高二数学人教a必修5练习：3-4基本不等式（二）word版含解析

高二数学人教a必修5练习：3-4基本不等式（二）word版含解析

§3.4 基本不等式： ab≤a＋b 2 (二) 课时目标 1．熟练掌握基本不等式及变形的应用； 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 1．设 x，y 为正实数 (1)若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 有最大值，且这个值为s2 4. (2)若 xy＝p(积 p 为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值，且这个值为 2 p. 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x，y 必须是正数； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是 否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、 二定、三相等”． 一、选择题 1．函数 y＝log2 x＋ 1 x－1 ＋5 (x>1)的最小值为( ) A．－3 B．3 C．4 D．－4 答案 B 2．已知点 P(x，y)在经过 A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则 2x＋4y 的最小值为( ) A．2 2 B．4 2 C．16 D．不存在 答案 B 解析 ∵点 P(x，y)在直线 AB 上，∴x＋2y＝3. ∴2x＋4y≥2 2x·4y＝2 2x＋2y＝4 2(x＝3 2 ，y＝3 4 时取等号)． 3．已知 x≥5 2 ，则 f(x)＝x2－4x＋5 2x－4 有( ) A．最大值5 2 B．最小值5 4 C．最大值 1 D．最小值 1 答案 D 解析 f(x)＝x2－4x＋5 2x－4 ＝x－22＋1 2x－2 ＝1 2 x－2＋ 1 x－2 ≥1. 当且仅当 x－2＝ 1 x－2 ，即 x＝3 时等号成立． 4．函数 y＝ x2＋5 x2＋4 的最小值为( ) A．2 B.5 2 C．1 D．不存在 答案 B 解析 y＝ x2＋5 x2＋4 ＝ x2＋4＋ 1 x2＋4 ∵ x2＋4≥2，而 1 x2＋4 ≤1 2 ，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值， 函数 y＝x＋1 x 在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数． ∴当 x2＋4＝2 即 x＝0 时，ymin＝5 2. 5．已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( ) A．3 B．4 C.9 2 D.11 2 答案 B 解析 ∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤(x＋2y 2 )2. ∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0. ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4. 当 x＝2，y＝1 时取等号． 6．若 xy 是正数，则 x＋ 1 2y 2＋ y＋ 1 2x 2 的最小值是( ) A．3 B.7 2 C．4 D.9 2 答案 C 解析 x＋ 1 2y 2＋ y＋ 1 2x 2 ＝x2＋y2＋1 4 1 x2 ＋1 y2 ＋x y ＋y x ＝ x2＋ 1 4x2 ＋ y2＋ 1 4y2 ＋ x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当 x＝y＝ 2 2 或 x＝y＝－ 2 2 时取等号． 二、填空题 7．设 x>－1，则函数 y＝x＋5x＋2 x＋1 的最小值是________． 答案 9 解析 ∵x>－1，∴x＋1>0， 设 x＋1＝t>0，则 x＝t－1， 于是有 y＝t＋4t＋1 t ＝t2＋5t＋4 t ＝t＋4 t ＋5≥ 2 t·4 t ＋5＝9， 当且仅当 t＝4 t ，即 t＝2 时取等号，此时 x＝1. ∴当 x＝1 时， 函数 y＝x＋5x＋2 x＋1 取得最小值为 9. 8．已知正数 a，b 满足 a＋b－ab＋3＝0，则 ab 的最小值是________． 答案 9 解析 ∵a＋b－ab＋3＝0， ∴ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3. 令 ab＝t，则 t2≥2t＋3. 解得 t≥3(t≤－1 舍)．即 ab≥3. ∴ab≥9.当且仅当 a＝b＝3 时，取等号． 9．建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方 米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为________元． 答案 1 760 解析 设水池的造价为 y 元，长方形底的一边长为 x m，由于底面积为 4 m2，所以另一 边长为4 x m．那么 y＝120·4＋2·80· 2x＋2·4 x ＝480＋320 x＋4 x ≥480＋320·2 x·4 x ＝1 760(元)． 当 x＝2，即底为边长为 2 m 的正方形时，水池的造价最低，为 1 760 元． 10．函数 y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点 A，若点 A 在直线 mx＋ny＋1＝0 上，其中 mn>0，则1 m ＋2 n 的最小值为________． 答案 8 解析 ∵A(－2，－1)在直线 mx＋ny＋1＝0 上， ∴－2m－n＋1＝0， 即 2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0. ∴1 m ＋2 n ＝2m＋n m ＋4m＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2· n m·4m n ＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即 m＝1 4 ，n＝1 2 时等号成立． 故1 m ＋2 n 的最小值为 8. 三、解答题 11．已知 x>0，y>0，且1 x ＋9 y ＝1，求 x＋y 的最小值． 解 方法一 ∵1 x ＋9 y ＝1， ∴x＋y＝(x＋y)· 1 x ＋9 y ＝10＋y x ＋9x y . ∵x>0，y>0，∴y x ＋9x y ≥2 y x·9x y ＝6. 当且仅当y x ＝9x y ，即 y＝3x 时，取等号． 又1 x ＋9 y ＝1，∴x＝4，y＝12. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16. 方法二 由1 x ＋9 y ＝1，得 x＝ y y－9 ， ∵x>0，y>0，∴y>9. x＋y＝ y y－9 ＋y＝y＋y－9＋9 y－9 ＝y＋ 9 y－9 ＋1 ＝(y－9)＋ 9 y－9 ＋10. ∵y>9，∴y－9>0， ∴y－9＋ 9 y－9 ＋10≥2 y－9· 9 y－9 ＋10＝16， 当且仅当 y－9＝ 9 y－9 ，即 y＝12 时取等号． 又1 x ＋9 y ＝1，则 x＝4， ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16. 12．某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设 备的维修费各年为：第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元 的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用 最少)? 解 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元． 由已知，得 y＝ 10＋0.9x＋0.2x2＋0.2x 2 x ， 即 y＝1＋10 x ＋ x 10(x∈N*)． 由基本不等式知 y≥1＋2 10 x · x 10 ＝3，当且仅当10 x ＝ x 10 ，即 x＝10 时取等号．因此使 用 10 年报废最合算，年平均费用为 3 万元． 能力提升 13．若关于 x 的不等式(1＋k2)x≤k4＋4 的解集是 M，则对任意实常数 k，总有( ) A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉M C．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M 答案 A 解析 ∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤k4＋4 1＋k2. ∵k4＋4 1＋k2 ＝1＋k22－21＋k2＋5 1＋k2 ＝(1＋k2)＋ 5 1＋k2 －2≥2 5－2. ∴x≤2 5－2，M＝{x|x≤2 5－2}，∴2∈M,0∈M. 14．设正数 x，y 满足 x＋ y≤a· x＋y恒成立，则 a 的最小值是______． 答案 2 解析 ∵ x＋ y 2 ≤ x＋y 2 成立， ∴ x＋ y≤ 2· x＋y，∴a≥ 2. 1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值， 积有最大值；积为定值，和有最小值． 2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解． 3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基 本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．