宁夏回族自治区宁夏育才中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

宁夏回族自治区宁夏育才中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

‎2019-2020学年宁夏育才中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.椭圆的焦点坐标是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 椭圆化为标准方程得：，焦点在y轴上，且 故选D ‎2.双曲线的焦距是（ ）‎ A. 3 B. ‎6 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的简单性质直接求解．‎ ‎【详解】解：双曲线,‎ ‎,‎ ‎,‎ 双曲线的焦距为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的焦距的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线的简单性质的灵活运用．‎ ‎3.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由椭圆方程可得焦点坐标为，设与其共焦点的双曲线方程为：，‎ 双曲线过点，则：，整理可得：，‎ 结合可得：，则双曲线方程为：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎4.双曲线上一点到右焦点的距离是5，那么点P到左焦点的距离是（ ）‎ A 5 B. ‎30 ‎C. 10 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简双曲线方程为标准方程,由双曲线的定义转化求解即可．‎ ‎【详解】解：双曲线化为：‎ ‎,,‎ 双曲线上一点到右焦点的距离是5,‎ 设点P到左焦点的距离是d,,‎ 点P到左焦点的距离是15,‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义,应注意判断P的位置,避免错解,是基本知识的考查,基础题．‎ ‎5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )‎ A. 2 B. ‎6 ‎ C. 4 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解.‎ ‎【详解】设另一焦点为，由题在BC边上，‎ 所以的周长 故选：C ‎【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.‎ ‎6.已知命题对任意，总有；‎ 是的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；‎ 所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题；故选D.‎ 考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.椭圆的左焦点为，点在椭圆上．如果线段的中点在 轴上，那么点的纵坐标是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点P的坐标为（m，n），根据椭圆方程求得焦点坐标，进而根据线段PF1的中点M在y轴上，推断m+3＝0求得m，代入椭圆方程求得n，进而求得M的纵坐标．‎ ‎【详解】设点P的坐标为（m，n），依题意可知F1坐标为 ‎∴m﹣3＝0‎ ‎∴m＝3，代入椭圆方程求得n＝±‎ ‎∴M的纵坐标为±‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的应用，中点坐标公式的求解．属基础题．‎ ‎8.已知（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，；‎ 因为，所以，；‎ 则，反之不成立，所以的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ 考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎9.已知双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线左支上有一点到右焦点距离为，为的中点，为坐标原点，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得NO为△MF‎1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|.再利用双曲线的定义求出|MF1|＝8，所以|NO|＝4．‎ ‎【详解】由题得NO为△MF‎1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|.又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1|＝10.因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4．‎ 故答案为D ‎【点睛】(1)本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 在双曲线中，||PF1|－|PF2||＝‎2a＜|F‎1F2|.‎ ‎10.椭圆经过点，则最小值为（ ）‎ A. B. C. 28 D. 27‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆经过的点,求出m、n的关系,利用基本不等式求解即可．‎ ‎【详解】解：椭圆经过点,‎ 可得,‎ 所以,‎ 当且仅当,,即,时取等号．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,基本不等式的应用,是基础题．‎ ‎11.已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】若△AF1B的周长为4,‎ 由椭圆的定义可知,,‎ ‎,,‎ ‎，‎ 所以方程为，故选A.‎ 考点：椭圆方程及性质 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.已知椭圆上有一点P，是椭圆左右焦点，若为直角三角形，则这样的点P有（ ）个 A. 3 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点有2个；同理当当为直角时，这样的点有2个；当为直角时，由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，本题张角恰好为直角，这时这样的点也有2个，故符合条件的点有6个，选项C为正确答案．‎ 考点：1、椭圆的对称性；2、分类讨论的数学思想．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.命题“，”的否定是_______________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定是“”，故答案为.‎ ‎14.