sin 2sin
ABC AB C
．所以，最小边 2BC ．
（18）（本小题满分 12 分）
如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1
中点。
（1）求证：AB1⊥面 A1BD；
（2）求二面角 A－A1D－B 的大小；
（3）求点 C 到平面 A1BD 的距离。
本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到
平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．
解法一：（Ⅰ）取 BC 中点O ，连结 AO ．
ABC△ 为正三角形， AO BC ⊥ ．
正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 ABC ⊥平面 1 1BCC B ，
AO ⊥平面 1 1BCC B ．
连结 1B O ，在正方形 1 1BB C C 中，O D， 分别为
1BC CC， 的中点， 1B O BD ⊥ ，
1AB BD ⊥ ．
在正方形 1 1ABB A 中， 1 1AB A B⊥ ， 1AB ⊥平面 1A BD ．
（Ⅱ）设 1AB 与 1A B 交于点G ，在平面 1A BD 中，作 1GF A D⊥ 于 F ，连结 AF ，由（Ⅰ）
得 1AB ⊥平面 1A BD ． 1AF A D ⊥ ， AFG∠ 为二面角 1A A D B 的平面角．
在 1AA D△ 中，由等面积法可求得 4 5
5AF ，
又 1
1 22AG AB ，
2 10sin 44 5
5
AGAFG AF
∠ ．
所以二面角 1A A D B 的大小为 10arcsin 4
．
（Ⅲ） 1A BD△ 中，
11 15 2 2 6A BDBD A D A B S △， ， ， 1BCDS △ ．
在正三棱柱中， 1A 到平面 1 1BCC B 的距离为 3 ．
设点C 到平面 1A BD 的距离为 d ．
A
B
C
D
1A
1C
1B
O
F
由
1 1A B C D C A B DV V 得
1
1 133 3BCD A BDS S d △ △ ，
1
3 2
2
BCD
A BD
Sd S
△
△
．
点C 到平面 1A BD 的距离为 2
2
．
解法二：（Ⅰ）取 BC 中点O ，连结 AO ．
ABC△ 为正三角形， AO BC ⊥ ．
在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 ABC ⊥平面 1 1BCC B ，
AD ⊥平面 1 1BCC B ．
取 1 1B C 中点 1O ，以O 为原点，OB
， 1OO
，OA
的方向为 x y z， ， 轴的正方向建立空间直
角坐标系，则 (1 0 0)B ，， ， ( 11 0)D ，， ， 1(0 2 3)A ，， ， (0 0 3)A ，， ， 1(1 2 0)B ，， ，
1 (1 2 3)AB ，， ， ( 21 0)BD ，， ， 1 ( 1 2 3)BA ，， ．
1 2 2 0 0AB BD
， 1 1 1 4 3 0AB BA
，
1AB BD ⊥ ， 1 1AB BA
⊥ ．
1AB ⊥平面 1A BD ．
（Ⅱ）设平面 1A AD 的法向量为 ( )x y z ， ，n ．
( 11 3)AD ，， ， 1 (0 2 0)AA ，， ．
AD
⊥n ， 1AA
⊥n ，
1
0
0
AD
AA
，
，
n
n
3 0
2 0
x y z
y
，
，
0
3
y
x z
，
．
令 1z 得 ( 3 01) ，，n 为平面 1A AD 的一个法向量．
由（Ⅰ）知 1AB ⊥平面 1A BD ，
1AB 为平面 1A BD 的法向量．
cos n ， 1
1
1
3 3 6
42 2 2
ABAB
AB
n
n
．
x
z
A
B
C
D
1A
1C
1B
O
F
y
二面角 1A A D B 的大小为 6arccos 4
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）， 1AB
为平面 1A BD 法向量，
1( 2 0 0) (1 2 3)BC AB
，，， ，， ．
点C 到平面 1A BD 的距离 1
1
2 2
22 2
BC AB
d
AB
．
（19）（本小题满分 12 分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a
元（3 a 5）的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元（9 x 11）时，一年的销售量为
（12－x）2 万件。
（1）求分公司一年的利润 L（万元）与每件产品的售价 x 的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大，并求出 L 的最大值 Q（a）。
本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
解：（Ⅰ）分公司一年的利润 L （万元）与售价 x 的函数关系式为：
2( 3 )(12 ) [911]L x a x x ， ， ．
（Ⅱ） 2( ) (12 ) 2( 3 )(12 )L x x x a x
(12 )(18 2 3 )x a x ．
令 0L 得 26 3x a 或 12x （不合题意，舍去）．
3 5a ≤ ≤ ， 2 288 6 3 3a ≤ ≤ ．
在 26 3x a 两侧 L 的值由正变负．
所以（1）当 28 6 93 a ≤ 即 93 2a ≤ 时，
2
max (9) (9 3 )(12 9) 9(6 )L L a a ．
（2）当 2 289 6 3 3a≤ ≤ 即 9 52 a≤ ≤ 时，
2 3
max
2 2 2 1(6 ) 6 3 12 6 4 33 3 3 3L L a a a a a
，
所以 3
99(6 ) 3 2( )
1 94 3 53 2
a a
Q a
a a
， ≤ ，
， ≤ ≤
答：若 93 2a ≤ ，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润 L 最大，最大值
( ) 9(6 )Q a a （万元）；若 9 52 a≤ ≤ ，则当每件售价为 26 3 a
元时，分公司一年的
利润 L 最大，最大值
31( ) 4 3 3Q a a
（万元）．
（20）（本小题满分 12 分）
如图，已知点 F（1，0），直线 l：x＝－1，P 为平面上的动