直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系及弦长公式．‎ 解：将y=x－代入x2+4y2=4整理得，，设弦端点分别为A（），‎ B（），则，所以弦长AB==．‎ ‎15.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________‎ ‎【答案】 y=-0.5x+4‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设弦为，且，代入椭圆方程得 ‎，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.‎ ‎16.给定下列四个命题：其中为真命题的是 ．（填上正确命题的序号）‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎②若“”为真，则“”为真；‎ ‎③已知，则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎④“若，则”的逆否命题为真命题．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：①当时；当时或，所以“”是“”充分不必要条件，所以①为真命题；‎ ‎②若“”为真，则至少有一个为真．当一真一假时“”为假；当均为真时“”为真．所以②为假命题；‎ ‎③因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．所以③为假命题；‎ ‎④“若，则”的逆否命题为“若，则”是真命题，所以④为真命题．‎ 综上可得真命题为①④．‎ 考点：命题的真假．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中也可以根据原命题与其逆否命题同真假进行等价转化．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.求满足下列条件的曲线的方程：‎ ‎（1）离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程 ‎（2）与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程．‎ ‎【答案】（1）或； （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,由椭圆的几何性质可得a、c的值,计算可得b的值,讨论椭圆焦点的位置,求出椭圆的标准方程,即可得答案；‎ ‎(2)根据题意,求出椭圆的焦点坐标,进而可以设双曲线的方程为,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案．‎ ‎【详解】解：（1）根据题意,要求椭圆的长轴长为6,离心率为,‎ 则,,‎ 解可得：,；‎ 则,‎ 若椭圆的焦点在x轴上,其方程为,‎ 若椭圆的焦点在y轴上,其方程为,‎ 综合可得：椭圆的标准方程为或；‎ ‎（2）根据题意,椭圆的焦点为和,‎ 故要求双曲线的方程为,且,‎ 则有,‎ 又由双曲线经过经过点,则有,,‎ 联立可得：,‎ 故双曲线方程为：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程的求法,涉及椭圆、双曲线的几何性质,属于基础题．‎ ‎18.为何值时，直线和曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：解：由，得，即 当，即时，直线和曲线有两个公共点；‎ 当，即时，直线和曲线有一个公共点；‎ 当，即时，直线和曲线没有公共点．‎ 考点：本题考查直线与圆锥曲线的关系．‎ 点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，直线和圆锥曲线的交点个数的判断方法，求出△=72k2-28，是解题的关键，若圆锥曲线为双曲线时，有要想着讨论二次项的系数是否为零．‎ ‎19.已知经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求的面积．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中的已知条件建立直线l的方程,然后建立方程组：,进一步求出,利用点到直线的距离求出d,进一步利用求出结果．‎ ‎【详解】解：椭圆的左焦点,倾斜角为的直线l的斜率为：‎ 则：直线l的方程为：组成方程组：‎ 设 ‎ 到直线AB的距离为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：点斜式直线方程,弦长公式的应用,点到直线的距离及相关的运算问题．‎ ‎20.设声速为a米秒，在相距‎10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以直线AB为x轴,线段BA的中点为坐标原点,建立直角坐标系．设炮弹爆炸点的轨迹上的点,由题意可得,可知：点的轨迹方程为双曲线．‎ ‎【详解】解：以直线AB为x轴,线段BA的中点为坐标原点,建立直角坐标系．‎ 设炮弹爆炸点的轨迹上的点,由题意可得,‎ 点的轨迹方程为双曲线．‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的定义及其标准方程,属于基础题．‎ ‎21.已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，它与直线交于P、Q两点，若，求椭圆方程．为原点．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出椭圆标准方程,根据离心率的范围求得a和c的关系,进而表示出b和a的关系,代入椭圆方程,根据判断出,直线与椭圆方程联立消去y,进而根据表示出和,根据求得b的值．进而可得椭圆的方程．‎ ‎【详解】解：设椭圆方程为,‎ 由得 ‎ 椭圆方程为,即设,,‎ 则由由, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 椭圆方程为 ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质．直线与圆锥曲线的关系,以及平面向量的几何意义．考查了基本知识的识记和基本的运算能力．‎ ‎22.如图，已知椭圆上的点到它的两焦点的距离之和为4， 分别是它的左顶点和上顶点..‎ ‎（I）求此椭圆的方程及离心率；‎ ‎（II）平行于的直线l与椭圆相交于两点，求的最大值及此时直线的方程.‎ ‎【答案】（I）;（II）,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由椭圆的定义求得，根据在椭圆上，结合性质 ， ，列出关于 、的方程组，求出 、，即可得结果； （II）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，利用判别式大于零求得，利用弦长公式，结合韦达定理可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】（I）由题意知，‎ 则方程为 把代入可得 ‎∴椭圆方程为：，.‎ ‎（II）设直线的方程为：‎ 由得 ‎，‎ 又，‎ 所以当即时 此时l的方程为 ‎【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.‎