点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q，且 ＝ 。
（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（2）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 l 于点 M，
已知 ， ，求 的值。
本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几
何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．
解法一：（Ⅰ）设点 ( )P x y， ，则 ( 1 )Q y ， ，由QP QF FP FQ
得：
( 1 0) (2 ) ( 1 ) ( 2 )x y x y y ， ， ， ， ，化简得 2: 4C y x ．
（Ⅱ）设直线 AB 的方程为：
1( 0)x my m ．
设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ，又 21M m
， ，
联立方程组
2 4
1
y x
x my
，
，
，消去 x 得：
2 4 4 0y my ， 2( 4 ) 12 0m ，故
1 2
1 2
4
4
y y m
y y
，
．
由 1MA AF ， 2MB BF 得：
P
BQ
M
FO
A
x
y
1 1 1
2y ym
， 2 2 2
2y ym
，整理得：
1
1
21 my
， 2
2
21 my
，
1 2
1 2
2 1 12 m y y
1 2
1 2
22 y y
m y y
2 42 4
m
m
0 ．
解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ
得： ( ) 0FQ PQ PF
，
( ) ( ) 0PQ PF PQ PF
，
2 2
0PQ PF ，
PQ PF ．
所以点 P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为： 2 4y x ．
（Ⅱ）由已知 1MA AF ， 2MB BF ，得 1 2 0 ．
则： 1
2
MA AF
MB BF
．…………①
过点 A B， 分别作准线l 的垂线，垂足分别为 1A ， 1B ，
则有： 1
1
MA AA AF
MB BB BF
．…………②
由①②得： 1
2
AF AF
BF BF
，即 1 2 0 ．
（21）（本题满分 12 分）
等差数列{ }的前 n 项和为 ， ， 。
（1）求数列{ }的通项 与前 n 项和为 ；
（2）设 （n ），求证：数列{ }中任意不同的三项都不可能成为等比数列。
本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前 n 项和公式，考查等
比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．
解：（Ⅰ）由已知得 1
1
2 1
3 3 9 3 2
a
a d
，
， 2d ，
故 2 1 2 ( 2)n na n S n n ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2n
n
Sb nn
．
假设数列{ }nb 中存在三项 p q rb b b， ， （ p q r， ， 互不相等）成等比数列，则 2
q p rb b b ．
即 2( 2) ( 2)( 2)q p r ．
2( ) (2 ) 2 0q pr q p r
p q r N ， ， ，
2 0
2 0
q pr
q p r
，
，
2
2( ) 02
p r pr p r p r
， ， ．
与 p r 矛盾．
所以数列{ }nb 中任意不同的三项都不可能成等比数列．
（22）（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)＝ －kx，.
（1）若 k＝e，试确定函数 f(x)的单调区间；
（2）若 k>0，且对于任意 确定实数 k 的取值范围；
（3）设函数 F(x)＝f(x)+f(-x)，求证：F(1)F(2)…F(n)> （ ）。
本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函
数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问
题的能力．
解：（Ⅰ）由 ek 得 ( ) e exf x x ，所以 ( ) e exf x ．
由 ( ) 0f x 得 1x ，故 ( )f x 的单调递增区间是 (1 ) ， ，
由 ( ) 0f x 得 1x ，故 ( )f x 的单调递减区间是 ( 1)， ．
（Ⅱ）由 ( ) ( )f x f x 可知 ( )f x 是偶函数．
于是 ( ) 0f x 对任意 xR 成立等价于 ( ) 0f x 对任意 0x≥ 成立．
由 ( ) e 0xf x k 得 lnx k ．
①当 (01]k ， 时， ( ) e 1 0( 0)xf x k k x ≥ ．
此时 ( )f x 在[0 ) ， 上单调递增．
故 ( ) (0) 1 0f x f ≥ ，符合题意．
②当 (1 )k ， 时， ln 0k ．
当 x 变化时 ( ) ( )f x f x ， 的变化情况如下表：
x (0 ln )k， ln k (ln )k ，
( )f x 0
( )f x 单调递减 极小值 单调递增
由此可得，在[0 ) ， 上， ( ) (ln ) lnf x f k k k k ≥ ．
依题意， ln 0k k k ，又 1 1 ek k ， ．
综合①，②得，实数 k 的取值范围是 0 ek ．
（Ⅲ） ( ) ( ) ( ) e ex xF x f x f x ，
1 2( ) ( )F x F x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )e e e e e e 2 e 2x x x x x x x x x x x x x x ，
1(1) ( ) e 2nF F n ，
1
1
(2) ( 1) e 2
( ) (1) e 2.
n
n
F F n
F n F
由此得， 2 1[ (1) (2) ( )] [ (1) ( )][ (2) ( 1)] [ ( ) (1)] (e 2)n nF F F n F F n F F n F n F
故 1 2(1) (2) ( ) (e 2)
n
nF F F n n N ， ．
